2025年上学期高一数学数学建模能力测试题

2025年上学期高一数学数学建模能力测试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分）校园共享单车调度问题某学校投放了200辆共享单车，经统计早高峰（7:00-8:00）有60%的车辆被使用，其中70%的骑行终点为教学区，30%为宿舍区。若教学区车位容量为80辆，宿舍区车位容量为50辆，此时最合理的调度方案是（）A.从教学区向宿舍区调度12辆B.从宿舍区向教学区调度12辆C.从教学区向宿舍区调度8辆D.无需调度解题思路：计算使用车辆数：200×60%=120辆教学区到达车辆：120×70%=84辆（超出容量84-80=4辆）宿舍区到达车辆：120×30%=36辆（空余容量50-36=14辆）结论：需从教学区向宿舍区调度4辆（选项中最接近的合理方案为C）食堂套餐定价模型学校食堂推出A、B两种套餐，食材成本分别为8元和12元。经调查，定价15元时A套餐日均销量200份，每提高1元销量减少10份；定价20元时B套餐日均销量150份，每提高1元销量减少5份。若设定利润率不低于50%，A套餐的最优定价为（）A.16元B.18元C.20元D.22元解题思路：成本利润率约束：A套餐最低定价=8×(1+50%)=12元设涨价x元，销量=200-10x，利润=(15+x-8)(200-10x)=-10x²+130x+1400二次函数对称轴x=6.5，取整数x=6时定价21元（无选项），x=5时定价20元（选项C）垃圾分类投放点优化某小区有5栋居民楼呈直线排列，间距均为50米，各楼人数如下表：|楼栋|1|2|3|4|5||------|---|---|---|---|---||人数|80|120|150|90|60|若设置2个投放点，最佳位置在（）A.2号楼和4号楼B.3号楼和5号楼C.2号楼和3号楼之间D.3号楼解题思路：采用加权中位数法：总人数80+120+150+90+60=500人，中位数位置在第250人处累计人数：1号楼80→2号楼200→3号楼350（包含第250人），故主投放点在3号楼；辅助投放点在2号楼（覆盖1-2号楼），选A校园网络带宽分配学校服务器总带宽为1000Mbps，需分配给教学（A）、办公（B）、学生宿舍（C）三类用户。已知A类高峰需求600Mbps，B类300Mbps，C类400Mbps，采用比例分配法时C类实际获得带宽为（）A.300MbpsB.360MbpsC.400MbpsD.420Mbps解题思路：总需求600+300+400=1300Mbps，超出300Mbps分配比例=1000/1300≈0.769C类实际带宽=400×0.769≈307Mbps（最接近选项A）体育活动时间安排某班级50人，28人喜欢篮球，25人喜欢羽毛球，10人两种都不喜欢。若组织单项活动，要求参与率不低于60%，则（）A.仅篮球可满足B.仅羽毛球可满足C.两者均可满足D.两者均不满足解题思路：至少喜欢一项的人数：50-10=40人篮球参与人数：28人（参与率28/50=56%＜60%）羽毛球参与人数：25人（参与率50%＜60%）结论：需联合活动或增加宣传（选项D）二、填空题（共3小题，每小题8分，共24分）图书馆座位预约系统图书馆有100个座位，预约成功率为80%，预约者实际到馆率为75%，则系统应开放______个预约名额（精确到整数）。解题思路：设开放x个名额，实际到馆人数=0.8x×0.75=0.6x令0.6x≤100→x≤166.7，故填167校园绿化规划在一块长60米、宽40米的矩形空地上种植树木，要求行距和株距均为4米，四角必须种树，则最多可种植______棵树。解题思路：长度方向可种：60÷4+1=16列宽度方向可种：40÷4+1=11行总数：16×11=176棵疫情防控物资储备某校根据疫情防控要求储备口罩，若每天消耗500个，可维持14天。实际因师生佩戴习惯不同，每天消耗标准差为50个。为保证95%以上的供应天数，应额外储备______个口罩（按2倍标准差估算）。解题思路：基础储备量：500×14=7000个额外储备量：2×50×14=1400个三、解答题（共3小题，共46分）校园快递柜选址模型（14分）某校区有A（300人）、B（450人）、C（250人）三栋宿舍楼呈三角形分布，AB=50米，BC=60米，AC=70米。请用重心法确定快递柜最佳放置点，要求：（1）建立坐标系并计算各点坐标；（2）求出重心坐标；（3）判断该点是否在三角形区域内。解题思路：（1）建立坐标系：设A(0,0)，C(70,0)，用余弦定理求B点坐标cos∠A=(50²+70²-60²)/(2×50×70)=0.5→∠A=60°B点坐标(50cos60°,50sin60°)=(25,25√3)≈(25,43.3)（2）重心坐标公式：x=(300×0+450×25+250×70)/(300+450+250)=27.5y=(300×0+450×43.3+250×0)/1000≈19.5（3）判断：重心恒在三角形内部，故在区域内运动会赛程优化（16分）某学校运动会设置100m、200m、400m三个跑步项目，共有200名运动员参赛，每个项目分预赛（每组8人）、半决赛（每组8人）、决赛（8人）。（1）计算每个项目所需的最少组数；（2）若跑道数量为6条，每天可安排6小时比赛，每组比赛及准备时间为15分钟，估算完成所有项目的最短天数。解题思路：（1）以100m为例：预赛组数=⌈200/8⌉=25组，晋级25人半决赛组数=⌈25/8⌉=4组，晋级8人决赛1组总组数=25+4+1=30组（三个项目共90组）（2）每日可安排场次=6×60/15=24场所需天数=⌈90/(24×6)⌉=1天（6条跑道可同时进行6组比赛）校园用水收费方案（16分）某市居民用水收费标准为：每户每月基础水量15吨，单价3元/吨；超出部分分三级计价：16-25吨（含）4元/吨，26-35吨（含）5元/吨，35吨以上6元/吨。（1）建立水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系；（2）若某宿舍4人，上月用水40吨，计算人均水费；（3）为节约用水，学校建议人均用水不超过6吨，此时每吨水的平均费用是多少？解题思路：（1）分段函数：y=3x,0≤x≤15y=45+4(x-15),15<x≤25y=85+5(x-25),25<x≤35y=135+6(x-35),x>35（2）40吨水费=135+6×5=165元，人均165/4=41.25元（3）4人月用水24吨，水费=45+4×9=81元，平均单价81/24=3.375元/吨四、建模应用题（共20分）校园奶茶店经营决策某奶茶店计划在学校开设分店，有A（教学楼底层）、B（宿舍区入口）两个选址方案，相关数据如下表：指标A方案B方案租金（月）8000元5000元客单价18元15元日均客流量200人150人变动成本率40%35%（1）计算两个方案的月利润（每月按30天计算）；（2）若A方案客流量受天气影响，晴天250人/天，雨天120人/天，月均雨天10天，重新计算A方案利润；（3）为使B方案利润不低于A方案（含天气因素），B方案需提高客单价多少元？解题思路：（1）月利润=30×[日均客流量×客单价×(1-变动成本率)]-租金A方案：30×[200×18×0.6]-8000=30×2160-8000=56800元B方案：30×[150×15×0.65]-5000=30×1462.5-5000=38875元（2）A方案调整后利润：晴天利润=20×[250×18×0.6]=20×2700=54000元雨天利润=10×[120×18×0.6]=10×1296=12960元总利润=54000+12960-8000=58960元（3）设B方案提价x元，列方程：30×[150×(15+x)×0.65]-5000≥58960→150×(15+x)×0.65≥(58960+5000)/30≈2132→(15+x)≥2132/(150×0.65)≈21.7→x≥6.7元，故需提高7元五、开放探究题（共10分）校园碳足迹计算请设计一个估算个人校园碳足迹的数学模型，包含至少3个排放源（如交通、饮食、能源消耗），用公式表示并说明参数含义。参考模型：个人日碳足迹C=Σ（活动量×排放因子）交通碳排放：C₁=D×f₁（D为通勤距离km，f₁为交通工具排放因子kgCO₂/km）饮食碳排放：C₂=Σ（食物重量kg×gᵢ）（gᵢ为食物类别排放因子）能源消耗：C₃=E×f₃（E为用电量kWh，f₃=0.785kgCO₂/kWh）参数说明：步行/自行车f₁=0，公交f₁=0.08，外卖餐食gᵢ≈2.5kgCO₂/份（注：本题为开放性问题，合理模型均可得分，鼓励结合实际数据验证）参考答案及评分标准（部分）1-5：CBAAD6：1677：1768：14009.（1）坐标系