专题21圆的有关性质（9大考点精.选39题）（全国通.用）（第01期）（解析版）-2025年中考数学真题分类汇编

专题21圆的有关性质（9大考点，精选39题）考点概览考点1垂径定理的有关计算考点2垂径定理的证明考点3有关圆的认识的计算与证明考点4弧、弦、圆心角之间的关系考点5圆周角定理考点6圆周角定理的计算与证明考点7圆内接四边形考点8圆的有关性质综合问题考点9利用隐圆解决最值问题考点1垂径定理的有关计算1．（2025·四川凉山·中考真题）下列说法正确的是（

）A．若a=bB．若am<bm，则a<bC．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧【答案】C【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，互为相反数的两个数的绝对值也相等，据此可判断A；根据不等式的性质可知，只有当m>0时，原式才正确，据此可判断B；根据正方形的判定定理可判断C；根据垂径定理可判断D．【详解】解；A、若a=b，则B、若am<bmm>0，则a<bC、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意；D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意；故选：C．2．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB=8，OC=5．则OD的长是（）A．3 B．2 C．6 D．5【答案】A【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理解答即可．【详解】解：∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=1又∵OA=OC=5，∴在Rt△OAD中，OD=故选：A．3．（2025·四川内江·中考真题）如图，AB是⊙O的弦．半径OC⊥AB于点D，且AB=8,OC=5．则DC的长是．【答案】2【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．先根据垂径定理得到AD=12AB=4，在Rt△ADO中，由勾股定理求解【详解】解：∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=12AB=4∵OC=5，∴OA=5，∴在Rt△ADO中，OD=∴CD=OC−OD=5−3=2，故答案为：2．4．（2025·湖北·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．(1)求证：FD=FG；(2)若AB=12,FG=10，求⊙O的半径．【答案】(1)证明过程见详解(2)⊙O的半径13【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到AB∥GF，可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解；（2）根据垂径定理得到AE=BE=6，△ADE是等腰直角三角形，由（1）得到FD=10，则EF=4，如图所示，连接OA，设OE=x，则OF=OE+EF=x+4=OA，由此勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，∴AB∥GF，∴∠BAC=∠G=45°，∴∠FDG=90°−45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形，∴FD=FG；（2）解：∵DF⊥AB，∴AE=BE=1∵∠BAC=45°，∴∠ADE=90°−45°=45°，即△ADE是等腰直角三角形，∴EA=ED=6，由（1）得FD=FG=10，∴EF=DF−DE=10−6=4，如图所示，连接OA，设OE=x，则OF=OE+EF=x+4=OA，∴在Rt△AOE中，OA∴x+42解得，x=5∴OA=x+4=5∴⊙O的半径132【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键．考点2垂径定理的证明5．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F．若AB=4，则图中阴影部分的面积为．【答案】4【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到OE⊥AB，由垂径定理可得AF=BF=2，由圆周角定理可得∠AOE=30°，进而证明△AOB是等边三角形，得到OF=23，再根据阴影部分的面积=【详解】解：∵AB所在圆的圆心为点O，边CD与⊙O相切于点E∴OA=OB=OE，OE⊥CD，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥∴OE⊥AB，∵AB=4，∴AF=BF=1∵∠ABE=15°，∴∠AOE=2∠ABE=30°，∵OA=OB，OF⊥AB，∴∠AOB=2∠AOF=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴OF=O∴阴影部分的面积=S故答案为：43【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．6．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB【答案】45/【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题．【详解】解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，由题意：AB=8，设OA=x，由OC=x，∴OH=x−2，∵OH⊥AB，OC为半径，∴AH=BH=1在Rt△OAH由勾股定理得AH∴42解得x=5，∴OA=5，∴cos∠OAB=故答案为：457．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用ACB表示，点O是ACB所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；②在射线DM上截取DC=a；③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；④以点O为圆心，OC的长为半径作ACB．则ACB就是所要作的圆弧．请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键．根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．【详解】解：由题意，作图如下，即为所求：考点3有关圆的认识的计算与证明8．（2025·河南·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若点E是AD的中点，连接OA,CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．【答案】(1)作图见详解(2)证明过程见详解【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．（1）运用尺规作直径BC的垂直平分线即可；（2）根据平行四边形的性质结合题意得到AE∥OC，AE=12AD,OC=【详解】（1）解：如图所示，∵BC是直径，∴运用尺规作直径BC的垂直平分线角BC于点O，∴点O即为所求点的位置；（2）证明：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC，∵点O,E分别是BC,AD的中点，∴AE∥OC，AE=12AD，OC=∴四边形AOCE是平行四边形．9．（2025·广西·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠ABC=65°，(1)求证：△BOC≌(2)求∠ABD的度数．【答案】(1)详见解析(2)40°【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键．（1）根据已知条件利用SSS证明全等即可；（2）根据OC=OB，求出∠COB，再利用全等求出∠DOB，最后利用等边对等角即可求．【详解】（1）证明：∵⊙O的半径为OD,OB,OC,OA，∴OA=OB=OD=OC，∵OC=OC，BC=CD，∴△BOC≌（2）解：∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC=65°，∴∠COB=180°−65°×2=50°，∵△BOC≌∴∠DOC=∠COB=50°，∴∠DOB=100°，∵OD=OB，∴△DOB是等腰三角形，∴∠ABD=∠ODB=180°−∠DOB考点4弧、弦、圆心角之间的关系10．（2025·四川南充·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）A．4 B．27 C．6 D．【答案】C【分析】如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，由垂径定理得AC=CF=BF，进而得∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间线段最短得当E，P，M三点共线时，【详解】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，∴AC∴∠AOC=∠COF=∠BOF，∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，∴点F关于AB的对称点为点M，∴PM=PF，∴PE+PF=PE+PM≥EM,当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，∵∠AOC=60°，AD⊥AB，∴∠D=30°，∴OD=2OA，∵CD=4，∴OD=OC+4=2OA=2OC，即OC=4，∴OC=OA=OB=OM=OF=4，∵AF⊥OC，∠AOC=60°，∴∠OAE=30°，∴OE=1∴PE+PF的最小值EM=OE+OM=2+4=6．故选：C．【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键．11．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1−12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0−12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为．（参考数据：sin15°=6−【答案】6【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，首先得到线段AB的长与其他的都不相等，然后求出∠BOD=75°，解直角三角形求出BD=6【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，∵其中数字1−12对应的点均匀分布在一个圆上，∴360°÷12=30°∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°∴∠AOB=30°×5=150°∴∠OAB=∠OBA=∵OD⊥AB∴∠BOD=75°∴sin∠BOD=sin∴BD=∵OA=OB，OD⊥AB∴AB=2BD=6∴这条线段的长为6+故答案为：6+【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．12．（2025·上海·中考真题）如图，已知AB，CD为⊙O中的两弦，联结OA，OB交弦CD于点E，F，且CE=DF．(1)求证：AB∥(2)如果AB=BD，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．（1）连接OC，OD，由等边对等角得到∠OCD=∠ODC，利用SAS证明△OCE≌△ODF，得到OE=OF，证明△OEF∽△OAB，得到∠OEF=∠OAB，则可证明（2）连接OD，BD，由AB=BD，得到∠AOB=∠BOD，AB=BD，证明△AOB≌△BODSAS，得到∠OBD=∠OAB，则可证明∠OBA=∠BFD，进而证明△OAB∽△DBF，推出AB⋅DF=OB⋅BF；再证明∠DFB=∠DBF【详解】（1）证明：如图所示，连接OC，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，在△OCE和△ODF中，OC=OD∠OCE=∠ODF∴△OCE≌△ODFSAS∴OE=OF，∵OA=OB，∴OEOA又∵∠EOF=∠AOB，∴△OEF∽△OAB，∴∠OEF=∠OAB，∴AB∥CD；（2）证明：如图所示，连接OD，∵AB=∴∠AOB=∠BOD，AB=BD，又∵OA=OB=OD，∴△AOB≌△BODSAS∴∠OBD=∠OAB；由（1）可得AB∥CD，∴∠OFE=∠OBA，又∵∠OFE=∠BFD，∴∠OBA=∠BFD，∴△OAB∽△DBF，∴OBDF∴AB⋅DF=OB⋅BF；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DFB=∠DBF，∴BD=DF，∴DF=AB，∴AB考点5圆周角定理13．（2025·青海·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数是（

）A．80° B．50° C．40° D．25°【答案】B【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据AB是⊙O的直径得出∠ACB=90°，即可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠CAB=40°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°，故选：B．14．（2025·重庆·中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=100°，∠C的度数是（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】B【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∴∠C=1故选：B．15．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB=40°,∠OCA=30°，则∠BCO的度数为（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】C【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠ACB=1【详解】解：∵∠AOB=40°,∠OCA=30°，∴∠ACB=1∴∠BCO=∠OCA+∠ACB=30°+20°=50°，故选：C．16．（2025·新疆·中考真题）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，则∠BOC=（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．先根据垂径定理得到∠ADC=∠BDC=30°，再根据圆周角定理即可得到∠BOC=60°．【详解】解：连接BD．∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∴∠ADC=∠BDC=30°，∴∠BOC=2∠BDC=60°，故选：C．17．（2025·山西·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC=BC，则∠D的度数为（A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，连接AC、BC，由AB为⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而由AC=BC得【详解】解：连接AC、BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠D=∠CBA=45°，故选：B．18．（2025·湖北·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O,∠BAC=30°．分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（A．30° B．50° C．60° D．75°【答案】C【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由MN是AB的垂直平分线，可得DA=DB，可得∠BAD=∠ABD=30°，再进一步求解即可.【详解】解：由作图可得：MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB，而∠BAC=30°，∴∠BAD=∠ABD=30°，∴∠AOE=2∠ABD=60°，故选：C19．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB=AC, ∠ACB=70°，则∠CBD=（A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得∠BAC=40°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC=40°，进而根据BD为⊙O的直径，得出∠BCD=90°，进而得出∠CBD=50°即可求解．【详解】解：∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=40°，∵BC=∴∠BDC=∠BAC=40°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠CBD=90°−∠BDC−90°−40°=50°故选：B．20．（2025·四川自贡·中考真题）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．点C在⊙O上，不与点A，B重合．若A．50° B．100° C．130° D．50°或130°【答案】D【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接OA，OB，求解∠AOB=360°−2×90°−80°=100°，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.【详解】解：如图，连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于∴∠PAO=90°=∠PBO，∵∠P=80°，∴∠AOB=360°−2×90°−80°=100°，∴∠C=12∠AOB=50°故选：D21．（2025·浙江·中考真题）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AD上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若【答案】2【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质；根据题意证出△EFG∽EBC，得到FGBC=EGEC=EFEB，设DG=x，则AD=BC=4+x，表示出GC=x+1，DC=2x+1，连接AE，在Rt△AEG中，求出AE=7，在【详解】解：∵ABCD为矩形，∴AD∥BC∴FG∥BC，∴△EFG∽EBC，∴FGBC设DG=x，则AD=BC=4+x，∴3∴GC=x+1，在Rt△GDC中，DC=连接AE，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，在Rt△AEG中，AE=∴在Rt△AEC中，AC=在Rt△ADC中，AC=∴AD∵AD=4+x,DC=2x+1∴4+x2∴解得：x=3，∴AC=A⊙O的直径为：214故答案为：21422．（2025·陕西·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，BC=BD，∠CDB=24°，则∠ACD的度数为【答案】66°【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据AB为⊙O的直径，BC=BD，则∠A+∠ACD=90°，再根据BC=BC，即【详解】解：∵AB为⊙O的直径，BC=∴AB⊥CD，即∠A+∠ACD=90°，∵BC=∴∠A=∠CDB=24°，则∠ACD=90°−∠A=90°−24°=66°，故答案为：66°．23．（2025·安徽·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P=50°，则∠PAB的大小为°．【答案】20【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接OB，由切线的性质可得∠PBO=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠BOP的度数，再由圆周角定理即可得到答案．【详解】解；如图所示，连接OB，∵PB与⊙O相切于点B，∴OB⊥PB，∴∠PBO=90°，∵∠P=50°，∴∠BOP=90°−∠P=40°，∴∠PAB=1故答案为：20．24．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=50°，则∠OBC=°．【答案】40【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=100°，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：∵点A,B,C在⊙O上，∠BAC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=100°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=180°−∠BOC故答案为：40．25．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°．若⊙O的半径为2，则劣弧BC的长为．【答案】π【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得∠BOC=90°，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答．【详解】解：连接BO,CO，如图所示：∵∠BAC=45°，BC=∴∠BOC=90°，∴劣弧BC=故答案为：π．考点6圆周角定理的计算与证明26．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．(1)求证：∠ADB=∠AOP；(2)延长OP交DB的延长线于点E．若AP=10，tan∠AOP=12【答案】(1)见解析；(2)DE长为44．【分析】（1）利用切线长定理得OP平分∠AOB，利用圆周角定理得∠ADB=1（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得DE长．【详解】（1）证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP=1又∵AB=∴∠ADB=1∴∠ADB=∠AOP．（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF=90°，∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴PA⊥OA∵C为OP的中点，∴PC=OC，∴AC=OC=1又∵AP=10，tan∠AOP=∴AO=APOP=AAC=OC=12OP=5∵AC=OC，∴∠CAO=∠AOC，又∵∠PAO=∠ADF=90°，∴PO∴DA=20105∵∠AOP=∠ADB，∠ACO=∠ECD，∴△ACO∽△ECD，∴AO∴DE=11【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．27．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180°．(1)求证：OC∥AD；(2)若AD=2，BC=23，求AB【答案】(1)详见解析(2)6【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键．（1）由圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC，则可证明∠DAB+∠AOC=180°，据此可证明OC∥AD．（2）连接BD，交OC于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，即AD⊥BD，则可证明OC⊥BD，由垂径定理可得点E为BD的中点，则OE是△ABD的中位线，即可得到OE=12AD=1．设半圆的半径为r，则CE=r−1【详解】（1）证明：∵∠AOC=2∠ABC，∠DAB+2∠ABC=180°，∴∠DAB+∠AOC=180°，∴OC∥AD．（2）解：连接BD，交OC于点E．由题意知，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴点E为BD的中点，又∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=1设半圆的半径为r，则CE=r−1．由勾股定理知，OB即r2解得r1=3，∴AB=2r=6．考点7圆内接四边形28．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】C【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．【详解】解：∵∠BOD=130°，∴∠BAD=1∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°且∠BCD+∠ECD=180°，∴∠ECD=∠BAD=65°，故选：C．29．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（

）A．20° B．35° C．55° D．70°【答案】C【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质．根据圆的内接四边形对角互补可得∠ADC的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=70°，∴∠ADC=180°−70°=110°，∵AB=BC，∴AB⏜∴∠ADC=∠BDC，∴∠BDC=110°×1故选：C．30．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为．【答案】6【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接DE，由圆周角定理得到∠BDE=90°,∠BED=∠A，根据圆内角四边形的内对角互补，求出∠A的度数，再解直角三角形求出BD的长即可．【详解】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，∴∠A=180°−120°=60°，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接DE，则：BE为⊙O的直径，∠BED=∠A=60°，∴∠BDE=90°，∵⊙O的半径为6，∴BE=12，在Rt△BDE中，BD=BE⋅故答案为：6331．（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．(2)在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°．【答案】(1)见解析（答案不唯一）(2)见解析（答案不唯一）【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质．（1）取格点D，连接AD,BD，根据AB=AB得到（2）取格点E，连接AE,CE，根据圆内接四边形对角互补即可得到∠AEC+∠ABC=180°．【详解】（1）解：如图，点∠ADB即为所求：（2）解：如图，∠AEC即为所求：32．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，以BA，BC为边作▱ABCD．(1)当BC经过圆心O时（如图1），求∠D的度数；(2)当AD与⊙O相切时（如图2），若⊙O的半径为6，求AC的长．【答案】(1)55°(2)l【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出∠BAC=90°，再求出∠ABC=90°−35°=55°，再根据平行四边形的性质得出∠D=∠ABC=55°；（2）连接AO、CO，根据切线性质得出AO⊥AD，证明OA⊥BC，得出BE=CE，说明OA垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得出AB=AC，根据等腰三角形性质得出∠ABC=∠ACB=35°，根据圆周角定理得出∠AOC=2∠ABC=70°，最后根据弧长公式求出结果即可．【详解】（1）解：∵BC经过圆心O，∴BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠ACB=35°，∴∠ABC=90°−35°=55°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D=∠ABC=55°；（2）解：连接AO、CO，如图所示：∵AD与⊙O相切，∴AO⊥AD，∴∠OAD=90°，∵在▱ABCD中BC∥∴∠OEC=∠OAD=90°，∴OA⊥BC，∴BE=CE，∴OA垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=35°，∴∠AOC=2∠ABC=70°，∴lAC【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．考点8圆的有关性质综合问题33．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，点G落在⊙B上，且点F为EG中点．若AF=1，AE=3，则CD的长为．【答案】6【分析】由矩形的性质得∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，根据圆周角定理，可求得∠G=12∠ABC=45°，根据CE=GE，可推出∠GEC为直角，从点F为EG中点，可推出EF【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，∵∠G为FC所对的圆周角，FC所对的圆心角为∠ABC，∴∠G=1∵将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，∴CE=GE，∴∠ECG=∠G=45°，∴∠GEC=180°−∠G−∠ECG=180°−45°−45°=90°，∴∠AEF+∠DEC=∠AEF+∠AFE=90°，∴∠DEC=∠AFE，又∠D=∠A=90°，∴△EAF∽△CDE，∴EFCE∵点F为EG中点，∴EF∵AE=3，∴AE∴CD=6．故答案为：6．【点睛】本题考查矩形的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．34．（2025·四川南充·中考真题）如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③∠CMD=45°；④ANCN=2【答案】①③④【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．由旋转性质得△CBE≌△ABF，可得CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，进而由∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°即可判断①；由CF=BC+BF=AB+BF>AF即可判断②；由A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，可以证明∠CAD=∠CMD=45°，即可判定③，设AD=CD=BC=a，由勾股定理解三角形可得AN=(2−1)a，【详解】解：由旋转可知：△CBE≌△ABF，∴CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，∵在正方形ABCD中，∴∠ABC=90°，AB=BC，又∵∠AEM=∠BEC，∴∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°，∴∠AMC=90°，即CM⊥AF，故①结论正确，∵AB+BF>AF，CF=BC+BF=AB+BF，∴CF>AF，故②结论错误；如图：∵在正方形ABCD中，∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=45°，∴∠AMC=∠ABC=∠ADC=90°，∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，∵CD=∴∠CAD=∠CMD=45°，故结论③正确；如图：过N点作NG⊥AC，交AD于G，∵CE平分∠ACB，∠ACB=45°，∴∠ACM=22.5°，∵AM=∴∠ACM=∠ADM=22.5°，∵∠CAD=45°，∴∠AGN=90°−∠CAD=45°，∠DNG=180°−∠CAD−∠ANG−∠ADN=22.5°，∴∠CAD=∠AGN=45°，∠GDN=∠DNG=22.5°，∴AN=NG=GD，设AD=CD=BC=a，在Rt△ANG中，A∴2AN∴AN=(2∵AC=A∴CN=AC−AN=2∴ANCN综上所述：①③④结论正确，故答案为：①③④．35．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．探究发现：如图1，在△ABC中，AC=BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F．连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC=S△APC+实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC=3，点G是AB边上一点，连结CG．将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG=1时，求PD+PE的值．拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC=BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB=10，AD=2，【答案】探究发现：S△APB，DP，EP；实践应用：212【分析】探究发现：图形面积分割法得出S△ABC=S△APC+S实践应用：过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足分别为M,N，根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得AM，CG，进而根据旋转的性质可得△CGF是等边三角形，同理求得NF的长，进而根据探究发现的结论，即可求解；拓展延伸：延长AC,BE交于点T，过点P作PS⊥BE于点S，设CD=x，根据圆周角定理，得出∠ACB=90°，在Rt△ABC，Rt△BCD中，根据勾股定理，求得x=4，进而根据弧与圆周角的关系，得出【详解】解：探究发现：∵PD⊥AC，PE⊥BC，AF⊥BC∴S△ABC=S∴12∵AC=BC，∴AF=DP+PE；故答案为：S△APB，DP，PE实践应用：如图，过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足分别为M,N，∵△ABC是等边三角形，AC=3，∴AB=AC=3，∵CM⊥AB，∴AM=BM=32，∴CM=A∵AG=1，则BG=AB−AG=3−1=2，∴MG=BG−BM=2−3在Rt△CMG中，CG=∵将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，∴CG=CF,∠GCF=60°∴△CGF是等边三角形，∴CN=GN=12CG=∴由探究发现可得：PD+PE=FN=21拓展延伸：如图，延长AC,BE交于点T，过点P作PS⊥BE于点S，连接BC，设CD=x，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=10，在Rt△ABC中，B在Rt△BCD中，B∴45解得：x=4，∴BE=AC=AD+CD=2+4=6，∴AC=∴AE=∴∠ABT=∠BAT，∴TA=TB．∴由探究发现可得：BC=PD+PS，∵BC=A∴PD+PS=8，∵AC=BE，∴S△PAC+==1【点睛】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键．36．（2025·福建·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB=AC,BG=DG．(1)求证：∠ABC=∠DBE+∠E；(2)求证：AH(3)若tan∠ABC=5,AD=2DE,CD=【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3【分析】（1）利用AB=AC得∠ABC=∠ACB，结合同弧AB⌢所对圆周角（2）先证△HDF∼△HCD得HD2=HF⋅HC，再通过角的等量代换证∠ADG=∠（3）利用（2）结论将△AGH周长转化为AB，通过相似三角形△ACD∼△AEC及三角函数、勾股定理求出AB的长，即△AGH周长为36【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵AB∴∠ACB=∠ADB，∴∠ABC=∠ADB．∵∠ADB=∠DBE+∠E，∴∠ABC=∠DBE+∠E．（2）证明：∵AD∴∠ABD=∠ACD．∵BG=DG，∴∠BDG=∠ABD=∠ACD，又∵∠DHF=∠CHD，∴△HDF∽△HCD，∴HF∴HD由（1）知，∠ABC=∠DBE+∠E，又∵∠ABC=∠DBE+∠ABD，∴∠ABD=∠E，∴∠BDG=∠E．∵∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBC+∠E，∴∠ADG=∠DBC．∵CD=∴∠DAC=∠DBC，∴∠ADG=∠DAC，∴AH=DH，∴AH（3）解：由（2）知，AH=DH，∴△AGH的周长为AG+GH+AH=AG+GH+DH=AG+DG=AG+BG=AB．设DE=m，则AD=2DE=2m，由（2）可知，∠ACD=∠E．又∵∠CAD=∠EAC，∴△ACD∽∴AC∴AC∴AC=6又∵CD=6∴6∴EC=3．过点C作CP⊥AE，垂足为P，则∠CPD=∠CPE=90°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，又∵∠ADC+∠CDP=180°，∴∠CDP=∠ABC，∴tan∴在Rt△DCP中，PCPD=∴CD=P∴6∴PD=1，∴PE=DE−DP=m−1．在Rt△CPE中，P∴(m−1)解得m=3，或m=−1（舍去）．∴AB=AC=36∴△AGH的周长为36【点睛】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与边的转化、相似三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系推导．考点9利用隐圆解决最值问题37．（2025·山东·中考真题）【图形感知】如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2，AB=4．（1）求CD的长；【探究发现】老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE（3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段【答案】（1）CD=45；（2）①四边形DBA′F是矩形，理由见解析；②DE=2【分析】（1）利用勾股定理求得BD=22+（2）①由折叠的性质得∠A=∠A′=90°，∠ABD=∠②延长AD和A′D′相交于点Q，连接BQ，证明四边形AB（3）先利用折叠的性质求得∠BPD=90°，推出点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP，得到CP≤OC−OP，据此求解即可．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，∴AD∥∴∠ADB=∠DBC，∴△ADB∽△DBC，∴ADBD∵∠BAD=90°，AD=2，AB=4，∴BD=2∴22∴CD=45（2）①四边形DBA由折叠的性质得∠A=∠A′=90°∵∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°，∴∠A∴四边形DBA②延长AD和A′D′相交于点Q由折叠的性质得∠A=∠A′=90°，∠ABD=∠∵点A′恰好落在边BC∴AB=A′B=4∴四边形ABA∵AB=A∴四边形ABA∵∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A∴点E在对角线BQ上，∴DQ=AQ−AD=2，BC=B∵四边形ABA∴AQ∥∴△DQE∽△CBE，∴DECE∴DE=1（3）由折叠的性质得∠EBD=∠EBD′，∴BE是线段DD∴∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP，∴CP≤OC−OP，即点P在OC上时，线段CP存在最小值，∵OC=O∴线段CP的最小值为85−【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点P在以BD为直径的⊙O上是解题的关键．38．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．(1)【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是__________；∠AD′C与∠ADB的数量关系是__________；(2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形；(3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，在其内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使CGCE′=43，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若(4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接DE′，若AD=32，AB=6，则【答案】(1)相等（或CD′=BD）；相等（或∠AD′C=∠ADB）(2)见解析(3)3(4)6【分析】（1）根据旋转的性质可得∠DAD′=90°，AD=AD′（2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明△BCE′≌△DCESAS，得出（3）同（2）的方法证明△BCG∽△DCE，得出四边形CEFG是矩形，连接AC,BD交于点O，连接OF，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出A,F,B,C,D共圆，勾股定理求得AC，FC，进而解Rt△FCG，求得FG=3215，再证明（4）连接AC,BD交于点O，证明△E′AO≌△EABSAS得出∠AOE【详解】（1）CD′=BD；∠AD′C=∠ADB∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，∴∠DAD′∵∠BAC=90°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAD'又∵AB=AC，∴△DAB≌△∴CD'故答案为：相等（或CD'=BD（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠DCB=90°，BC=DC∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE∴∠EC∵∠DCB=∠ECE∴∠DCB−∠BCE=∠ECE′∴△BC∴∠BE∵∠CED+∠CEF=180°∴∠CEF=90°∴∠B∴四边形CEFE又∵CE=C∴四边形CEFE（3）解：∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE∴∠EC∵CGCE′∴CG∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∴BC∴CG∵∠DCB=∠ECE∴∠DCB−∠BCE=∠ECE′∴△BCG∽△DCE∴∠BGC=∠DEC=90°∵∠CED+∠CEF=180°∴∠CEF=90°∴∠BGC=∠ECG=∠CEF=90°∴四边形CEFG是矩形，如图，连接AC,BD交于点O，连接OF∵O是AC,BD的中点，在Rt△OBF中，∴OF=∴A,F,B,C,D共圆，∴∠AFC=90°，∵AD=BC∴AD∴∠GFC=∠ACD，在Rt△ABC中，∴cos∵AF=2，在Rt△AFC中，∴FG=FCcos∵BC∴∠BFC=∠BAC又∠AFC=∠G=90°∴∠ACB=∠FCG∴∠ACB−∠FCB=∠FCG−∠FCB，即∠ACF=∠BCG∴sin∴2∴BG=∴BF=故答案为：321（4）解：如图，连接AC,BD交于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AO=OB∵AD=32，AB=