2025年上学期高一数学每日一练（Day6）

2025年上学期高一数学每日一练（Day6）一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|mx-1=0})，若(A\cupB=A)，则实数(m)的取值集合是（）A.({1,\frac{1}{2}})B.({0,1,\frac{1}{2}})C.({0,2,1})D.({1,2})解析：解方程(x^2-3x+2=0)，得(A={1,2})。由(A\cupB=A)知(B\subseteqA)，分两种情况讨论：若(B=\varnothing)，则(mx-1=0)无解，此时(m=0)；若(B\neq\varnothing)，则(B={\frac{1}{m}}\subseteq{1,2})，故(\frac{1}{m}=1)或(\frac{1}{m}=2)，解得(m=1)或(m=\frac{1}{2})。综上，(m)的取值集合为({0,1,\frac{1}{2}})，选B。2.函数(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}+\lg(4-x))的定义域是（）A.([1,4))B.([1,2)\cup(2,4))C.((1,2)\cup(2,4])D.([1,2)\cup(2,4])解析：定义域需满足：偶次根式：(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1)；分式：(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2)；对数式：(4-x>0\Rightarrowx<4)。取交集得(x\in[1,2)\cup(2,4))，选B。3.下列函数中，既是奇函数又在区间((0,+\infty))上单调递增的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\frac{1}{x})C.(f(x)=|x|)D.(f(x)=2^x)解析：A：(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x))，奇函数；导数(f'(x)=3x^2\geq0)，在((0,+\infty))单调递增，符合题意。B：奇函数，但在((0,+\infty))单调递减，排除。C：偶函数，排除。D：非奇非偶函数，排除。选A。4.已知(f(x)=\begin{cases}2x-1,&x\geq0\x^2+1,&x<0\end{cases})，则(f(f(-1))=（）A.2B.3C.4D.5解析：先求内层函数：(f(-1)=(-1)^2+1=2)（因为(-1<0)，代入第二段解析式）。再求外层函数：(f(2)=2\times2-1=3)（因为(2\geq0)，代入第一段解析式）。选B。5.函数(f(x)=x^2-2ax+3)在区间([1,+\infty))上单调递增，则实数(a)的取值范围是（）A.((-\infty,1])B.([1,+\infty))C.((-\infty,-1])D.([-1,+\infty))解析：(f(x))为二次函数，开口向上，对称轴为(x=a)。若在([1,+\infty))单调递增，则对称轴(x=a\leq1)，选A。6.已知(a=\log_23)，(b=\log_32)，(c=\log_{\frac{1}{2}}3)，则(a,b,c)的大小关系是（）A.(a>b>c)B.(b>a>c)C.(a>c>b)D.(c>b>a)解析：(a=\log_23>\log_22=1)；(0=\log_31<b=\log_32<\log_33=1)；(c=\log_{\frac{1}{2}}3=-\log_23<0)。综上，(a>b>c)，选A。7.函数(f(x)=\lnx+x-4)的零点所在区间为（）A.((1,2))B.((2,3))C.((3,4))D.((4,5))解析：(f(x))在((0,+\infty))单调递增（导数(f'(x)=\frac{1}{x}+1>0)）。计算端点值：(f(2)=\ln2+2-4=\ln2-2<0)，(f(3)=\ln3+3-4=\ln3-1>0)。由零点存在定理，(f(x))在((2,3))内存在零点，选B。8.已知函数(f(x)=2^x+2^{-x})，则下列结论正确的是（）A.(f(x))是奇函数，且在(R)上单调递增B.(f(x))是偶函数，且在((0,+\infty))上单调递增C.(f(x))是奇函数，且在(R)上单调递减D.(f(x))是偶函数，且在((0,+\infty))上单调递减解析：奇偶性：(f(-x)=2^{-x}+2^x=f(x))，故(f(x))为偶函数，排除A、C。单调性：当(x>0)时，设(t=2^x>1)，则(f(x)=t+\frac{1}{t})。对勾函数(y=t+\frac{1}{t})在(t>1)时单调递增，且(t=2^x)在(x>0)时单调递增，由复合函数单调性知(f(x))在((0,+\infty))单调递增，选B。二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）9.已知幂函数(f(x)=x^k)的图像过点((2,\frac{1}{2}))，则(f(4)=)________。解析：将((2,\frac{1}{2}))代入(f(x)=x^k)，得(2^k=\frac{1}{2}=2^{-1})，故(k=-1)。因此(f(x)=x^{-1})，则(f(4)=4^{-1}=\frac{1}{4})。答案：(\frac{1}{4})10.函数(f(x)=\log_2(x^2-ax+3a))在区间([2,+\infty))上单调递增，则实数(a)的取值范围是________。解析：令(t=x^2-ax+3a)，则(f(x)=\log_2t)，外层函数为增函数，故需内层函数(t=x^2-ax+3a)在([2,+\infty))单调递增且(t>0)恒成立。单调性：对称轴(x=\frac{a}{2}\leq2\Rightarrowa\leq4)；恒正性：当(x=2)时，(t=4-2a+3a=4+a>0\Rightarrowa>-4)。综上，(a\in(-4,4])。答案：((-4,4])11.已知函数(f(x)=x^3+2x)，若(f(a-1)+f(2a^2)\leq0)，则实数(a)的取值范围是________。解析：奇偶性：(f(-x)=-x^3-2x=-f(x))，故(f(x))为奇函数；单调性：(f'(x)=3x^2+2>0)，故(f(x))在(R)上单调递增；不等式(f(a-1)+f(2a^2)\leq0\Rightarrowf(2a^2)\leq-f(a-1)=f(1-a))，由单调性得(2a^2\leq1-a\Rightarrow2a^2+a-1\leq0)，解得(-1\leqa\leq\frac{1}{2})。答案：([-1,\frac{1}{2}])12.若函数(f(x)=\begin{cases}(3a-1)x+4a,&x<1\\log_ax,&x\geq1\end{cases})在(R)上单调递减，则实数(a)的取值范围是________。解析：分段函数单调递减需满足：第一段一次函数单调递减：(3a-1<0\Rightarrowa<\frac{1}{3})；第二段对数函数单调递减：(0<a<1)；分段点处左段值不小于右段值：((3a-1)\times1+4a\geq\log_a1=0\Rightarrow7a-1\geq0\Rightarrowa\geq\frac{1}{7})。综上，(a\in[\frac{1}{7},\frac{1}{3}))。答案：([\frac{1}{7},\frac{1}{3}))三、解答题（共4小题，共60分）13.（12分）已知集合(A={x|2\leqx\leq8})，(B={x|1<x<6})，(C={x|x>a})，(U=R)。（1）求(A\cupB)，((\complement_UA)\capB)；（2）若(A\capC\neq\varnothing)，求实数(a)的取值范围。解析：（1）(A\cupB={x|1<x\leq8})（取(A)和(B)的所有元素）；(\complement_UA={x|x<2)或(x>8})，故((\complement_UA)\capB={x|1<x<2})（取(\complement_UA)与(B)的公共部分）。（2）若(A\capC\neq\varnothing)，则集合(A)与(C)有公共元素，即存在(x\inA)使得(x>a)。(A=[2,8])，故(a<8)（若(a\geq8)，则(C=(a,+\infty))与(A)无交集）。答案：（1）(A\cupB=(1,8])，((\complement_UA)\capB=(1,2))；（2）(a<8)。14.（14分）已知函数(f(x)=\frac{2x+1}{x+1})。（1）判断函数(f(x))在区间([1,+\infty))上的单调性，并用定义证明；（2）求函数(f(x))在区间([2,5])上的最大值和最小值。解析：（1）单调递增，证明如下：任取(x_1,x_2\in[1,+\infty))，且(x_1<x_2)，(f(x_1)-f(x_2)=\frac{2x_1+1}{x_1+1}-\frac{2x_2+1}{x_2+1}=\frac{(2x_1+1)(x_2+1)-(2x_2+1)(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)})分子化简：(2x_1x_2+2x_1+x_2+1-(2x_1x_2+2x_2+x_1+1)=x_1-x_2)，故(f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1-x_2}{(x_1+1)(x_2+1)})。因为(x_1<x_2)，所以(x_1-x_2<0)，又(x_1,x_2\geq1)，故((x_1+1)(x_2+1)>0)，因此(f(x_1)-f(x_2)<0\Rightarrowf(x_1)<f(x_2))，即(f(x))在([1,+\infty))单调递增。（2）由（1）知(f(x))在([2,5])单调递增，最小值：(f(2)=\frac{5}{3})；最大值：(f(5)=\frac{11}{6})。答案：（1）单调递增，证明见解析；（2）最大值(\frac{11}{6})，最小值(\frac{5}{3})。15.（16分）已知函数(f(x)=\log_a(x+1)-\log_a(1-x))（(a>0)且(a\neq1)）。（1）求函数(f(x))的定义域；（2）判断函数(f(x))的奇偶性，并证明；（3）若(a>1)，解不等式(f(x)>0)。解析：（1）定义域：需满足(\begin{cases}x+1>0\1-x>0\end{cases}\Rightarrow-1<x<1)，故定义域为((-1,1))。（2）奇函数，证明如下：定义域关于原点对称，且(f(-x)=\log_a(-x+1)-\log_a(1+x)=-[\log_a(x+1)-\log_a(1-x)]=-f(x))，故(f(x))为奇函数。（3）解不等式：(f(x)>0\Rightarrow\log_a(x+1)>\log_a(1-x))，因为(a>1)，对数函数单调递增，故(x+1>1-x)，且需满足定义域(-1<x<1)，解得(x>0)，结合定义域得(0<x<1)。答案：（1）((-1,1))；（2）奇函数，证明见解析；（3）((0,1))。16.（16分）已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+c)的图像过点((0,3))，且满足(f(x+1)-f(x)=2x-1)。（1）求函数(f(x))的解析式；（2）求函数(g(x)=f(x)-(2t-1)x)在区间([-1,2])上的最小值(h(t))；（3）若对任意(t\in[1,2])，(h(t)\leqm^2-2m)恒成立，求实数(m)的取值范围。解析：（1）求解析式：由(f(0)=3)得(c=3)，故(f(x)=ax^2+bx+3)。(f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+3-(ax^2+bx+3)=2ax+a+b=2x-1)，对比系数得(\begin{cases}2a=2\a+b=-1\end{cases}\Rightarrowa=1)，(b=-2)，故(f(x)=x^2-2x+3)。（2）求最小值(h(t))：(g(x)=x^2-2x+3-(2t-1)x=x^2-(2t+1)x+3)，对称轴为(x=\frac{2t+1}{2}=t+0.5)。分三种情况讨论：若(t+0.5\leq-1)（即(t\leq-1.5)），则(g(x))在([-1,2])单调递增，(h(t)=g(-1)=1+2t+1+3=2t+5)；若(-1<t+0.5<2)（即(-1.5<t<1.5)），则(h(t)=g(t+0.5)=(t+0.5)^2-(2t+1)(t+0.5)+3=-t^2-t+\frac{11}{4})；若(t+0.5\geq2)（即(t\geq1.5)），则(g(x))在([-1,2])单调递减，(h(t)=g(2)=4-2(2t+1)+3=-4t+5)。综上，(h(t)=\begin{cases}2t+5,&t\leq-1.5\-t^2-t+\frac{11}{4},&-1.5<t<1.5\-4t+5,&t\geq1.5\end{cases})。（3）恒成立问题：当(t\in[1,2])时，(h(t)=-4t+5)（因为(t\geq1.5)时适用此段，且(t=1)时(t+0.5=1.5)，(h(1)=-4\times1+5=1)，与中间段(t=1)时(-1-1+\frac{11}{4}=\frac{3}{4})矛盾，需修正：当(t\in[1,1.5))时，(h(t)=-t^2-t+\frac{11}{4})，在([1,1.5))单调递减，(h(t)\in(\frac{3}{4},1])；当(t\in[1.5,2])时，(h(t)=-4t+5)，单调递减，(h(t)\in[-3,-1])。故(t\in[1,2])时，(h(t)_{\max}=1)（当(t=1)时取得）。由(h(t)\leqm^2-2m)恒成立，得(1\leqm^2-2m\Rightarrow