专题1.2 利用二分法求方程近似解（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

专题1.2利用二分法求方程近似解教学目标1.了解二分法的原理及其适用条件.2.会用二分法求方程的近似解.3.体会二分法蕴含的逐步逼近与程序化思想.教学重难点重点、难点：会用二分法思想和二分法方法求方程的近似解.知识点01二分法的概念对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【知识剖析】运用二分法求函数的零点应具备条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．【即学即练】1．（2025高一·江苏·专题练习）用二分法求函数零点的近似值适合于（

）A．变号零点B．不变号零点C．都适合 D．都不适合【答案】A【详解】由零点存在定理可知，二分法求函数零点的近似值适合于在零点两边的函数值异号，即适用于变号零点.故选：A.2．（24-25高一·全国·课后作业）观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】由图像可知A中图像在与x轴的交点附近连续，且零点左右两侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点.故选：A3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数不宜用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A：在上单调递增，，，所以存在，使得，A宜用二分法求零点；对于B：，存在，使得，B宜用二分法求零点；对于C：，存在，使得，C宜用二分法求零点；对于D：，函数零点为，但不存在区间，使得，即的零点不宜用二分法来求，故选：D．知识点02用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.2.求区间(a,b)的中点c.3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:(1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复步骤2~4.【知识剖析】运用二分法求函数的零点本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值．【即学即练】1．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二分法求函数零点的条件，结合即可判断和选择.【详解】因为是单调增函数，故是单调增函数，其零点至多有一个；又，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是.故选：B.（25-26高一·全国·随堂练习）判断题：用“二分法”求近似解时，精确度越大，零点的精确度越高．()【答案】错误【知识点】用二分法求近似解的条件【分析】由二分法的求解过程即可得解.【详解】精确度越大，零点的精确度越低，故答案为：错误.题型01二分法概念的理解【典例1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求函数零点的有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用二分法零点判断规则即可得到正确选项.【详解】选项A：由，可得在上存在零点，故A错误；选项B：由，可得在上存在零点，故B错误；选项C：，则其零点为，但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点，故C正确；选项D：由，可得在上存在零点，故D错误.故选：C.【典例1-2】（24-25高一上·湖北荆州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根据二分法的适用条件可得出合适的选项.【详解】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足，则可以利用二分法求函数的零点的近似值，故选项A不能用二分法求图中函数零点，故选：A.【典例1-3】（24-25高一·全国·课后作业）关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（

）A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解【答案】D【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.【详解】利用二分法求方程在内的近似解，即在区间内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是内的精确解．故选：D.【典例1-4】．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据相关函数的性质及二分法判断零点的过程，判断题设条件间的推出关系，即可得答案.【详解】对于，函数图象不连续且不存在零点，但在和上函数值符号不同，所以不能用二分法判断零点，否则会得到矛盾结果，而不与轴相切；若函数与x轴相切，即函数图象只在轴的一侧，故函数值恒正或恒负，但存在零点，所以不能用二分法判断零点；综上，一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的必要不充分条件.故选：B二分法概念的理解二分法的求解原理是函数零点存在定理;应用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,如y=x2,该函数的零点为0,零点两侧函数值符号相同,不能用二分法求解.【变式1-1】（24-25高一·全国·课后作业）下列关于二分法的叙述中，正确的是（

）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【答案】B【分析】根据二分法的概念进行判断ABC选项，D选项，求零点的方法有多种.【详解】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误；B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位，B正确；C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号，因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误；D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误．故选：B．【变式1-2】（24-25高一上·四川成都·期末）下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用二分法求函数零点近似值的特点，即先观察图像有零点，再根据零点左右两侧函数值符号不同，依次分析选项，可得到答案.【详解】函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即图像穿过轴时，能用二分法求函数零点近似值，据此分析选项，由图知，A选项中，零点的左右两侧的函数值符号相同，函数不能用二分法求零点近似值；B选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；C选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；D选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值.故选:A【变式1-3】（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项.【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点，观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点，所以选项A中函数不能用二分法求零点．故选：A.【变式1-4】下列函数中不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解.【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点；对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点；对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的，故C不能用二分法求零点；对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点.故选：C.【变式1-5】已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（

）

A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4【答案】C【分析】与轴的4个交点中，要判断交点左右两侧函数值异号的方可用二分法，即可得到答案.【详解】图象与轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选：C【变式1-6】（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，函数，故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，无零点；当时，当且仅当时，等号成立，在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B【变式1-7】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，函数，故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，无零点；当时，，当且仅当时，等号成立，函数在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B题型02求方程的近似解的初始区间【典例2】（24-25高一上·浙江·期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】二分法求方程近似解的过程、零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件、判断零点所在的区间【分析】利用零点存在定理计算求解.【详解】设，显然函数图象是连续的，则有，，，，，所以，，，，故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.故选：B.选择题中用二分法求方程的近似解的初始区间直接判断区间端点值是否异号【变式2】用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】判断一般幂函数的单调性、用二分法求近似解的条件【分析】由函数单调性判断各区间端点函数值正负情况，结合零点存在性定理即可得答案.【详解】由，且在定义域上递增，所以区间、、对应函数都为正，只有区间中函数值有正有负.故选：A题型03求方程的近似解【典例3-1】（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示：x121.51.751.8751.812531.3420.5793则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（

）A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9【答案】C【知识点】零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可.【详解】由表格可得，函数的零点在区间内，且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8．故选：C.【典例3-2】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】二分法求函数零点的过程、零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解.【详解】因为，则，，又，，由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是，故选：C.用二分法求方程的近似解的关注点（1）首先将方程转化为相应的函数，根据二分法求方程近似解的步骤循环进行，直到方程近似解所在的区间符合精确度要求；(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.【变式3-1】若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下：x11.51.251.3751.3125－10.875－0.29690.2246－0.05151那么方程的一个近似根（精度为0.1）为（

）A．1.3 B．1.3125 C．1.4375 D．1.25【答案】B【知识点】用二分法求近似解的条件【分析】根据零点存在定理判断．【详解】由表格知在区间上区间两端点处函数值符号相反，且区间长度不超过0.1，符合精度要求．因近似解可取此区间上任一数，只有B符合．故选：B．题型04求函数零点的近似值【典例4】（25-26高一上·广东佛山·期中）用二分法求函数零点时，所求到的零点（

）A．一定是近似值B．一定不是近似值C．一定不是准确值D．可以是准确值【答案】D【知识点】二分法求函数零点的过程、用二分法求近似解的条件【分析】利用二分法的定义分析即可.【详解】由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值.故选：D二分法求方程近似解或函数零点近似值的方法(1)根据方程的解即对应函数的零点,求方程f(x)=0的近似解,可以按照二分法求函数零点的步骤进行;(2)初始区间的确定要包含函数的变号零点,当零点所在区间符合精确度要求时,停止二分,区间内的任意一点都可以作为零点的近似解,一般取端点作为零点的近似解.【变式4-1】已知函数在区间上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：，，，，，，据此可得该零点的近似值为．（精确到）【答案】【知识点】用二分法求近似解的条件、判断零点所在的区间【分析】利用零点存在定理即可得解.【详解】因为，，即，所以由零点存在定理可知的零点在之间，近似值为.故答案为：.【变式4-1】在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为（精确度为0.2）.【答案】0.6875【知识点】二分法求方程近似解的过程、用二分法求近似解的条件【分析】根据二分法的计算过程即可求解.【详解】因为，，所以可作为方程的近似解.故答案为：0.6875.题型05二分法思想的应用【典例5】（24-25高一上·全国·课后作业）在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称次就可以发现假币.【答案】3【知识点】用二分法求近似解的条件【分析】写出利用天平最少3次找到那枚假币的过程即得解.【详解】将12枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚金币里面，将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面，将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．依据上述分析，最少称3次就可以发现这枚假币．故答案为：3．关于精确度的理解近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|<ε，则x′是精确度为ε的x的一个近似值，精确度简称精度．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|a－b|<ε，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解．【变式5-1】用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【知识点】二分法求方程近似解的过程、二分法求函数零点的过程、用二分法求近似解的条件【分析】由于长度等于的区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为0.01时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.【详解】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过次操作后，区间长度变为，令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6.故选：B.练基础1．下列关于二分法的叙述，正确的是（

）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只有求函数零点时才用二分法【答案】B【知识点】二分法求方程近似解的过程、零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件【分析】根据二分法的概念对进行判断,可以排除,从而选B.【详解】根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选：B.2．（24-25高一上·广东·阶段练习）下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知识点】用二分法求近似解的条件【分析】利用二分法的使用条件，结合图象即可得解.【详解】能用二分法求零点的函数必须在给定区间上连续不断，并且有，A、B中不存在，D中函数不连续．故选：ABD．3．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（

）A．B．C．D．【答案】B【知识点】用二分法求近似解的条件【分析】根据二分法的要求结合零点存在性定理分析判断.【详解】由题意可知：二分法求零点要求函数连续不断且满足零点存在性定理，即成立，对比选项可知：ACD均符合，但选项B：恒成立，不满足零点存在性定理，故B错误.故选：B.4．（24-25高一下·全国·开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】用二分法求近似解的条件【分析】依次判断各个选项中函数的零点及在零点左右两侧函数值是否异号即可.【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点；对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.故选：B.下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A． B．C． D．【答案】B【知识点】用二分法求近似解的条件【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，有唯一零点，但恒成立，故不可用二分法求零点；对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.6．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、用二分法求近似解的条件【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定.【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确；对于B选项，当时，，当且仅当时，等号成立，无零点；当时，当且仅当时，等号成立，在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确；对于C选项，由题意可知只有一个零点，且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误；对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以，则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确.故选：C7.下列说法正确的是（

）A．当时，的大小关系是B．总会存在一个，当时，恒有C．函数有零点，但不可以用二分法求出零点所在范围D．方程有两个根【答案】AB【知识点】求函数零点或方程根的个数、指数、对数、幂函数模型的增长差异、用二分法求近似解的条件【分析】作出函数，，图象的简图，数形结合判断选项正误.【详解】如图，时，，所以A正确；当时，，所以B正确；的零点都为变号零点，所以可以用二分法求零点所在范围，C错误；方程在有一个根，在上有两个根，共三个，D错误.故选：AB.8.判断正误．（1）所有函数的零点都可以用二分法来求．()（2）函数可以用二分法求其零点．()（3）精确度就是近似值．()【答案】错误错误错误【知识点】用二分法求近似解的条件【详解】运用二分法需要函数图象在与x轴交点附近连续，且零点左右两侧的函数值符号不同，所以（1）（2）错误，精确度不是近似值，所以（3）错误.用二分法求函数零点近似值的步骤：给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：（1）确定零点的初始区间，验证.（2）求区间的.（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：（i）若(此时)，则就是函数的零点;（ii）若(此时零点)，则令;（iii）若(此时零点)，则令.（iiii）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或)，否则重复第（ii）至(iiii)步.【答案】中点【知识点】二分法求方程近似解的过程、二分法求函数零点的过程、用二分法求近似解的条件【分析】略【详解】略练提升下列方程中能用二分法求近似解的为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【知识点】零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件、判断零点所在的区间【分析】构造函数，若存在区间，使得函数在处的函数值异号，即可根据零点存在定理得出可以用二分法求近似解；若不存在，则不能.【详解】对于A项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线.根据零点的存在定理可知，，使得，故A正确；对于B项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，，使得，故B正确；对于C项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，，使得，故C正确；对于D项，设，因为恒成立，不存在函数值异号区间，所以不满足二分法的条件，故D错误.故选：ABC.11．（2025高一上·全国·专题练习）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【知识点】用二分法求近似解的条件【分析】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可.【详解】对于选项A：函数在上单调递增，有唯一零点，所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确；对于选项B：函数，故函数有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点的近似值，B错误；对于选项C：当时，，当且仅当时，等号成立，此时无零点；当时，当且仅当时，等号成立，在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，C正确；对于选项D：当时，，当时，，所以能用二分法求零点的近似值，D正确．故选：ACD.12．若函数有零点，但不能用二分法求出该零点，则的值为．【答案】【知识点】用二分法求近似解的条件【分