第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元测试·提升卷）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

第四章对数运算与对数函数（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2025·湖南·二模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的定义域及分式函数的定义域求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集概念求解即可.【详解】对于集合A：由题意，得，所以，对于集合B，，则，所以，因此.故选：A2．（24-25高一上·全国·课后作业）若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根据点求得对数函数为，再代入点运算即可.【详解】设对数函数为（且），代入点可得，则，解得，所以，代入点可得，则，可得，所以.故选：C.3．已知函数，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根据题意，求得，即可求得目标式的结果.【详解】，则，；.故选：D.4．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解.【详解】由函数的图象知，则，所以函数为增函数，且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位，所以函数的大致图象是C选项.故选：C.5．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出在区间上的值域，要使的值域为R，只需在区间上的值需取遍区间内所有值，列出关于的不等式组可得答案.【详解】由题知，在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，时，，其对称轴为，要使的值域为R，则在区间上的值需取遍区间内所有值，，解得.故选：C．6．设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数与对数的转化得，进一步得，同理得，即可比较大小，，令，利用导数研究的单调性得，进而得，即，得，即，即可求解.【详解】由有，因为，所以，即，由有，所以，令，所以，由，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，所以，所以.7．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的定义域为B．的值域是C．是偶函数D．的单调递减区间是【答案】D【分析】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D.【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得或，所以函数定义域为，故A错误；对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误；对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误；对于D，令，则，由二次函数性质可知，在区间上单调递减，由对数函数性质可知，在定义域内单调递增，所以在区间上单调递减，故D正确.故选：D8．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分别分析命题和命题成立时的取值范围，再根据命题，中至少有一个是真命题，求出的取值范围.【详解】命题：，的定义域是，即对于任意，恒成立.当时，不恒成立.当时，二次函数要恒大于，则需满足.解不等式，可得.所以当命题为真时，.命题：，的值域是，这意味着能取遍所有大于的值.当时，能取遍所有大于的值.当时，二次函数的图象开口向上，要使其能取遍所有大于的值，则需，解不等式可得，即.当时，二次函数的图象开口向下，不能取遍所有大于的值，所以当命题为真时，.命题，中至少有一个是真命题的反面是，都为假命题.当为假命题时，；当为假命题时，或.所以，都为假命题时，.那么命题，中至少有一个是真命题时，，即.故选：D.二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（

）A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C．当时，增长速度一直快于D．当时，增长速度有时快于【答案】BD【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可．【详解】对于，从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上，故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确；对于，由于的增长速度是不变的，当时，大于，当时，大于，再也追不上，其中增长速度有时快于，C错误．故选：BD．10．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）下列选项正确的是（

）A．函数的定义域为B．已知，，则C．若函数的定义域为，则的取值范围是D．函数的值域是【答案】ABD【分析】由复合函数的定义域可得A正确；换元法令代入函数表达式可得B正确；由指数函数的值域结合一元二次不等式恒成立可得C错误；由对数函数的值域可得D正确.【详解】对A，要使函数有意义，需使解得或．故的定义域为，故A正确；对B，令，则，则可化为，因为，所以，解得，故B正确；对C，由题意知恒成立．∴恒成立，∴，∴，故C错误；对D，因为，则，，即函数的值域是，故D正确；故选：ABD11．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可.【详解】令，可得，，，，故A正确；，故B正确；，，所以，得，又，所以，得，所以，，故C不正确；，故D正确；故选：ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是【答案】【分析】由奇函数的性质可得，可求得，再结合题意分别验证即可求解.【详解】由为奇函数，所以可得，则，即，化简整理得，所以得，即，当时，为常函数，此时既是奇函数又是偶函数，故不符合题意，当时，，由对数函数的定义域得且，解得，关于原点对称，经检验符合题意.综上所述：故实数的值为.故答案为：.13．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若函数在上的最大值是最小值的2倍，则.【答案】5【分析】根据对数函数的单调性，可求得，再结合对数运算即可求解.【详解】因为，所以函数在单调递增，所以其最小值为，最大值为，因为最大值是最小值的2倍，所以，解得或（舍），因此，则.故答案为：5.14．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数是R上的奇函数，则实数a的值为，函数，若对恒成立，则m的取值范围为.【答案】【分析】根据奇函数的性质列方程，解方程求得的值，并检验；根据在区间上的单调性求得其最大值，根据分段函数的性质，求得在区间上的最小值，由此求得关于m的不等式，进而求得m的取值范围.【详解】因为是R上的奇函数，所以，即，解得，此时，此时，为奇函数，符合题意；又奇函数，所以在上是减函数，则在上的最大值为，又，所以在上是增函数，在上是减函数，则的最小值为和中的较小的一个.因为，，所以.因为对恒成立，所以.解得.故的取值范围为.三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，其中．(1)若，求方程的解；(2)若，求不等式的解．【分析】（1）首先根据求，再根据对数函数的性质，解方程；（2）首先确定函数的单调性，得，再结合对数函数的性质，列式求解.【详解】（1），因为，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以方程的解为；（2）因为，即，因为，所以函数在单调递减，所以，则不等式，即，所以，解得，所以不等式的解为．16．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的值域；(2)若的定义域为，求实数的取值范围；(3)若在上单调递增，求实数的取值范围.【分析】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域；（2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可；（3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算.【详解】（1）当时，，令，则,对数函数在上单调递增，所以，所以函数的值域为.（2）若的定义域为，则在上恒成立，所以.所以实数的取值范围是.（3）二次函数开口向上，对称轴为，对数函数在上单调递增，若在上单调递增，则.所以实数的取值范围是.17．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数.(1)当时，证明：为偶函数；(2)当时，解不等式；(3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围.【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函数定义推理得证.（2）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解.（3）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解.【详解】（1）当时，函数，则，函数定义域为，，所以函数是偶函数.（2）当时，，不等式，则，由得或，由得，因此，所以原不等式的解集为.（3）当时，，方程，即，函数，在上都单调递增，因此函数在上单调递增，则当时，；当时，，所以实数的取值范围是．18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围．(3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值；（2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为，因为内层函数的减区间为，增区间为，外层函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为，故.（2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增，则内层函数在上为增函数，且，即，解得.因此，实数的取值范围是.（3）对于任意，存在，使得不等式成立，则对任意的恒成立，因为，当时，，故当时，即当时，函数取最小值，即，所以，对任意的恒成立，由可得，参变量分离得，因为，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时等号成立，则，因此，实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.19．已知函数的图象过点．(1)求实数的值；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由.【分析】（1）利用给定条件建立方程，求解参数即可.（2）利用分离参数法结合对数函数性质求解参数范围即可.（3）利用给定条件化简原式，结合换元法转化为二次函数最值问题，再分类讨论求解参数即可.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以，解得，即实数的值为.（2）由上问得，因为不等式恒成立，所以恒成立，化简得恒成立，且令，故即可，由对数函数性质得在上单调递