专题2.1古典概型（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

专题2.1古典概型教学目标1.理解古典概型的特征和理解基本事件的概念.2.掌握概率计算公式.3.能用列举法求概率，会使用列表法或树状图法等列举方法，有序、不重复、不遗漏地列出所有可能的基本事件，并计算简单事件的概率.教学重难点1.重点：理解古典概型的概念，准确把握古典概型的两个基本特征并同时掌握古典概型的概率计算公式.2.难点：判断一个试验是否为古典概型，准确计算基本事件的个数以及分清事件A所包含的基本事件数.知识点01随机事件的概率1.对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数称为随机事件A的．【即学即练】1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）对任意事件，其概率为，则的可能范围是（

）A． B． C． D．知识点02古典概型（重点）1．概念：一般地，若试验E具有如下特征：(1)有限性：样本点总数；(2)等可能性：各个样本点出现的可能性，则称这样的试验模型为，简称．【知识剖析】(1)由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．(2)在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件．【即学即练】1．（2025高一·全国·专题练习）下列是古典概型的为（

）A．从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率2.下列有关古典概型的说法中，错误的是（

）A．试验的样本空间的样本点总数有限B．每个事件出现的可能性相等C．每个样本点出现的可能性相等D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P知识点03古典概型的概率公式（重、难点）1.概率公式P(A)＝＝【易错警示】求随机事件的概率时，首先要判断试验是不是古典概型，若是古典概型，才可使用古典概型的概率公式求其概率.2.从集合的角度理解古典概型的概率计算公式用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与样本点的关系，有利于理解公式P（A）=mn把一次试验中等可能出现的n个样本点组成一个集合I，其中每一个样本点就是I中的一个元素，把含m个样本点的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P（A）=mn【即学即练】1．（25-26高一上·河南·开学考试）一个不透明的袋子中装有个红球，个黄球，个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为（）A． B． C． D．2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是（）A． B． C． D．题型01古典概型的判断【典例1】（24-25高一下·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（

）A．某人射击中靶或不中靶B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C．四名同学用抽签法选一人参加会议D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列概率模型中，是古典概型的个数为（

）①从区间内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4题型02古典概型概率的计算【典例2】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（

）A． B． C． D．三步计算古典概型的概率：1．定空间：选择合适的方法写出样本空间，确定n(Ω2．定事件：表示事件A，确定n(A)；3．求概率：代入pA【变式2-1】（24-25高一下·福建漳州·期末）漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层参观的概率为（

）．A． B． C． D．【变式2-2】（2024·河北·模拟预测）在一个箱子中有大小质地相同的2张卡片，其中一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色，已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则它背面是白色的概率为（

）A． B． C． D．题型03不放回问题的概率计算【典例3】（2025·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（

）A． B． C． D．不放回问题的概率计算仍遵从三步：1.定空间、2.定事件、3.求概率.在不放回问题中，所抽取的元素互不相同.【变式3-1】（24-25高一下·山东临沂·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（

）A． B． C． D．题型04有放回问题的概率计算【典例4-1】（24-25高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和A．23,12 B．14,【典例4-2】(多选)（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（

）A．取出的3个球颜色相同的概率为2B．取出的3个球颜色不全相同的概率为8C．取出的3个球颜色全不相同的概率为2D．取出的3个球无红球的概率为1有放回问题的概率计算仍遵从三步：1.定空间、2.定事件、3.求概率.在有放回问题中，所抽取的元素可以相同.【变式4-1】（24-25高二下·山西·开学考试）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25高二上·广东茂名·期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（

）A． B． C． D．【变式4-3】（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为.题型05由古典概型的概率求参数【典例5-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程200次，共摸出红球80次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（

）个．A．10 B．15 C．25 D．40【典例5-2】从一个不透明的口袋中摸出一个球为红球的概率为15，已知袋中红球有3个，则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为由古典概型的概率求参数时，将所求的量设为未知数，利用古典概型的概率公式列出关于该未知数的方程，解之即得所求.【变式5-1】在一次机器人比赛中，有供选择的A型机器人和B型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，B型机器人被选中的概率为13，若A型机器人比B型机器人多4个，则A型机器人的个数为【变式5-2】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为14，得到黑球或黄球概率是512，得到黄球或绿球概率是1题型06古典概型与统计的综合【典例6】（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求x的值；(2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在50,60,60,70的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在50,60和对于古典概型与统计的综合问题，一般采用各个击破的策略，即统计部分利用统计知识求解，概率部分利用概率公式求解.【变式6-1】某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求出图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；(3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生：（ⅰ）写出该试验的样本空间；（ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．【变式6-2】2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)求及的值；(2)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．练基础1．（24-25高一·全国·单元测试）以下试验不是古典概型的有（

）A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雪的概率D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率2．（24-25高一下·山东青岛·期末）某校高一、高二、高三的人数之比为，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是，则该校高二年级的人数为（

）A．900 B．800 C．700 D．6003．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.20.250.30.15若这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为（

）A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.74．（24-25高一下·广东广州·期末）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（

）A． B． C． D．5．（24-25高一下·浙江金华·期末）从2，4，8，16中任取两个数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（）A． B． C． D．6．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）从绝对值不大于的数字中随机抽取一个自然数，这个数是合数的概率为．7．（25-26高三上·浙江·开学考试）现有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足够多，有甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1个或2个玩偶，至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为.8．（2025高一·全国·专题练习）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果记为.(1)写出这个试验的样本空间．(2)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？(3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？9．（24-25高一下·湖南·期末）俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款.(1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间；(2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率；(3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率.10．（24-25高一下·天津·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为），2支二等品（标号为），1支三等品（标号为），若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件“两支都是一等品”，“含有三等品”．(1)用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果；(2)求事件的概率．练提升11．（24-25高一下·陕西汉中·期末）甲、乙、丙准备在茶话会上表演节目，假设他们三人出场先后的可能性相等，则乙比丙先出场的概率为（

）A． B． C． D．12．（24-25高二下·海南海口·期末）在某次猜数字游戏中，答案是一个无重复数字的三位数．一位同学第一次猜318，只有一个数字猜对且在相对应的位置上；第二次猜329，只有一个数字猜对且不在对应的位置上；第三次猜128，只有一个数字猜对且在对应的位置上．根据上述信息，该同学第四次猜对的概率是（

）A． B． C． D．13．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（）A． B． C． D．14．（多选）（24-25高二上·浙江·期中）某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分，选对两项得6分，答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（

）A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是B．乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是C．丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是D．丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是15．（2023高二下·新疆·学业考试）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则恰好出现一次6点的概率是