2025年上学期高一数学向量在物理中的应用试题

2025年上学期高一数学向量在物理中的应用试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。全部选对的得5分，选不全的得3分，有选错的得0分）向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的和为向量$\vec{c}$，则下列哪个说法是正确的？（）A.$|\vec{a}|+|\vec{b}|=|\vec{c}|$B.$|\vec{a}|-|\vec{b}|=|\vec{c}|$C.向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的方向必须相同D.向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的方向可以不同一个物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为$\vec{a}$，经过时间$t$，物体的位移向量$\vec{s}$的大小为（）A.$|\vec{a}|t$B.$\frac{1}{2}|\vec{a}|t^2$C.$2|\vec{a}|t$D.$|\vec{a}|t^3$向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的差为向量$\vec{c}$，即$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$，则下列哪个说法是正确的？（）A.$|\vec{a}|+|\vec{b}|=|\vec{c}|$B.$|\vec{a}|-|\vec{b}|\leq|\vec{c}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$C.向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的方向必须相同D.向量$\vec{c}$的方向一定与$\vec{a}$相同一个物体做匀速圆周运动，速度大小不变，但方向不断变化，这是因为（）A.物体受到了向心力的作用，向心力是产生向心加速度的原因，而加速度是描述速度变化的物理量，速度是向量，方向变化也意味着速度变化B.物体不受力的作用，保持匀速运动状态C.物体受到的合力为零，所以速度大小不变D.物体受到的力与速度方向相同，只改变速度大小如图所示，支座A受$\vec{F_1}$、$\vec{F_2}$两个力的作用，已知$|\vec{F_1}|=10N$，与水平线成$30^\circ$角，$|\vec{F_2}|=5N$，沿水平方向，两个力的合力$\vec{F}$的大小为（）A.$5\sqrt{3}N$B.$5\sqrt{7}N$C.$15N$D.$5N$关于力的做功，下列说法正确的是（）A.力对物体做功的大小等于力的大小与物体位移大小的乘积B.力对物体所做的功$W=\vec{F}\cdot\vec{s}=|\vec{F}||\vec{s}|\cos\theta$，其中$\theta$是力$\vec{F}$与位移$\vec{s}$的夹角C.当力与位移垂直时，力对物体做的功最大D.功是矢量，有大小也有方向一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行。已知船在静水中的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，要使船的航程最短，船的实际航行速度方向与水流方向的夹角应为（）A.$30^\circ$B.$60^\circ$C.$90^\circ$D.$120^\circ$一物体在力$\vec{F}=(3,4)$的作用下，由点$A(1,2)$移动到点$B(4,6)$，则力$\vec{F}$对该物体所做的功为（）A.12JB.16JC.25JD.32J已知平面上的三个力$\vec{F_1}$、$\vec{F_2}$、$\vec{F_3}$作用于一点，物体处于平衡状态，且$|\vec{F_1}|=1N$，$|\vec{F_2}|=2N$，$|\vec{F_3}|=\sqrt{3}N$，则$\vec{F_1}$与$\vec{F_2}$夹角的余弦值为（）A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行400km，则飞机飞行的位移大小为（）A.300kmB.400kmC.500kmD.700km物体在共点力$\vec{F_1}=(2,3)$、$\vec{F_2}=(-1,2)$、$\vec{F_3}=(4,-1)$的作用下保持静止，则这三个力的合力大小为（）A.$(5,4)$B.$(0,0)$C.$\sqrt{41}$D.无法确定关于向量在物理中的应用，下列说法正确的是（）A.向量可以用来描述力、速度、位移等既有大小又有方向的物理量B.力的合成与分解实质就是向量的线性运算C.用向量方法解决物理问题时，需要先将物理问题转化为数学问题，建立以向量为载体的数学模型D.速度是标量，只有大小没有方向，不能用向量表示二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,-1)$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为______。向量$\vec{a}=(3,4)$，则$|\vec{a}|$等于______。已知$\vec{AB}=(2,3)$，$A(-1,2)$，则点$B$的坐标为______。一个物体在力$\vec{F}=10N$的作用下，产生的位移$\vec{s}=5m$，力$\vec{F}$与位移$\vec{s}$的夹角为$60^\circ$，则力$\vec{F}$对物体做的功为______J。一艘船以$10km/h$的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为$2km/h$，则船实际航行的速度大小为______km/h。已知两个力$\vec{F_1}=(1,2)$和$\vec{F_2}=(3,4)$作用于同一物体上，它们的合力为$\vec{F}$，则$\vec{F}$的坐标为______，$|\vec{F}|$=______。三、解答题（本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）如图所示，支座A受$\vec{F_1}$、$\vec{F_2}$两个力的作用，已知$|\vec{F_1}|=10N$，与水平线成$30^\circ$角，$|\vec{F_2}|=5N$，沿水平方向向右，求两个力的合力$\vec{F}$的大小和方向。（12分）一条河宽为$d=100m$，水流速度为$v_水=3m/s$，船在静水中的速度为$v_船=4m/s$。（1）要使船到达正对岸，船应如何航行？（即求船的航向与河岸的夹角）（2）此时船的实际航行速度大小是多少？（3）船从河岸一侧到正对岸需要多长时间？（12分）一物体在力$\vec{F}=(2,5)$的作用下，沿直线从点$P(1,3)$移动到点$Q(4,7)$，已知力的单位是N，位移的单位是m。（1）求物体的位移向量$\vec{PQ}$；（2）求力$\vec{F}$对物体所做的功；（3）若力$\vec{F}$与位移$\vec{PQ}$的夹角为$\theta$，求$\cos\theta$的值。（13分）一个物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，已知其中两个力的大小分别为$F_1=4N$，$F_2=5N$，它们的夹角为$60^\circ$，求第三个力$F_3$的大小和方向。（13分）一架飞机从机场A出发，先以$300km/h$的速度向东北方向飞行$2h$，然后改变方向，以$200km/h$的速度向东南方向飞行$3h$。（1）求飞机第一段飞行的位移向量和第二段飞行的位移向量；（2）求飞机的总位移向量的大小和方向；（3）求飞机全程的平均速度大小。参考答案及解析一、选择题D解析：向量加法满足三角形法则或平行四边形法则，当两个向量方向相同时，$|\vec{a}|+|\vec{b}|=|\vec{c}|$；当方向相反时，$|\vec{a}|-|\vec{b}|=|\vec{c}|$（假设$|\vec{a}|>|\vec{b}|$）；当方向不共线时，$|\vec{a}|-|\vec{b}|<|\vec{c}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|$，所以A、B错误。向量相加，方向可以不同，故C错误，D正确。B解析：物体做匀加速直线运动，位移公式为$s=\frac{1}{2}at^2$，位移向量的大小为$|\vec{s}|=\frac{1}{2}|\vec{a}|t^2$，B正确。B解析：向量减法同样满足三角形法则，$|\vec{a}|-|\vec{b}|\leq|\vec{a}-\vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$，当$\vec{a}$、$\vec{b}$同向时，$|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$；当反向时，$|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$，所以A错误，B正确。向量$\vec{a}$和$\vec{b}$方向可以不同，$\vec{c}$的方向也不一定与$\vec{a}$相同，C、D错误。A解析：匀速圆周运动的物体速度方向时刻改变，是因为受到向心力作用，向心力产生向心加速度，加速度是描述速度变化的物理量，速度是矢量，方向变化即速度变化，A正确。物体做匀速圆周运动合力不为零，B、C错误；向心力与速度垂直，不改变速度大小，只改变方向，D错误。B解析：建立直角坐标系，将$\vec{F_1}$分解为水平方向和竖直方向。$\vec{F_1}$的水平分量$F_{1x}=10\cos30^\circ=5\sqrt{3}N$，竖直分量$F_{1y}=10\sin30^\circ=5N$；$\vec{F_2}$水平向右，$F_{2x}=5N$，$F_{2y}=0$。合力水平分量$F_x=F_{1x}+F_{2x}=5\sqrt{3}+5$，竖直分量$F_y=F_{1y}+F_{2y}=5$。合力大小$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{(5\sqrt{3}+5)^2+5^2}=\sqrt{75+50\sqrt{3}+25+25}=\sqrt{125+50\sqrt{3}}\approx5\sqrt{7}N$，B正确。B解析：功的定义式为$W=\vec{F}\cdot\vec{s}=|\vec{F}||\vec{s}|\cos\theta$，$\theta$为力与位移夹角，B正确。当$\theta=0^\circ$时，功最大；$\theta=90^\circ$时，功为0，A、C错误。功是标量，只有大小没有方向，D错误。D解析：要使航程最短，船的实际航线应垂直于河岸。设船在静水中速度为$\vec{v_船}$，水流速度为$\vec{v_水}$，实际速度为$\vec{v_实}$。由向量加法的平行四边形法则，$\vec{v_实}=\vec{v_船}+\vec{v_水}$，要使$\vec{v_实}$垂直于河岸，船的航向应偏向上游。根据勾股定理，$|\vec{v_实}|=\sqrt{5^2-3^2}=4km/h$，$\cos\alpha=\frac{|\vec{v_水}|}{|\vec{v_船}|}=\frac{3}{5}$（$\alpha$为船速与上游河岸夹角），则船速与水流方向夹角为$180^\circ-\alpha=180^\circ-53^\circ\approx127^\circ$，接近$120^\circ$，D正确。C解析：位移向量$\vec{AB}=(4-1,6-2)=(3,4)$，功$W=\vec{F}\cdot\vec{AB}=3×3+4×4=9+16=25J$，C正确。A解析：物体平衡，合力为零，即$\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}=0$，所以$\vec{F_3}=-(\vec{F_1}+\vec{F_2})$，$|\vec{F_3}|^2=|\vec{F_1}+\vec{F_2}|^2=|\vec{F_1}|^2+|\vec{F_2}|^2+2\vec{F_1}\cdot\vec{F_2}$，代入数据$(\sqrt{3})^2=1^2+2^2+2×1×2×\cos\theta$，$3=1+4+4\cos\theta$，解得$\cos\theta=-\frac{1}{2}$，A正确。C解析：位移是矢量，向北300km和向西400km构成直角三角形，位移大小为$\sqrt{300^2+400^2}=500km$，C正确。B解析：物体静止，合力为零向量，大小为0，B正确。ABC解析：向量可以描述力、速度、位移等矢量，A正确；力的合成与分解是向量的线性运算，B正确；用向量解决物理问题的步骤包括问题转化、建立模型等，C正确；速度是矢量，D错误。二、填空题$-\frac{1}{2}$解析：$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$1×(-1)-2x=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$。5解析：$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。(1,5)解析：设$B(x,y)$，则$\vec{AB}=(x-(-1),y-2)=(x+1,y-2)=(2,3)$，所以$x+1=2$，$y-2=3$，解得$x=1$，$y=5$，即$B(1,5)$。25解析：$W=|\vec{F}||\vec{s}|\cos60^\circ=10×5×0.5=25J$。$\sqrt{104}$解析：船垂直对岸速度为$10km/h$，水流速度$2km/h$，实际速度$v=\sqrt{10^2+2^2}=\sqrt{104}km/h$。(4,6)，$2\sqrt{13}$解析：合力$\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=(1+3,2+4)=(4,6)$，$|\vec{F}|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。三、解答题解：建立直角坐标系，$\vec{F_1}$与水平线成$30^\circ$角，$|\vec{F_1}|=10N$，则$\vec{F_1}=(10\cos30^\circ,10\sin30^\circ)=(5\sqrt{3},5)$，$\vec{F_2}=(5,0)$。合力$\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=(5\sqrt{3}+5,5)$。大小$|\vec{F}|=\sqrt{(5\sqrt{3}+5)^2+5^2}=5\sqrt{7}N$，方向与水平方向夹角$\alpha$，$\tan\alpha=\frac{5}{5\sqrt{3}+5}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\alpha=\arctan(\frac{\sqrt{3}-1}{2})\approx30^\circ$。解：（1）设船航向与河岸夹角为$\theta$（指向上游），要到达正对岸，船在水流方向分速度与水流速度抵消，即$v_船\cos\theta=v_水$，$\cos\theta=\frac{3}{4}$，$\theta=\arccos\frac{3}{4}$。（2）实际速度$v=v_船\sin\theta=4×\sqrt{1-(\frac{3}{4})^2}=\sqrt{7}m/s$。（3）时间$t=\frac{d}{v}=\frac{100}{\sqrt{7}}\approx37.8s$。解：（1）$\vec{PQ}=(4-1,7-3)=(3,4)$。（2）$W=\vec{F}\cdot\vec{PQ}=2×3+5×4=6+20=26J$。（3）$|\vec{F}|=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$，$|\vec{PQ}|