第11讲指数与指数函数（教师版）

第11讲指数与指数函数【基础回顾】知识点1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))知识点2．分数指数幂正数的正分数指数幂：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．知识点3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．知识点4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．题型一指数运算与化简求值(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【例题精讲】1．如果a2025+b2025＝0，那么一定有（）A．（|a|+|b|）2025＝0 B．（a﹣b）2025＝0 C．（a•b）2025＝0 D．（a+b）2025＝0【答案】D【解答】解：因为a2025+b2025＝0，所以a2025＝﹣b2025＝（﹣b）2025，所以a＝﹣b，即a+b＝0，所以（a+b）2025＝0．故选：D．2．下列式子成立的是（）A．a−a=−a3 B．C．a−a=a3 【答案】B【解答】解：要使a−a有意义，则a∴a−a故选：B．3．已知x＜0，y＞0，化简49A．−3x2y B．3x2y C．﹣3x【答案】B【解答】解：x＜0，y＞0，化简49x8y4=3x故选：B．（多选）4．已知a＝2，b＝π，则下列代数式中值为3π的是（）A．（a14bB．（a﹣4•a4）b+a(bC．(2−abD．（3a43b【答案】BD【解答】解：对于A，(a14对于B，原式＝b+ab＝π+2π＝3π，故B正确；对于C，原式=2−aba−b=对于D，原式=32ab=故选：BD．（多选）5．x，y，z为正实数，若(1A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．5z＞4y＞3x D．3x＞4y＞5z【答案】AC【解答】解：由(1即有3x＝4y＝5z，由3＜4＜5，则x＞y＞z，故A正确，B错误；因为3x＝4y，故（3x）12＝312x＝（34）3x＝813x＝（4y）12＝412y＝（43）4y＝644y，因为81＞64，故3x＜4y，同理，因为4y＝5z故（4y）20＝420y＝（45）4y＝10244y＝（5z）20＝520z＝（54）5z＝6255z，因为1024＞625，故4y＜5z，即有5z＞4y＞3x，故C正确，D错误．故选：AC．题型二指数函数的定义域与值域定义域：值域：复合函数法：【例题精讲】1．函数f(x)=1A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．（0，2] D．（0，2）【答案】B【解答】解：要使函数f（x）=19−3解得：x＜2；∴函数f（x）的定义域是（﹣∞，2）．故选：B．2．函数f(x)=1−(A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．[0，1） D．[0，+∞）【答案】D【解答】解：由1−(12)x≥0∴函数f(x)=1−(故选：D．3．函数y=2A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．(0，12【答案】D【解答】解：设u＝f（x）＝2x﹣x2，f（x）max＝f（﹣1）＝1，y＝2u∈（0，2]．故选：D．（多选）4．已知函数f（x）＝ax+1（a＞0，且a≠1），若f（x）在[0，1]上的最大值为M，最小值为N，且M−N=a2，则实数A．12 B．23 C．3【答案】AC【解答】解：当a＞1时，f（x）＝ax+1单调递增，此时M＝a2，N＝a，所以M−N=a2−a=当0＜a＜1时，f（x）＝ax+1单调递减，此时M＝a，N＝a2，所以M−N=a−a2=所以实数a的值可以是12或3故选：AC．（多选）5．已知函数f（x）=54x+1，x≤a2x，x＞a，若f（A．﹣1 B．32 C．3 D．ln【答案】BD【解答】解：当x≤a时，f（x）=54x+1单调递增，f（x当x＞a时，f（x）＝2x单调递增，f（x）＞2a，因为函数f（x）=54x+1，x≤a所以（﹣∞，54a+1]∪（2a，+∞）＝所以54a+1≥2令g（x）＝1+54x，h（x）＝2x，g（t）＝h（t）（因为28＞35，所以285＞3=54×8所以238所以32要使得54a+1≥2a，则0≤又因为3＞6425=（85）2，e所以3＞85＞t，e32则实数a的值可以是32，ln故选：BD．题型三指数函数的单调性与比较大小【例题精讲】1．设a＝0.80.4，b＝0.2﹣0.9，c＝0.90.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】D【解答】解：∵0.2﹣0.9＞1，0.80.4＜1，0.90.4＜1，∴b＞a，b＞c；∵0.80.4＜0.90.4，∴c＞a；综上所述：a＜c＜b．故选：D．2．设a＝0.30.2，b＝1.10.2，c＝1.10.3，则（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b【答案】C【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，又0.2＞0，所以0.30.2＜0.30＝1，因为y＝1.1x在R上单调递增，又0.2＞0，所以1.10.2＞1.10＝1，所以a＜b，因为0.2＜0.3，所以1.10.2＜1.10.3，所以b＜c，所以a＜b＜c．故选：C．3．已知函数f（x）＝a|x|（a＞0且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），则不等式f（2x﹣3）≤f（5）的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C．[﹣1，4] D．（﹣1，4）【答案】C【解答】解：由已知，f（﹣x）＝a|﹣x|＝a|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，又f（﹣3）＜f（4），所以f（3）＜f（4），又当x＞0时f（x）＝a|x|＝ax，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（2x﹣3）≤f（5）等价于f（|2x﹣3|）≤f（5），则|2x﹣3|≤5，得﹣1≤x≤4，故不等式f（2x﹣3）≤f（5）的解集为[﹣1，4]．故选：C．（多选）4．已知实数x，y满足(1A．e2x+1＞e2y+1 B．sinx＞siny C．x3＞y3 D．2x﹣2y＞3﹣x﹣3﹣y【答案】ACD【解答】解：因为(13)x＜A：y＝ex在R上是增函数，故e2x+1＞e2y+1，故本关系恒成立；B：当x＝π，y＝0时，显然符合x＞y，但是sinx＞siny不成立，故本关系式不恒成立；C：因为y＝x3在R上是增函数，所以x3＞y3，故本关系恒成立．D：由于y＝2x﹣3﹣x为R上的单调递增函数，由x＞y可得2x﹣3﹣x＞2y﹣3﹣y，故2x﹣2y＞3﹣x﹣3﹣y，故本关系式恒成立．故选：ACD．（多选）5．下列判断正确的有（）A．(5B．20.3＜20.5 C．π2D．0.70.8＜0.70.7【答案】BCD【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=(57)x在R对于B，y＝2x在R上是增函数，0.3＜0.5，则20.3＜20.5，故B正确；对于C，y＝πx在R上是增函数，2＞3，则π2＞对于D，y＝0.7x在R上是减函数，0.8＞0.7，则0.70.8＜0.70.7，故D正确．故选：BCD．题型四指数方程与不等式指数方程：指数不等式：换元法：类似指数方程，通过换元转化为整式不等式，注意新变量范围．【例题精讲】1．若2m+3﹣n≥2n+3﹣m，其中m，n均为实数，则（）A．m+n≤0 B．m﹣n≤0 C．m﹣n≥0 D．m+n≥0【答案】C【解答】解：由已知可得2m﹣3﹣m≥2n﹣3﹣n，设函数f(x)=2因为指数函数y＝2x在R上是增函数，y=(13所以y=−(13所以f(x)=2x−由f（m）≥f（n）可得m≥n，即m﹣n≥0．故选：C．2．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，13] B．[13，37] C．[3【答案】A【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤4∵x∈[0，1]，∴12x∈[则(12x)∴11+12x则m≤1故选：A．3．用函数观点解不等式：不等式x5+5x＞6的解集为{x|x＞1}．【答案】{x|x＞1}．【解答】解：令f（x）＝x5+5x﹣6，则f（x）在R上单调递增，f（1）＝0，故当f（x）＞0时，x＞1，所以不等式的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．4．已知函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x是定义在R上的奇函数．（1）求a的值，并证明：f（x）在R上单调递增；（2）求不等式f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0的解集；（3）若g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x）在区间[﹣1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为f（x）是定义域为R上的奇函数，所以f（0）＝0，即a•20﹣2﹣0＝0，所以a﹣1＝0，解得a＝1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），经检验，a＝1符合题意；所以函数的定义域为R，在R上任取x1，x2，且x1﹣x2＜0，f(x所以函数在R上单调递增，（2）由（1）可知f（x）＝2x﹣2﹣x，且在R上单调递增的奇函数，由f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0，可得f（3x2﹣5x）＞f（4﹣x），所以3x2﹣5x＞4﹣x，即3x2﹣4x﹣4＝（3x+2）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜−2所以不等式的解集为{x|x＞2或x＜−2（3）因为f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x），所以g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，因为x≥﹣1，所以t≥f(−1)=−3所以g（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，当m≥−32时，当t＝m时，g(t)min=2−当m＜−32时，当t=−32时，综上可知m＝2或−255．已知函数f（x）＝4x﹣2x﹣6．（1）若f（x）＜0，求x的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）＝m有两个不相等的实数根，设为x1，x2．（i）求m的取值范围；（ii）证明：x1+x2＜﹣2．【答案】（1）（﹣∞，log23）；（2）（i）（−25（ii）见解析．【解答】解：（1）已知函数f（x）＝4x﹣2x﹣6，令2x＝t＞0，则f（t）＝t2﹣t﹣6，若f（x）＜0，即t2﹣t﹣6＜0，得0＜t＜3，即0＜2x＜3，则x＜log23，则x的取值范围为（﹣∞，log23）；（2）（i）若关于x的方程f（x）＝m有两个不相等的实数根，即f（t）＝m有两个不相等的正实数根，可得f（t）与y＝m有两个不相同的横坐标大于0的交点，由二次函数性质得g（t）在（0，12）上单调递减，在（1而g（0）＝﹣6，g（t）的最小值为g（12）=−254，故m∈（ii）证明：因为f（t）＝m有两个不相等的正实数根，所以t2﹣t﹣6﹣m＝0的两个根t1=2x1，t由韦达定理可得t1t2＝﹣6﹣m，即2x1×，2结合m∈（−254，﹣6），可得﹣6﹣m∈（0，即2x1+x2∈（0，14），解得题型五指数函数的图象及应用对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．【例题精讲】1．函数f（x）＝ax与g（x）＝x+a的图象大致是（）【答案】A【解答】解：对于A，f（x）＝ax在R上单调递减，得0＜a＜1，g（x）＝x+a与y轴的交点为（0，a），且0＜a＜1，符合题意；对于B，f（x）＝ax在R上单调递减，得0＜a＜1，g（x）＝x+a与y轴的交点为（0，a），且a＞1，不满足题意；对于C，f（x）＝ax在R上单调递增，得a＞1，g（x）＝x+a在R上单调递减，不符合题意；对于D，f（x）＝ax为单调递增函数，得a＞1，g（x）＝x+a在R上单调递减，不符合题意．故选：A．2．已知函数f（x）＝ax﹣1过定点M，点M在直线mx+ny＝1上且m，n＞0，则1mA．3+22 B．4+22 C．3+2【答案】A【解答】解：令x﹣1＝0，得x＝1，∴函数f（x）＝ax﹣1恒过点M（1，1），则m+n＝1，∴1m+2n=（1m+2n）（m当且仅当m+n=12mn=nm，即m=∴1m+2故选：A．3．若直线y=a2与函数y＝|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则A．38 B．34 C．3【答案】D【解答】解：y＝|ax﹣1|的图象由y＝ax的图象向下平移一个单位，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a＞1和0＜a＜1两种情况分别作图．当a＞1时，图象如下图所示：此时需要0＜a2＜1所以1＜a＜2；当0＜a＜1时，图象如下图所示：此时需满足0＜a2＜1综上可知，a的取值范围为0＜a＜1或1＜a＜2，所以a的取值不可以是D．故选：D．4．若函数f（x）＝|2﹣x﹣1|﹣m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是[1，+∞）．【答案】[1，+∞）．【解答】解：画出y＝|2﹣x﹣1|的图象，如图所示，由函数的图象知，在第一象限内该函数图象无限接近于直线y＝1，将此函数图象向下平移1个单位长度可知：在y轴右侧，函数图象无限接近于直线y＝0，不再经过第一象限，满足题意，所以m的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．5．函数f(x)=(12)|x|的图象与平行线y＝m，y＝n，m≠n有且仅有三个交点，则实数m+【答案】（1，2）．【解答】解：函数f（x）=(f（x）的图象与平行线y＝m，y＝n，m≠n有且仅有三个交点，如图所示：不妨令m＝1，则0＜n＜1，所以1＜m+n＜2，所以实数m+n的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．课时精练一．选择题（共8小题）1．已知a＞0，b＞0，4a＝b2＝16，则2a﹣b的值是（）A．83 B．14 C．24 【答案】B【解答】解：因为a＞0，b＞0，4a＝b2＝16，16＝24＝42，所以a＝2，b＝4，所以2a−b故选：B．2．设a＝0.30.2，b＝1.10.2，c＝1.10.3，则（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b【答案】C【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，又0.2＞0，所以0.30.2＜0.30＝1，因为y＝1.1x在R上单调递增，又0.2＞0，所以1.10.2＞1.10＝1，所以a＜b，因为0.2＜0.3，所以1.10.2＜1.10.3，所以b＜c，所以a＜b＜c．故选：C．3．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数g(x)=f(2x)+1−A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[−12，1]【答案】D【解答】解：因为函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，所以在函数g(x)=f(2x)+1−2x解得−12≤x≤1x≤0所以函数g（x）的定义域为[−1故选：D．4．设a≠b，函数y＝|2x+a|与y＝|2x+b|在[0，1]上的值域相同，则a+b＝（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【答案】D【解答】解：由指数函数y＝2x的性质可知，若a，b都大于0或都小于0，且函数y＝|2x+a|与y＝|2x+b|在[0，1]上的值域相同，则a＝b，与题意不符，所以a，b异号，不妨设a＞0，b＜0，则函数y＝|2x+a|＝2x+a，在[0，1]上单调递增，所以在[0，1]上的值域为[1+a，2+a]，函数y＝|2x+b|的图像，如图所示：若函数y＝|2x+a|与y＝|2x+b|在[0，1]上的值域相同，则1＜log2（﹣b），所以函数y＝|2x+b|在[0，1]上的值域为[﹣2﹣b，﹣1﹣b]，所以1+a＝﹣2﹣b，所以a+b＝﹣3．故选：D．5．函数f(x)=x−1A．[﹣2，+∞） B．[﹣1，+∞） C．[0，+∞） D．[1，+∞）【答案】B【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，则f（x）的定义域为[1，+∞），易得f(x)=x−1+2x−3是增函数，所以f（x）≥f故选：B．6．若函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点(12，13)，则函数A． B． C． D．【答案】B【解答】解：因为函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点(1故a12=1又函数y＝loga|x|＝log19|故其图象关于y轴对称，其x＞0时，函数单调递减．故选：B．7．已知函数f(x)=(12025A．12 B．﹣1 C．1 D．1【答案】A【解答】解：设y=(12025)t，t＝ax2因为y=(12025)t单调递减，且f则t＝ax2﹣2x+2a的最小值为﹣1，所以a＞0，且当x=−−22a=1a时，tmin解得a=12或a＝﹣1，所以a故选：A．8．若直线y=a2与函数y＝|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则A．38 B．34 C．3【答案】D【解答】解：y＝|ax﹣1|的图象由y＝ax的图象向下平移一个单位，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a＞1和0＜a＜1两种情况分别作图．当a＞1时，图象如下图所示：此时需要0＜a2＜1所以1＜a＜2；当0＜a＜1时，图象如下图所示：此时需满足0＜a2＜1综上可知，a的取值范围为0＜a＜1或1＜a＜2，所以a的取值不可以是D．故选：D．二．多选题（共3小题）（多选）9．下列结论中，正确的是（）A．函数y＝2x﹣1是指数函数 B．函数y=(13C．若am＞an（a＞0，a≠1）则m＞n D．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图像必过定点（2，﹣2）【答案】BD【解答】解：根据指数函数的定义可知，y＝2x﹣1不是指数函数，A错误；根据复合函数的单调性可知，y=(13)当0＜a＜1时，C显然错误；根据指数函数的性质可知，f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图像必过定点（2，﹣2），D正确．故选：BD．（多选）10．若函数f(x)=1−42ax+aA．a＝2 B．f（x）为减函数 C．f（x）的值域为（0，1） D．f（x）的值域为（﹣1，1）【答案】AD【解答】解：因为a＞0，所以2ax+a＞0恒成立，又因为函数为奇函数，所以f(0)=1−42+a=0此时f(x)=1−2f(−x)=1−2则函数为奇函数，所以a＝2，A正确；因为f(x)=1−2y=22x则y=−22x+1为增函数，则因为2x＞0，所以2x+1＞1，所以0＜2则−2＜−22x所以f（x）的值域为（﹣1，1），C错误，D正确．故选：AD．（多选）11．已知函数f（x）=54x+1，x≤a2x，x＞a，若f（A．﹣1 B．32 C．3 D．ln【答案】BD【解答】解：当x≤a时，f（x）=54x+1单调递增，f（x当x＞a时，f（x）＝2x单调递增，f（x）＞2a，因为函数f（x）=54x+1，x≤a所以（﹣∞，54a+1]∪（2a，+∞）＝所以54a+1≥2令g（x）＝1+54x，h（x）＝2x，g（t）＝h（t）（因为28＞35，所以285＞3=54×8所以238所以32要使得54a+1≥2a，则0≤又因为3＞6425=（85）2，e所以3＞85＞t，e32则实数a的值可以是32，ln故选：BD．三．填空题（共3小题）12．计算：（278）−23=【答案】49【解答】解：（278）−23=（827）23故答案为：4913．已知函数f（x）＝amx+1+（n﹣3）a（其中m，n∈R，a＞0且a≠1）的图象恒过定点（2，1），若f(1)=2，则[f（m+n）]2＝22【答案】见试题解答内容【解答】解：由于f（x）＝amx+1+（n﹣3）a的图象恒过定点（2，1），所以2m+1＝0，且f（2）＝a2m+1+（n﹣3）a＝1，故m=−12且（n﹣3）由于a＞0，所以n＝3，又f(1)=2，即f(1)=a1因此f(x)=2−1故答案为：2214．设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量C（t）=C0(12)t5730（C0为碳14的初始质量）．当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为1【答案】14【解答】解：由公式C(t)=C0(可得C(11460)=C0(已知C(t)C0=两边同时除以C0，可得(1因为24=2根据指数的性质，可得t5730解得t=3故答案为：14四．解答题（共5小题）15．已知函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）•（a﹣1）x是指数函数．（1）求实数a的值；（2）已知函数g（x）＝f2（x）﹣4f（x）+6，x∈[﹣1，2]，求g（x）的值域．【答案】（1）4；（2）[2，51]．【解答】解：（1）因为函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）•（a﹣1）x是指数函数，所以a2−3a−3=1a−1＞0（2）因为f（x）＝3x，所以g（x）＝（3x）2﹣4•3x+6，设t＝3x，则x∈[﹣1，2]时，t∈[13所以h（t）＝t2﹣4t+6＝（t﹣2）2+2，因为h（t）在[13所以当t＝2时，h（t）取得最小值2，当t＝9时，h（t）取得最大值51，所以g（x）的值域为[2，51]．16