2026届新高考数学冲刺突破复习 函数的单调性与最值问题

新授课2026届新高考数学冲刺突破复习

函数的单调性与最值问题单调性的定义考察前提：函数

定义域为D，且区间,对.定义①

②③①②

③题型1题型2题型3③

②①证明被导数法取代分析能力+分数不等式单调性的作用③

①②单调性的性质在高考中，很少直接考察课本静态知识，会出现看懂课本却做不起题的情况.数学作为基础学科承载着自然科学的底层逻辑，是立德树人的载体.增函数知二得一单调性是局部性质化繁为简比较大小

题型1利用定义证明函数单调性试讨论函数

（a≠0）在(-1，1)上的单调性.共同点：1.工具：利用定义2.注意：区间上3.思想：①作差法比较大小②因式分解判断正负不同点：

证明VS讨论（含参）典例2：已知函数

在(1,+∞)上是增函数，求a的取值范围.提升1已知函数单调性求参数范围参数是常数的一种未定形态而已题型2利用单调性的作用打开fA.B.C.D.相同的坑：定义域优先原则不同的情境：

直接与间接定义在[-2,2]上的函数f(x)满足：

，

，且f(x)>f(2x-1)，则实数x的取值范围为（

）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为递增函数，求不等式f(x)>f(2x-3)的解集.A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)题型3利用函数单调性比较大小A.a>b>cD.c>b>aB.a>c>bC.c>a>b知识的形态不同但阐述相同事实已知

，

，

，

，则（）D.f(a2+1)<f(a2)若函数f(x)在区间R上为减函数，则下列关系式一定成立的是（）若则a2+a>a典例1：若函数f(x)＝x2－2ax＋4在[2,4]上是增函数，求a的取值范围.提升2已知函数单调性求参数范围变式：函数f(x)＝2|x－a|＋3在[1,+∞)上不具有单调性，则a的取值范围是()A.B.C.D.设计意图：不同的函数模型，相同的开口方向和对称轴通性通法补充：绝对值函数观察图像V型函数典例：已知函数

是定义在R上的减函数，求实数a的取值范围.提升2分段函数单调性问题已知函数

是R上的单调函数，则实数a的取值范围是

.思维逻辑有意义a>0且a≠1开口向上的二次函数单调性：左减右增分段在

上为减，且对称轴

，得另一方面也为减函数，得0<a<1第三方面在段点衔接处“左高右低”，得则①②③综上：在左侧而拔尖1分段函数最值问题[23届遵义市第一次联考16.]设函数

，若函数

存在最小值，则a的取值范围为

.已知函数若在区间[-1,1]上方程只有1个解，则实数m的取值范围为

.针对训练1复合函数及其单调性外层函数内层函数原函数复合函数定义若将形如的函数叫

与

的复合函数复合函数的单调性同增异减最值的定义解剖①函数

定义域为D，且

②如果对任意的

，都有③则称

的最大值为

，

为最大值点.最大值点一定要在定义域内（见例1）整体性质函数的最值是唯一的（见例2）最值点可以不唯一（见例2）例1：求下列函数的最值：例2：求下列各函数图像的最值：y=3y=-2ABCDEF函数最值问题最值问题是整体性质，含有“对任意自变量满足”或“恒成立”的味道.数学的确定性特征，让“恒成立”或“任意性”味道不易察觉.变式注意

最值问题的不等号转化

求导（定义法）→单调性→最值问题模型1开区间模型2闭区间最值的获取需要对比端点函数值情况.最值的获取需要结合端点情况.二次函数在区间上的值域问题典例：求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值.求函数

在[t,t+1]上的小值为

.变式1二次函数在区间上的值域问题已知函数

在

上的值域是

，则

的最大值是（

）A．3

B．6

C．4

D．8已知函数

在

上的值域是

，则t=

.变式2已知函数

，其中

.(1)若不等式

对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围；(2)当

时，若函数

的最大值为-8，求实数m的值.分