专题01 不等式能成立及恒成立的八大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

专题01不等式能成立及恒成立的八大题型题型一：上恒成立问题 2题型二：给定区间内恒成立问题 5题型三：恒成立综合性问题 9题型四：上能成立问题 15题型五：给定区间内能成立问题 17题型六：能成立综合性问题 20题型七：能成立及恒成立综合问题 25题型八：双变量问题 27【方法指导】一、高中数学中不等式恒成立问题的解决办法主要有：1.

分离参数法：将参数与变量分离，转化为求函数最值。2.

函数最值法：直接构造函数，求其最值，使不等式与最值比较（如f(x)≥0恒成立即f(x)最小值≥0）。3.

数形结合法：转化为函数图像位置关系，如一方图像恒在另一方上方（如f(x)图像恒在g(x)上方），简化分析。4.

判别式法：针对二次不等式，用判别式判断解集情况。5.

变量替换法：换元简化不等式，再用上述方法求解。二、高中数学中不等式能成立问题的解决办法主要有：1.

分离参数法：分离参数与变量，转化为求函数最值。2.

函数法：构造函数，利用函数值域判断是否存在满足条件的解。3.

数形结合法：将不等式转化为函数图像关系，通过图像交点等分析。4.

等价转化法：转化为对应方程有解或区间内存在值满足条件。题型一：上恒成立问题不等式上恒成立求参数的取值范围问题的策略简单不等式相关的用不等式性质及基本不等式.一元二次不等式：用开口方向和判别式判断．（3）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过求出f(x)的最值，即得参数的范围．1．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）若，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项.【详解】A选项，，因为，所以，所以，，A正确；B选项，，因为，所以，所以，，B正确；C选项，当时，，C错误；D选项，，因为，所以，当时，，，当时，，，D错误；故选：AB.2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）设，，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】做差法可判断AD；利用基本不等式可判断BC.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，，所以，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，，，所以，当且仅当即时等号成立，故C正确；对于D，，，，所以，故D错误.故选：ABC.3．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是.【答案】【分析】根据题意知恒成立，再求解即可.【详解】函数的定义域为，则恒成立，当时显然不成立；当时，则恒成立，当时，，解得.综上所述：实数取值范围是.故答案为：.4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意解决一元二次不等式恒成立问题，根据对数函数和二次函数的性质求得结果即可．【详解】由题意可得在上恒成立，时，不等式为，恒成立；时，应满足解得，综上知，的取值范围是．故答案为：．5．已知关于x的一元二次方程对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】根据方程的根得出判别式的不等关系计算求解.【详解】关于x的一元二次方程对任意的实数a均有实数根，则恒成立，又因为，所以.故答案为：.6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，（且）恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】将原不等式变形为，由指数函数的图象性质可解.【详解】由，且，所以，则，所以.故答案为：7．（2025高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，求的取值范围．【答案】【分析】转化为一元二次不等式恒成立问题解得.【详解】由已知得的定义域为，即取任何实数都有成立，所以，解得．故的取值范围为.题型二：给定区间内恒成立问题不等式定区间内恒成立求参数的取值范围问题的策略（1）简单不等式相关的用不等式性质及基本不等式。（2）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过求出f(x)的最值，即得参数的范围．8．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解.【详解】实数，则，当且仅当时等号成立，由恒成立，得，解得，所以实数的取值范围为.故选：C9．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：先将原不等式的右式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可；解法二：先将原不等式的右式进行化简，然后利用柯西不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可；【详解】关于的不等式在上恒成立，即，因为，所以．解法一：（基本不等式）

，当且仅当，即时等号成立，所以，解得．解法二：（柯西不等式），当且仅当，即时等号成立．（柯西不等式：，当且仅当时等号成立）所以，解得.故选：D．10．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解此不等式即可得的取值范围．【详解】因为正实数满足，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号．因此的最小值为4，又恒成立，所以，解得，即实数的取值范围是．故答案为：.11．（2025高一·全国·专题练习）（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是；（2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是.【分析】（1）利用基本不等式可求解，进而利用分离参数法，结合二次函数的性质求解，或者构造二次函数，利用二次函数的性质求解，（2）将其看作是关于的一次函数，即可列不等式，由一元二次不等式化简求解.【详解】（1）当时，.当时，（当且仅当时取等号），则，即.由题意知在时恒成立.方法一

分离参数得在时恒成立，故��需小于等于函数在区间上的下确界.，故当时，，所以.方法二

在时恒成立（*）.令，则问题（*）等价于在上恒成立，函数的图象的对称轴为直线，且开口向上，所以在上，，所以，即.（2）不等式对满足的所有都成立，则对任意的，恒成立，令，则即解得.故答案为：；12．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数．(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．(2)解关于的不等式（其中）．【分析】（1）等价变形给定不等式，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可.（2）分类讨论求解含参数的不等式.【详解】（1）不等式，当时，恒成立，而，当且仅当时取等号，则，所以实数a的取值范围是.（2）不等式，当时，不等式为，解得；当时，不等式为，解得或；所以当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为.题型三：恒成立综合性问题不等式恒成立求参数的取值范围问题之特别注意解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．13.（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】对于命题，要使能取到所有大于的数，需分和两种情况讨论，时根据二次函数图象性质确定的取值范围；对于命题，要使在上恒成立，同样分和两种情况，时根据二次函数图象性质确定的取值范围.最后根据充分不必要条件的定义判断与的关系.【详解】对于命题可以取到所有大于0的数显然成立；时，，解得，所以.对于命题在上恒成立.时显然成立；时，，解得，所以.所以是的充分不必要条件，故选：B.14．已知函数的定义域和值域都为，则（

）A． B．C． D．不存在【答案】B【分析】根据题意结合指、对数函数性质分析求解.【详解】因为函数的定义域为，则恒成立，且，可得；又因为函数的定义域和值域都为，则取到所有正数，且，可得；综上所述：.故选：B.15．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象恒过原点B．若，则是增函数C．若的定义域为，则的取值范围为D．若的值域为，则的取值范围为【答案】AC【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：举反例说明即可；对于C：分析可知对任意恒成立，结合判别式分析运算；对于D：分析可知的值域包含，结合判别式分析运算.【详解】因为函数，对于选项A：因为，所以的图象恒过原点，故A正确；对于选项B：若，则，因为，可知不是增函数，故B错误；对于选项C：若的定义域为，则对任意恒成立，则，解得，所以的取值范围为，故C正确；对于选项D：若的值域为，则的值域包含，则，解得或，所以的取值范围为，故D错误；故选：AC.16．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为；（2）若函数的值域为，则实数的取值范围为．【答案】【分析】（1）定义域为，说明真数恒大于0，列式求解；（2）值域为，说明真数能取遍，列式求解.【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得所以的取值范围是．（2）值域为即真数能取遍当时，成立，当，解得，所以的取值范围是故答案为：；17．（2025高一·全国·专题练习）（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为．（2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为．【答案】/【分析】（1）二次项含参数，需对是否为0进行讨论．（2）方法一：由题意函数在时的最小值大于或等于0，对对称轴位置进行分类讨论即可求解；方法二：分离参数即可求解.【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立；若对一切实数都成立，则解得．综上所述，当时，对一切实数都成立．（2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立函数在时的最小值大于或等于0.①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即，函数在时取得最小值，则最小值，结合得；②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即，函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解；③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即，函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解．综合①②③，得实数的最小值为．方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数．因为，所以，则，即．令，则大于或等于的最大值即可．，则．故实数的最小值为．故答案为：（1），（2）.18．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合．(1)求集合；(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．【分析】（1）当时，显然成立；当时，由求解即可；（2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可.【详解】（1）当时，显然恒成立；当时，不等式对一切实数都成立，则，解得．综上，．（2）因为“”是“”的充分条件，所以．又，即在上恒成立．令，则，解得，所以的取值范围为．19．（2025高一·全国·专题练习）已知函数．(1)若的定义域为，求实数的取值范围；(2)若的值域为，求实数的取值范围．【分析】（1）根据题意得到在上恒成立，再分类讨论求解即可；（2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可.【详解】（1）函数的定义域为，则在上恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，有，解得．所以实数的取值范围为．（2）函数的值域为，则的值域必须包含，当时，，不符合题意；当时，有，解得.所以实数的取值范围为．20．已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【分析】若为真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得；若为真命题，利用分离参数法并结合基本不等式可得，再根据为真命题，为假命题，可知，一真命题一假命题；再分“为真命题，为假命题”和“为假命题，为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果.【详解】解：若为真命题，则有解，所以，即；若为真命题，则对一切恒成立,令,则,当且仅当，即时，取得最小值；所以，即；又为真命题，为假命题，所以，一真命题一假命题；当为真命题，为假命题时，，所以；当为假命题，为真命题时，，所以；综上所述，.21．已知函数．(1)当时，求该函数的值域；(2)若对于恒成立，求的取值范围．【分析】（1）利用换元，转化为二次函数求值域；（2）根据（1）的过程，参变分离转化为最值问题，即可求解.【详解】（1）因为，设，，则，所以，在上单调递减，在上单调递增，，，所以函数的值域是.（2）由（1）可知，，，即，，即，恒成立，在上单调递增，所以函数的最小值为，所以.题型四：上能成立问题不等式能成立问题的解题技巧：（1）优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值比较”，如存在x使f(x)＞a成立，即a＜f(x)最大值.（2）直接构造函数，分析其值域，若值域与不等式范围有交集则成立.（3）注意与恒成立问题的区别，能成立关注“存在性”，常与最值、值域相关联.22．已知函数．若关于x的方程有解，则a的取值范围为．【答案】【分析】令，得，令，换元得出二次函数由二次方程的根的性质可求得a的取值范围.【详解】因为，令，则．∵有解，∴在上有解，∴且,解得，∴a的取值范围为．故答案为：.23．已知函数．(1)当时，解关于的不等式；(2)若在上有解，求实数的取值范围．【分析】（1）将代入，直接解指数不等式即可；（2）化简后，令换元后转化成二次函数问题即可求解.【详解】（1）当时，，则，解得，所以不等式的解集为；（2）由可得：，所以，令，则，当时，，所以实数的取值范围为：．24．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数.(1)当时，求的值域；(2)若最小值为，求m的值；(3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可；（2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可；（3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可.【详解】（1）设，，，，其对称轴方程为，故函数在上单调递增，所以，故所求值域为；（2）∵函数的最小值为，，若，在R上单调递增，没有最小值；若时，可知当时，y取得最小值；即，解得或舍去，综上，；（3）由题意，有实数解，即，可得，要使此不等式有解，只需即可，（当且仅当时取等号），，，解得，即实数a的取值范围为.题型五：给定区间内能成立问题不等式能成立问题的解题技巧：（1）优先用分离参数法，将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值比较”，如存在x使f(x)＞a成立，即a＜f(x)最大值.（2）直接构造函数，分析其值域，若值域与不等式范围有交集则成立.（3）复杂问题可结合数形结合，将不等式转化为两函数图像关系，通过交点或位置判断存在性.（4）注意与恒成立问题的区别，能成立关注“存在性”，常与最值、值域相关联.25．（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是．【答案】【分析】分离参数后转化为求函数的最小值.【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解，只需要不小于函数在区间上的最小值即可，因为，函数图像对称轴，且，所以当时，在区间上取最小值，，所以若命题“”为真命题，则，实数的取值范围是．故答案为：26．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是．【答案】【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可.【详解】解法一、令，①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件．②当时，的图象的对称轴方程为，若，则在上单调递减，则只需满足，得；若，则，且时已满足条件．综上，实数的取值范围为．解法二、时，，由得，则在上有解．令，则当时，；当时，，又在单调递增，所以，即，故实数的取值范围为．故答案为：.27．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围.【答案】．【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得．【详解】因为，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以不等式有解，即，解得或，故答案为：．28．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知当时，有解，则实数的取值范围是．【答案】【分析】首先求出的范围，再分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性，求出的范围，即可得到不等式组，解得即可.【详解】因为当时，，当时，在上单调递增，且，显然无解，故舍去；当时，在上单调递减，且，要使当时，有解，只需，解得；综上可得实数的取值范围是.故答案为：题型六：能成立综合问题不等式能成立问题的解题技巧：（1）对于对数函数与二次函数复合的函数最值问题，通常采用换元法将对数函数转化为新变量，转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解.（2）对于不等式有解求参数范围问题，常通过参变分离将参数与变量分离，转化为求函数最值问题，再结合函数单调性等性质求解.29．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解.【详解】由，可知有解，且无最大值，即有解，且无最大值，当时，有解，无最大值，符合题意；当时，，则有解，当时，有最大值，则有最大值，不符合题意；当时，有解需满足，解得，此时无最大值，无最大值，满足题意．综上，实数的取值范围是．故选：A．30．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)若不等式有解，求实数的取值范围．【分析】（1）由复合对数函数定义域的求法列出不等式组，解之即可得解；（2）只需结合换元法、对数函数单调性，求出的最大值即可得解.【详解】（1）函数有意义，须满足，∴．∴函数的定义域为．（2）∵不等式有解，∴小于的最大值．．令，由于，∴．∴函数的最大值为，∴实数的取值范围为．31．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上：(1)有解，求的范围；(2)有一解，求的范围；(3)有两不同解，求的范围；(4)无解，求的范围．【分析】令，求出对称轴，得到，分别讨论，，时满足的条件得到答案【详解】（1）令，由题意得对称轴为：，且①时，要使在上有零点，则，即，解得：②时，要使在上有零点，则，即，解得：③时，，无零点，不符合题意，综上所述，（2）由（1）知，，①时，，即，解得：②时，，即，解得：③时，，无零点，不符合题意，综上所述，（3）由（1）知，，①时，有一解或无解，不符合题意②时，，即，解得：③时，，无零点，不符合题意，综上所述，（4）由（1）知，①时，，即，解得：，，②时，，即，解得：，，③时，，无零点，符合题意，综上所述，32．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上：(1)有解，求的范围；(2)有一解，求的范围；(3)有两不同解，求的范围；(4)无解，求的范围．【分析】将问题转化为与在上交点个数的问题，画出的图像，依次分析4个问题即可求解.【详解】（1）令与，方程在上有解，则函数与有交点：作出函数图像如下：则，解得：，所以的范围为（2）方程在上有一解，则函数与有一个交点：作出函数图像如下：则或，解得：或，所以的范围为（3）方程在上有两个解，则函数与有两个交点：作出函数图像如下：则，解得：，所以的范围为（4）方程在上无解，则函数与没有交点：作出函数图像如下：则或，解得：或，所以的范围为33．已知，函数的最大值为4，最小值为0.(1)求的值(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.【分析】(1)化简f(x)解析式，将看作整体即可求f(x)最值，即可求出a、b的值；(2)化简，化简不等式，参变分离k和t，得，问题等价于.【详解】（1），由得，，又a＞0，因此的最大值为，最小值为，解得．（2），又，，而在上单调递减，在上单调递增．因为，，所以．由不等式在上有解，得：．因此，的取值范围是．题型七：能成立及恒成立综合问题不等式能成立及恒成立问题：一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．34．（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根.（1）则的取值范围是；（2）在此条件下，使有解，则的取值范围为.【答案】．【分析】（1）根据题意，只需满足求解即可；（2）将分离，得到关于的不等式，令进行换元，得到关于的函数，求出该函数的单调性，根据题中条件可知，函数有解，求得该函数的最大值即可.【详解】（1）由方程至多一个实数根需满足，其中判别式：，解得即的取值范围为;（2）对于，使有解，即在上能成立，令，则，则，因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即实数的取值范围.故答案为：（1），（2）35.（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数且.(1)若的图象经过点，求不等式的解集；(2)若存在x，使得，求a的取值范围.【分析】（1）将代入解析式，得到，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出不等式解集；（2）先求出，变形得到在上有解，求出，从而得到，求出a的取值范围.【详解】（1）将代入得，，解得，故，其在上单调递增，，故，解得，故不等式的解集为；（2），，解得，且，故在上有解，即在上有解，其中在上单调递增，且，当时，，故，所以，又且，解得.题型八：双变量问题双变量问题的解题技巧主要有1.

消元法：利用已知等量关系消去一个变量，转化为单变量问题求解。2.

分离变量法：将两变量分置于等式或不等式两侧，转化为两个函数的最值比较。3.

换元法：设比值（如t=x₁/x₂）、和差（如t=x₁+x₂）等，将双变量化为单变量t的函数。4.

构造函数法：构造含双变量的新函数（如差值函数），研究其单调性或最值。5.

利用对称性：若变量对称，可假设x₁≥x₂简化讨论，减少运算量。36．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别计算出与的最大值，满足即可.【详解】，，有，解得，即A正确.故选：A.37．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是.【答案】【分析】首先求出两函数的值域，再根据题意转化为两个函数值域的包含关系，可分和两种情况进行分类讨论，列示求解.【详解】当时，；当时，当，，又，，使得，所以，所以，解得；当时，当，，又，，使得，所以，所以，解得.综上，实数的取值范围是.故答案为：38．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足对任意的实数a，b，都有，且当时，．若对所有的恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】首先确定函数性质，在上单调递增，再求函数在区间上的最大值为，将最大值带入不等式.已知函数的值域为，则恒或立，即；恒成立，即.所以本题可化为对所有的恒成立,令，由对恒成立,即，可得结果.【详解】设且，则，即，因为，当时，，所以，即，所以，故在上单调递增，则在上的最大值为．因为对所有的恒成立，所以对所有的恒成立，即对所有的恒成立．令，由对恒成立，得，即，解得或或．所以实数的取值范围为．故答案为：．39．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为．【答案】【分析】根据给定条件求出函数及其在上的值域，再借助对勾函数求出函数在上的值域，利用值域的包含关系求出的范围.【详解】由幂函数在上单调递减，得，解得，，因此在上的值域为，当时，令，由函数在上单调递减，在上单调递增，得，于是函数在上的值域，而对任意，总存在，使得，则函数在上的值域为函数在上的值域的子集，于是，即，所以.故答案为：40．（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是.【答案】【分析】首先求出与的取值范围，依题意可得的值域为函数的值域的子集，即，即可得到不等式组，解得即可.【详解】函数，，则，函数，，则，因为对任意的，存在，使得，所以的值域为函数的值域的子集，即，所以，解得，即实数m的取值范围是.故答案为：41．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围.【分析】（1）利用，构造对数不等式，解出该不等式即可;（2）由题意可知