2025年上学期高一数学阅读理解型试题（二）

2025年上学期高一数学阅读理解型试题（二）一、函数模型与环境保护阅读材料：为响应国家"碳达峰、碳中和"战略目标，某新能源企业研发了新型储能设备。其充电过程中，电池剩余电量$y$（单位：kWh）与充电时间$t$（单位：小时）的函数关系满足$y=f(t)$，该函数由三部分组成：快速充电阶段（$0\leqt<1$）：电量随时间均匀增加，初始电量为10kWh，1小时后电量达到50kWh；恒压充电阶段（$1\leqt<3$）：电量与时间的关系满足$y=20\log_2(t+1)+c$（$c$为常数）；涓流充电阶段（$t\geq3$）：电量达到饱和值80kWh后保持不变。问题：求函数$f(t)$的分段函数解析式；计算充电2小时后的电池电量，并求出恒压充电阶段电量的平均变化率；若该设备每小时充电成本$C$（单位：元）与充电功率$P$（单位：kW）的关系为$C=0.5P+2$，其中功率$P$是电量$y$关于时间$t$的导数。求快速充电阶段的总充电成本。解答要求：（1）需写出分段函数各区间的推导过程；（2）平均变化率计算需使用$\frac{\Deltay}{\Deltat}$公式；（3）成本计算需先求出功率函数$P(t)$。二、三角函数与潮汐现象阅读材料：沿海某港口的潮汐规律可用三角函数模型描述。设某日夜潮高度$h$（单位：米）与时间$t$（单位：小时，$0\leqt<24$）的关系为$h(t)=A\sin(\omegat+\varphi)+B$，其中$A>0$，$\omega>0$，$|\varphi|<\pi$。通过长期观测得到以下数据：凌晨3时出现最低潮2米，上午9时出现最高潮6米，潮汐周期为12小时。问题：求该三角函数模型的解析式$h(t)$；若某货轮吃水深度为4米，即船底与海底距离需不小于4米才安全。该货轮计划在当日7时至15时之间进港，求安全进港的时间窗口；计算当日12时至14时内，潮水高度的最大值与最小值之差。解答要求：（1）需用待定系数法求$A$、$B$、$\omega$、$\varphi$的值；（2）安全窗口需写出具体时间段（精确到0.1小时）；（3）最值计算需说明是否在给定区间内取得。三、数列与金融理财阅读材料：某家庭为子女教育进行储蓄，采用两种理财方案：方案甲：每月月初存入固定金额$a$元，月利率为$r$（复利计息，即每月利息计入下月本金）；方案乙：初始存入本金$M$元，每月按单利计息，月利率为$0.5%$，同时每月月末追加存入1000元。已知两种方案在第12个月月末的本利和相等。其中复利计算公式为：若每月存入$a$元，连续存$n$个月，本利和$S_n=a\frac{(1+r)^{n+1}-(1+r)}{r}$。单利计算公式为：本利和=本金×(1+月利率×月数)+每月追加金额×累计月数。问题：若方案甲每月存入$a=2000$元，月利率$r=0.4%$，求第12个月月末的本利和（精确到1元）；设方案乙初始本金为$M$元，写出第$n$个月月末本利和$T_n$的表达式（$1\leqn\leq12$）；若两种方案第12个月月末本利和相等，求方案乙的初始本金$M$（精确到100元）。数据参考：$(1+0.4%)^{13}\approx1.053$，$(1+0.4%)^{12}\approx1.049$四、平面向量与无人机巡检阅读材料：某电力公司使用无人机对输电线路进行巡检。如图所示，无人机从基站$O$出发，沿以下路径飞行：从$O$点沿向量$\vec{a}=(2,3)$方向飞行5$\sqrt{13}$千米到达杆塔$A$；从$A$点沿北偏东60°方向飞行10千米到达杆塔$B$；从$B$点沿向量$\vec{b}=(-4,3)$方向飞行至杆塔$C$，此时$C$点相对于$O$点的位置向量为$\vec{OC}=(1,9)$。（注：北偏东60°方向的单位向量为$(\cos30°,\sin30°)$）问题：求基站$O$到杆塔$A$的位移向量$\vec{OA}$及$A$点的坐标；求杆塔$B$相对于$A$点的位移向量$\vec{AB}$，并计算$B$点的坐标；若无人机从$C$点返回基站$O$，需沿直线飞行，求飞行距离及方向角（精确到1°）。解答要求：（1）坐标计算需写出向量加法的坐标运算过程；（2）方向角需用反三角函数表示，并转化为角度制。五、统计与教育评价阅读材料：某高中为评估数学教学效果，对高一学生进行两次学业水平测试。第一次测试（满分150分）数据显示：成绩$X$服从正态分布$N(90,15^2)$；第二次测试（满分150分）中，学校引入分层教学法，随机抽取100名学生成绩如下表：成绩区间[60,80)[80,100)[100,120)[120,140)[140,150]人数123832153问题：根据第一次测试数据，估计成绩不低于120分的学生比例（参考数据：若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，则$P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0.954$）；计算第二次测试样本的平均成绩$\bar{x}$和方差$s^2$（同一区间成绩用中点值代替）；若第二次测试成绩$Y$服从正态分布$N(\bar{x},s^2)$，比较两次测试中成绩在[90,120]区间的概率大小。解答要求：（1）正态分布概率计算需画出密度曲线示意图；（2）方差计算保留整数位；（3）概率比较需写出具体数值。六、立体几何与仓储设计阅读材料：某物流公司设计的新型仓储货架为直四棱柱结构，其底面$ABCD$为等腰梯形，尺寸如图所示（单位：米）：上底$AB=4$，下底$CD=6$，高$h=3$；货架侧棱长（即棱柱高）$AA_1=5$；货架内部有一个对角支撑梁$A_1C$，连接上底面顶点$A_1$与下底面顶点$C$。问题：求底面梯形$ABCD$的周长和面积；建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标（以$D$为原点，$DC$所在直线为$x$轴，梯形高为$y$轴，$DD_1$为$z$轴）；计算支撑梁$A_1C$的长度及直线$A_1C$与底面$ABCD$所成角的正弦值。解答要求：（1）梯形周长计算需先求腰长；（2）坐标系建立需标注坐标轴正方向；（3）线面角计算需用向量法求正弦值。七、不等式与资源分配阅读材料：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产条件如下：设备工时：每天可用总工时为120小时，生产1件甲产品需3小时，生产1件乙产品需2小时；原材料：每天可用A材料300千克，生产1件甲产品需5千克，生产1件乙产品需10千克；利润：每件甲产品利润40元，每件乙产品利润50元。设每天生产甲产品$x$件，乙产品$y$件，利润函数为$z=40x+50y$。问题：写出该生产问题的线性约束条件（用不等式组表示）；画出可行域并求出所有顶点坐标；利用线性规划知识求最大利润及对应的生产方案。解答要求：（1）约束条件需包含非负性条件；（2）可行域需标注边界直线方程；（3）最优解需验证是否在可行域内。八、数列与古建筑修复阅读材料：某古建筑修复工程中，需按等比数列排列的石材铺设地面。已知该数列${a_n}$的首项$a_1=2$（单位：分米），公比$q=1.2$，表示第$n$块石材的边长。铺设规则如下：每行石材数量构成等差数列${b_n}$，首项$b_1=5$，公差$d=3$；铺设$m$行后，总石材数量为$S_m=\sum_{i=1}^mb_i$；地面总面积$T_m=\sum_{i=1}^{S_m}a_i^2$（石材为正方形，面积等于边长的平方）。问题：求第5块石材的边长及第5行的石材数量；求前$m$行石材总数$S_m$的表达式，并计算前4行的总石材数；证明地面总面积$T_m$构成等比数列，并求出前3行的