专题1.1~1.3 随机现象、样本空间、随机事件（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

PAGE2NUMPAGES15专题随机现象、样本空间、随机事件

教学目标(1)结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义；(2)结合具体实例，理解随机事件与样本点的关系.教学重难点1.重点：理解随机现象、样本点、随机事件、必然事件、不可能事件等概念.2.难点：找出样本空间、样本点知识点01确定性现象与随机现象确定性现象在一定条件下必然出现的现象；2．随机现象在一定条件下，进行实验或观察会出现不同的结果，而且每次实验之前都无法预言出现哪一种结果的现象.【知识剖析】随机现象的两个特点(1)有限性：结果个数有限，但至少有2种；(2)随机性：事件不知道会出现哪一种结果.【即学即练】1.下面四个选项中，是随机现象的是（

）A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹【答案】A【分析】判断出四个现象是随机现象还是确定性现象，从而选出正确答案.【详解】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象.故选：A知识点02样本空间与样本点1.随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验.【知识剖析】随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下重复进行:(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果2.样本空间与样本点（1）一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个样本空间，其中的元素称为样本点，用表示样本空间.（2）如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间，用表示.【即学即练】1．一个家庭有两个小孩，则样本空间Ω是()A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}【答案】C【详解】因为两个小孩有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C.2．连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面．(1)写出这一随机试验的样本空间；(2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集．【答案】(1){（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}(2){（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}【分析】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果，然后利用列举法求解即可；（2）利用（1）直接求解.【详解】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果，则试验的样本空间为：{（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}；（2）由（1）可知“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集为{（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}.知识点03必然事件、不可能事件和随机事件1.必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．2.不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．3.随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.注意：（1）不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件。（2）任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生。4.事件的表示∶不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件．通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的韦恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件.【易错警示】事件的结果是相对于“条件S”而言的.如，在标准大气压下，把水加热到100℃，这是条件，在此条件下水沸腾，这是一个必然事件;又如，向上抛掷一枚均匀的硬币，这是条件，在此条件下，落地时硬的正面朝上，这是一个随机事件.【即学即练】1.（24-25高一下·河北石家庄期末）以下事件是随机事件的是（

）A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大【答案】C【分析】利用随机事件的定义求解即可.【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件，C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确.故选：C2.指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．（1）“天上有云朵，下雨”；（2）“在标准大气压下且温度高于0℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，不中靶”；（4）“如果a＞6，那么a－b＞0”；（5）“掷一枚硬币，出现反面朝上”；（6）“从3个次品、1个正品共4个产品中抽取2个产品，抽到的都是正品”；（7）“从分别标有1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水分，种子发芽”；（10）“同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上”．【详解】（2）、（4）是必然事件，（6）、（9）是不可能事件，（1）、（3）、（5）、（7）、（8）、（10）是随机事件．题型01随机现象的判断【典例1】如果在某届世界乒乓球锦标赛女子单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛．那么该比赛的：（1）“冠军属于中国选手”；（2）“冠军属于外国选手”；（3）“冠军属于中国选手甲”．分别是随机现象还是确定性现象？【详解】甲、乙两名中国选手进入最后决赛，所以冠军一定为中国选手，不会是外国选手，所以（1）是必然事件，确定性现象，（2）为不可能事件，确定性现象，冠军可能是甲，也可能是乙，所以（3）为随机现象.区分随机现象与确定性现象的方法（1）确定性现象：在一定条件下，结果必然唯一，可预先确定。如“标准大气压下，水加热到100℃会沸腾”。（2）随机现象：条件相同，结果不唯一且无法预知单个结果，但大量重复后结果有统计规律性。如“掷一枚硬币，单次结果是正面还是反面”.

核心区别：条件给定后，结果是否唯一确定。【变式1-1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列现象是确定性现象的是（

）A．某路口每星期发生交通事故1次B．冰水混合物的温度是C．三角形的内角和为D．一个射击运动员每次射击都命中7环【答案】C【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误；对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误；对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为确定性现象，故C正确；对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误；故选：C.【变式1-2】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象．(1)如果a>b，那么(2)掷一枚硬币，出现反面；(3)从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；(4)某电话机在1分钟内收到2次呼叫．【分析】根据随机现象与确定性现象的定义逐一判断即可.【详解】（1）因为a>b则（2）掷一枚硬币，有可能正面，有可能反面，所以是随机现象（3）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，抽到任意一张都有可能，所以是随机现象（4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫，有可能发生，所以是随机现象题型02确定样本空间与样本点考向1列表法确定样本空间【典例1】袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．(1)从中任取一个球；(2)从中任取两个球；(3)先后各取一个球．分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数．【详解】(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4.(2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6.(3)先后取两个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球．列表如下：则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12.【易错警示】注意(2)(3)的区别，(2)中取球与顺序无关，(3)中取球与顺序有关，条件不同，样本点和样本空间就可能发生变化．样本空间要写成集合的形式．考向2树状图法确定样本空间【典例2-2】将数字1,2,3,4任意排成一列，试写出该试验的样本空间．【详解】这个试验的样本点实质是由1,2,3,4这四个数字组成的没有重复数字的四位数，所作树状图如图．这个试验的样本空间Ω＝{1234,1243,1324,1342,1432,1423,2134,2143,2341,2314,2431,2413,3124,3142,3214,3241,3421,3412,4123,4132,4213,4231,4312,4321}．考向3列举法确定样本空间【典例3】从1,2,3,5中任取两个数字作为直线Ax＋By＝0的系数A，B.(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)写出“这条直线的斜率大于－1”这一事件所包含的样本点．【详解】(1)从1,2,3,5中任取两个数字构成有序实数对(A，B)，其中A是第一次取到的数字，B是第二次取到的数字，这个试验的样本空间是Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}．(2)这个试验的样本点的总数是12.(3)因为直线Ax＋By＝0的斜率－EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(A),B)＞－1，所以EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(A),B)＜1，即A＜B.因此，“这条直线的斜率大于－1”这一事件包含的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5)．求试验的样本空间及样本点的策略1．主要策略有三种：列表法、树状图法、列举法.2．求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点．对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏．写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关．【变式2-1】（24-25高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用ai表示“第i枚硬币正面朝上”，bi表示“第i枚硬币反面朝上”i=1,2，则该试验的样本空间Ω=【答案】a【分析】按照a1表示“第1枚硬币正面朝上”，a2表示“第2枚硬币正面朝上”，b1表示“第1枚硬币反面朝上”，b【详解】事件空间：a1故答案为：a1【变式2-2】甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点总数；(3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点．【分析】先标记，结合题意列出所有可能的样本点，进而即可得到符合题意的样本点.【详解】（1）从左到右记这三个位置分别为1，2，3，则这个试验的样本空间为Ω=1,2其中第1个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号．（2）由（1）知这个试验的样本点总数是6．（3）由（1）知，事件“甲、乙相邻”包含4个样本点：1,2，2,1，2,3，3,2．事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个样本点：1,2，1,3，2,3．【变式2-3】根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间．(1)任意抽取1张，记录它的花色；(2)任意抽取1张，记录它的点数；(3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数；(4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和．【详解】（1）一副扑克牌有四种花色，所以样本空间为Ω={红心，方块，黑桃，梅花}．（2）扑克牌的点数是从1～6，所以样本空间为Ω=1,2,3,4,5,6（3）依次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示．1234561(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)故样本空间为Ω={(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}.（4）一次抽取2张，则1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,1+6=7，2+3=5，2+4=6，2+5=7，2+6=8，3+4=7,3+5=8，3+6=9，4+5=9,4+6=105+6=11，所以样本空间为Ω＝3,4,5,6,7,8,9,10,11题型03事件类型的判断【典例3-1】下列事件中，是必然事件的是（

）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨【答案】B【分析】根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.故选：B【典例3-2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（

）A．事件是随机事件 B．事件是必然事件C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件【答案】D【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.【详解】随机试验的样本空间为，则事件是随机事件，故A正确；事件是必然事件，故B正确；事件是不可能事件，故C正确；事件是不可能事件，故D错误.故选：D判断一个事件是哪类事件要看两点一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.【变式3-1】（24-25高一下·全国·课后作业）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（

）A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生【答案】B【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解．【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，故选：B．【变式3-2】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有2件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【答案】D【分析】根据必然事件的概念进行判断.【详解】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品.故选：D【变式3-3】(多选)（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品【答案】CD【分析】根据题意，只需找到不可能事件与必然事件即可.【详解】对于A，因25件同类产品中，有2件次品，则有23件正品，故从中任取3件产品，其中3件都是正品是可能的，是随机事件，不符题意；对于B，当从中任取3件产品中“2正1次”或“1正2次”都表示至少有1件次品，故是随机事件，不符题意；对于C，因同类产品中总共只有2件次品，故“3件都是次品”是不可能事件，符合题意；对于D，因25件同类产品中，有2件次品，而要从中任取3件产品不可能全是次品，即其中至少1件是正品，故“至少有1件正品”是必然事件，故符合题意.故选：CD.练基础1．一个不透明口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是()A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．不能确定【答案】A【详解】该事件可能发生也可能不发生，为随机事件．2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有()A．7个B．8个C．9个D．10个【答案】C【详解】“点落在x轴上”这一事件记为M，则M＝{(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)}，包含9个样本点．3．（24-25高一下·全国·课后作业）下列事件是随机事件的是（

）A．明天是阴天B．方程有两个不相等的实数根C．明年长江武汉段的最高水位是D．一个三角形的大边对小角，小边对大角【答案】AC【分析】根据随机事件的定义分别判断即可．【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意；对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意；对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意；对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意；故选：AC．4．（24-25高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④【答案】A【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件；三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件；实数a，b都不为0，则，③是不可能事件；某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.故选：A5．（多选）下列事件中，是随机事件的有()A．连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点B．某人买彩票中奖C．从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2D．在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾【答案】AB【详解】A、B是随机事件，C是必然事件，D是不可能事件，故选AB.6．（2025高三上·全国·竞赛）对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据样本空间、样本点、随机事件的定义即可得到答案.【详解】对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本事件，随机事件是样本空间的一个子集.所以有和.故选：BC7．从1,2,3,4中任取2个数，样本空间为____________，事件A“恰好一个奇数，一个偶数”用集合表示为________．【答案】{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}．8．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品．以上的样本点是________．【答案】①②③【详解】从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”．9．（24-25高二上·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象？哪些是确定性现象？（1）导体通电时，发热；（2）抛一块石头，下落；（3）掷一枚硬币，出现正面；（4）某人射击一次，中靶．【答案】（1）（2）是确定性现象；（3）（4）是随机现象．【分析】根据随机试验的结果是否确定发生还是随机发生，即可判断是哪种现象.【详解】对于（1），因导体通电就会发热，故是确定性现象；对于（2）抛一块石头，因有重力作用，必会下落，故是确定性现象；对于（3）掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，故“出现正面”是随机现象；对于（4）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，故“中靶”属于随机现象.10．下列试验中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素．【详解】（1）一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：正，反，（2）一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”，试验的样本空间为：a,11．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．(1)写出这个试验的所有结果；(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．【详解】(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．练提升12．(多选)（2025·浙江·二模）已知为实验的样本空间，随机事件，则（

）A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件【答案】ABD【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，判断选项.【详解】A.当为必然事件，且，故A正确；B.为不可能事件，且，故B正确；C.若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误；D.若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确.故选：ABD13．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到样本点(a，b)，则使函数y＝f(x)有零点的样本点的个数为________．【答案】6【详解】(a，b)的情况有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种．函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，符合条件的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个样本点．14．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品