第四章 对数运算与对数函数全章复习（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

对数运算与对数函数全章复习教学目标1.通过复习理顺本章重点知识，掌握本章重要知识点及常见题型.2.能综合应用本章知识解决综合性强的问题.教学重难点1.重点：重点是对数运算性质应用、对数函数性质及图像；2.难点：对数概念理解，运算性质推导，对数函数与指数函数关系及综合应用。构建知识网络回顾重点知识知识点01对数的基本概念1.对数的定义一般地，如果ax＝Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，且a≠1))，那么数x叫做，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.几种特殊的对数(1)常用对数：以10为底，记作；(2)自然对数：以e为底，记作．3.指数与对数的互化当a>0，a≠1时，ax＝N⇔．用图表示为：【知识剖析】为什么规定底数a>0,且a≠1?(1)当a＝0时，ax恒等于0，没有研究的必要．(2)当a<0时，对于某些取值，ax无意义，即不利于定义的扩充．(3)当a＝1时，则无论x取何值，ax恒等于1，没有研究的必要．知识点02对数的性质(1)零和负数；(2)1的对数为，即loga1＝(a>0且a≠1)；(3)底数的对数为，即logaa＝(a>0且a≠1).(4)对数恒等式:＝＝.(a>0，且a≠1，N>0).知识点03对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么运算数学表达式自然语言描述的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数的对数(n∈R)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数【记忆口诀】(1)【记忆口诀】(1)积的对数等于对数的和．(2)商的对数等于对数的差．(3)(n∈R)真数的幂指数可变积1.换底公式(1)一般形式：＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)； (2)常用形式：logab＝eq\f(lgb,lga)，logab＝eq\f(lnb,lna).2.换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).知识点05对数函数的概念1.函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2.特别说明：判断一个函数是对数函数是形如特别说明：判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为；（2）底数为的常数；（3）对数的真数仅有．（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.知识点06反函数定义一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为性质函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称知识点07对数函数的图像与性质对数函数的图象与性质列表如下：y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点()，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈；x∈[1，＋∞)时，y∈；x∈(0,1)时，y∈；x∈[1，＋∞)时，y∈.对称性函数y＝logax与y＝的图象关于对称注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质.知识点08底数a对对数函数图象的影响1.底数a与1的决定了对数函数图象的“升降”.

当a>1时，对数函数的图象“;

当0<a<1时,对数函数的图象“”.

2.函数y=与y=(a>0,且a≠1)的图象关于x轴.

3.底数的大小决定了图象相对位置的：

无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.

①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴;

②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.提示：在第一象限内，底数从小到大，图象从左往右．知识点09y＝logaf(x)型函数性质1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据法则判定.(或运用单调性定义判定)4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.知识点10对数及对数型函数解不等式1.形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).2.形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.知识点11三种函数的性质及增长速度比较指数函数对数函数一次函数解析式y＝axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k>0))单调性在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))是增函数图象(随x的增大)趋向于和x轴趋向于和x轴呈直线上升增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越y的增长速度越来越y的增长速度归纳总结总会存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax题型01对数概念的理解【典例1-1】对数中实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（24-25高一上·山东淄博·随堂练习）通常我们将的对数叫做常用对数，并把记为.对数式成立的条件在对数式中，必须注意：真数大于0，底数大于0且不等于1．【变式1-1】（24-25高一上·江苏南通·课后作业）（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（24-25高一上·江苏无锡·课堂作业）在对数式中，实数的取值范围是．题型02指数式与对数式的互化【典例2-1】已知2x=3，则x=（A．log23 B．log32 C．【典例2-2】将下列指数式与对数式进行转换：(1)；(2)；(3)；(4).指数式、对数式互化的技巧指数式ab＝N与对数式logaN＝b的互化规则是“底数不变，左右交换”，即：①两式均以a为底；②b，N两个字母在等号左右互换其位置．幂值相等的指数式问题，求解时一般设相等的指数式为同一个常数，然后取对数求解.【典例2-3】（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则的值为.利用指数、对数式互化求值利用指数、对数式互化求值时，要注意方程思想的应用，即通过解方程及指对互化的策略，求得相应未知量的值.【变式2-1】（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（

）A．100=1与lg1=0 B．C．27−13=13与【变式2-2】求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)；(4)．【变式2-3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知，，则.（用数字作答）题型03利用指数、对数式互化与求值【典例3-1】若，则（）A．3 B．4 C．9 D．16【典例3-2】已知，，则．用已知对数表示其他对数式或指数式此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要能熟练掌握所学的有关对数及其运算性质的知识，有时还会用到整体思想．【变式3-1】已知，，则用，表示.【变式3-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）若，，则.题型04利用对数的运算性质及换底公式进行运算【典例4-1】（多选）（24-25高一上·山东泰安·期中）已知，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．利用对数的运算性质进行对数运算即利用对数的运算性质对底数相同的对数式的化简和求值，具体策略有两种：(1)“收”，将同底的两数的和(差)收成积(商)的对数,即逆用对数的运算性质求解；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即正用对数的运算性质求解.【典例4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)已知，，求（用表示）.利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底；(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.【变式4-1】若利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底；(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.A． B． C． D．【变式4-2】（24-25高一上·山东泰安·期中）化简求值：(1)(2)．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值：(1)；(2)；(3).题型05利用换底公式证明【典例5-1】（24-25高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（

）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac【典例5-2】设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（

）A． B． C． D．换底公式之用已知量表示此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，求解过程中注意用换底公式将所求式的底数转化为已知式的底数，再借助对数运算加以解决.【变式5-1】设，且，利用对数的换底公式证明：(1)；(2)；(3)计算：若，求的值．【变式5-2】已知a，b，c满足.（1）当时，试讨论a､b､c三个数的大小关系；（2）当a，b，c均为正数，求证：.题型06对数运算的实际应用【典例6-1】（24-25高一上·湖南怀化·期中）我们已经知道物质的原子个数为，你知道整个宇宙可观测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为.下列各数中与最接近的是（

）（参考数据）A． B． C． D．【典例6-2】“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（

）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，）A．35 B．37 C．38 D．39对数运算的实际应用求解策略在日常实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解.【变式6-1】地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（

）倍．A． B． C． D．【变式6-2】深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（

）（参考数据：）A．72 B．73 C．74 D．75题型07对数函数的判断【典例7-1】下列函数是对数函数的是（

）A．（且） B．C． D．（且）【典例7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则．【变式7-1】判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.A．（且） B．C． D．（且）【变式7-2】函数是对数函数，则实数a＝.题型08求对数函数解析式【典例8】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（

）A． B．C． D．【变式8-1】下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【变式8-2】已知函数，若图象过点，则的值为（

）A．－2 B．2 C． D．【变式8-3】已知对数函数（且）的图象过点，则（

）A． B． C．2 D．4【变式8-4】函数（，且）是对数函数，且过点，则．【变式8-5】已知函数（且）的图象经过点和.(1)求的解析式；(2)若，求实数的值.题型09反函数的理解与简单应用【典例9-1】函数的反函数为，它们的图象关于直线对称．【典例9-2】已知函数和函数（且）互为反函数，则恒过定点的坐标为.反函数的求法：（1）由y＝ax或y＝logax，解得x反函数的求法：（1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay；（2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax；（3）由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域。A． B． C． D．【变式9-2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式9-3】（多选）（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（

）A． B．C． D．题型10对数型函数定义域问题【典例10-1】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数的定义域为.【典例10-2】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的值域是，则的定义域为（

）A． B． C． D．求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.【变式10-1】已知函数的定义域为求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.A． B．C． D．【变式10-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【变式10-3】若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是．【变式10-4】（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的定义域为.【变式10-5】（24-25高三上·河南·阶段练习）函数的定义域为.题型11对数型函数过定点问题【典例11-1】函数(且)的图象经过定点.【典例11-2】（24-25高二上·山西·开学考试）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（

）A．4B．C．D．8关于定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(关于定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).A． B． C． D．【变式11-2】函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式11-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图象恒过定点，则点的坐标是．题型12对数型函数单调性问题【典例12】函数的递增区间为（

）A． B． C． D．求复合函数单调性的具体步骤(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u求复合函数单调性的具体步骤(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．A． B．C． D．【变式12-2】函数的单调递减区间是．【变式12-3】求函数的单调区间.题型13利用对数型函数单调性求参数范围【典例13-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．与对数相关的复合函数单调性(1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间；(2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围．【典例13-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围与对数相关的复合函数单调性(1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间；(2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围．利用对数型复合函数单调性求参数范围(1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题.(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．【变式13-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）利用对数型复合函数单调性求参数范围(1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题.(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．A． B．C． D．【变式13-2】（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.【变式13-3】已知函数，，其中且，在上为减函数，则的取值范围为.【变式13-4】若函数在区间上为减函数，求a的取值范围．题型14对数型函数比较大小问题【典例14】（24-25高一上·全国·课后作业）设，则（

）A． B． C． D．比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．【变式14-1】已知，则的大小关系是（比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．A． B． C． D．【变式14-2】已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式14-3】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【变式14-4】比较大小：(1)与；(2)与．题型15解对数不等式【典例15-1】求不等式的解集．【典例15-2】已知函数，若，求实数的取值范围．两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①当0<两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.A． B． C． D．【变式15-2】设集合，.若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式15-3】若时，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式15-4】已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【变式15-5】若，则的取值范围为．【变式15-6】解不等式．【变式15-7】若恒存在解集，求实数a的取值范围．【变式15-8】若，求的取值范围．题型16对数型函数图象问题【典例16-1】已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（

）A． B． C． D．【典例16-2】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限对数函数底数对图象的影响其中对数函数底数对图象的影响其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0<c<d<1<a<b.【变式16-1】（多选）函数的大致图象不可能为（

）A． B．C． D．【变式16-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，满足，试画出函数的图象．题型17对数型函数的值域问题【典例17-1】函数在上的值域为（

）A． B．C． D．【典例17-2】函数的值域为（

）A． B． C． D．关于值域问题1.与对数函数有关的复合函数值域：关于值域问题1.与对数函数有关的复合函数值域：一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．【典例17-3】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．关于利用对数函数的单调性求值域首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域．【变式17-1】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）“函数的值域为”的一个充分不必要条件是（

）关于利用对数函数的单调性求值域首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域．A． B．C． D．【变式17-2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式17-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为.【变式17-4】已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是.【变式17-5】已知函数，，则函数的值域为．【变式17-6】（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足．(1)求的解析式；(2)若，求的值域；(3)讨论的定义域．题型18对数函数模型在实际问题中的应用【典例18-1】已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（

）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）A．11 B．12 C．13 D．14对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤：(1)列出指数关系式对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤：(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax；(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．【典例18-2】（24-25高三上·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（

）（素数即质数，，计算结果取整数）A． B． C． D．解题锦囊解题锦囊(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.(2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.【变式18-1】（24-25高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（

）（参考数据：)A．2700年 B．3100年C．3500年 D．3900年【变式18-2】（24-25高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍题型19对数函数性质的综合应用【典例19-1】若方程的实根在区间上，则（

）A． B．2 C．或2 D．1【典例19-2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若函数的图象经过点，求的最大值.解决综合性问题的关注点解决综合性问题的关注点(1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提；(2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性．【变式19-1】已知函数，在上恒成立，则实数的取值范围是．【变式19-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数.(1)当时，求该函数的值域；(2)若对于恒成立，求的取值范围.【变式19-3】（2025·江苏南通·一模）已知函数．(1)判断并证明的奇偶性；(2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【变式19-4】已知函数．(1)当时，求函数的值域；(2)若的定义域为，求实数的取值范围；(3)若在上单调递增，求实数的取值范围.【变式19-5】已知函数．(1)求函数的解析式；(2)解方程．【变式19-6】已知函数（且）的图象过点．(1)求a的值；(2)若（i）求的定义域并判断其奇偶性；（ii）求的单调递减区间．题型20三种函数的性质及增长速度比较【典例20-1】下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（

）A． B． C． D．常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．A．当时，总走在最前面B．当时，总走在最前面C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．【变式20-1】下列函数中，增长速度最慢的是（

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．A． B．C． D．【变式20-2】卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（

）．A． B．C． D．【变式20-3】对于任意，不等式都成立，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式20-4】下列结论正确的是（

）A．若，则的最小值为2B．若，则C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③【变式20-5】（多选）对于函数与的图象，下列说法错误的是（

）A．与有三个交点B．与有两个交点C．，当时，恒在的下方D．，当时，恒在的上方【变式20-6】设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（

）A．的增长速度最快，的增长速度最慢B．的增长速度最快，的增长速度最慢C．的增长速度最快，的增长速度最慢D．的增长速度最快，的增长速度最慢【变式20-7】某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标