2024年提供年自考线性代数经管类试题和参考答案

全国7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

阐明：本卷中，表示方阵A的转■铜阵，4表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，⑶表示方阵A的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题.每题2分，共20分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或

未选均无分。

10-1

1.设4=350,则/卜（）

041

A.-49B.-7

C.7D.49

2.设A为3阶方阵，且同=4,则卜24|=（)

A.-32B.-8

C.8D.32

3.设48为n阶方阵，且则下列命题正确的是（)

A.(4+B)T=A+BB.(AB)T=-AB

C.A?是对称矩阵D.B?+A是对称阵

4.设A,B,X,丫都是〃阶方阵，则下面等式正确的是（)

A.若屋=0,则A=0B.(A8)2=A2B2

C.若AX=AY,则x=yD.若A+X=3,则X=B-A

113

02-14

5.设矩阵A=，则秩（A）)

0005

0000

A.1B.2

C.3D.4

kx+z=0

6.若方程组(2尤+Z)，+z=0仅有零解，则a二()

区一2〉+z=0

A.-2B.-1

C.0D.2

7.实数向量空间V=（（内，X2，X3）kl+X3=。｝的维数是（）

A.0B.I

C.2D.3

%+2—XT，—A—1

8.若方程组(3x2-xy=A-2有无穷多解，则；1=()

=

AX2—Xy(4—3)(4—4)+(2—2)

A.1B.2

C.3D.4

100

9.设A=010，则下列矩阵中与4相同的是（)

002

-io(T-110-

A.020B.010

001002_

-100--10「

C.011D.020

002_001

10.设实二次型/（%,工2，工3）=¥-石，则/（）

A.正定B.不定

C.负定D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

II.设,4=(-1,1,2)7，fi=(0,2,3)r,M|ABr|=.

12.设三阶矩阵4=[%,%4]，其中《(i=l,2,3)为A的列向量，且|A|=2,则

眄+a2,a2,a{+a2-a3]|=

010

13.设A=0C，且秩(A)=3,则a,b,c应满足

b0

2

V3_1

~22

14.矩阵Q=的逆矩阵是.

V3

,2T

15.三元方程内+=:1的通解是

—10

16.已知4相同于A=，则|A-E|=.

02

■()()r

17.矩阵A=010的特性值是.

100

-12-

18.与矩阵A=相同的对角矩阵是.

21

-10o-

19.设A相同于A=0-10,贝]A4.

001

20.二次型J(X\4243)二大/2・工武3+1K3的矩阵是

三、计算题(本大题共6小题，每题9分，共54分)

1234

234I

21.计算4阶行列式口=

3412

4123

101

22.设.4=020,而X满足AX+E=A2+X,求X.

23.求向量组:的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其

他的向量表示成该极大无关组的线性组合.

%+2X2-2X3=O

24.当；I为何值时，齐次方程组《2%-超+/1玉=0有非零解？并求其所有非零解•

3X1+x2-x3=0

25.已知是三阶实对称矩阵A的三个特性值，向量%二(1,1,1),、%=(2,2,1了是A的对应于4=4=1的

特性向量，求A的属于4=-1的特性向量.

26.求正交变换V=PX,化二次型«riK2/3)=2Ag+ZQ3-2W3为标准形.

四、证明题(本大题6分)

27.设%%，小线性无关，证明《，%+24,%+3a§也线性无关.

2011年7月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.D2.A3.C4.D5.C

6.D7.C8.C9.A10.B

二、填空题（本大题共10小题,每小题2分,共20分)

11.0-213.a*2bc

一2201

22

14.15.¥=占1+A0

旦loj

"22.

30-10

16.4—4—i»4=-i18.（或)

o-i03

£

0

22

J

19.20.0

22

4I0

三、计算整

（本大度共6小题，每小题9分,共54分）

111

21.0=10234

341

412

I000

2I2-1

=!0

31-2-1

4-3-2-1

-AI1

由/==・。・)伏.)

i-11‘2*,+*,+*»30

I-I-A

得2*,-0

3上严0

得4=力=1,4=-2

当4=4=1时，解方程组4=yo

a,.%+2%,%+30fl性无关

x.1

=0

¥ttM系为<・（I.O」）L，TIJ・O）,

其全编特征向量为（4.&不全为等）

211A

对4・一2时,由I2-I

•<»<»-(1.-I.-Dr

正交规范化。，Q.£N

A»^(l,0,!/.As^(-l.-2.i)r.As-^(l.-l--l)r

1

-|石

石f

0-2r■

767371

—

万

苏国

欢

、证铜检（本大题共】小题，6分）

27.证:令+&（4+2a；）+M（a）+3%）=0

即（4,+&+先必+2&%+3&=。

由4,a：,a,线性无关

全国4月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

阐明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A"表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，网表示方阵4的行列式.

一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分，共20分)

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或

未选均无分。

)

fl23、(367

B.#456出456,

D.F1A3HZZ3

2.下列矩阵中，是初等矩阵的为()

A.1()1B.K2)|

c.D.I?~~

3.设A、B均为〃阶可逆矩阵，且CM_%，则厂是()

0^1T~Q8个

A.IL°dB.匕。/

Fo4个(A'10、

C.t1D.K0吧

4.设4为3阶矩阵，A的秩r(4)=3,则矩阵4的秩r(H>()

A.0R.I

C.2D.3

5.i殳向量M=「1,4)’9=J")'。3=(3,-8"若有常数”力使叵!三远三三目，则()

A.a=-1,b=-2B.a=-\,b=2

C.a=1,b=-2D.a=1,b=2

6.向量组卜1=(1，2,。)，。2=&，4,0),g=(3,6,0),。4=(4,9,。1的极大线性无关组为()

A.B.

C.D.。2，a3

7.设矩阵那么矩阵A的列向量组的秩为（）

A.3B.2

C.1D.0

8.设且是可逆矩阵A的一个特性值,有一个特性值等于（)

3

4

A.3

C.

9.设延阵（一二1,则A的对应于特性值在4的特性向量为（）

A.(0,0,0)TB.(0,2,-1)T

C.(1,0,-1)TD.(0,1,1)T

10.二次型/（芯,々，刍）=21；-中2+考的矩阵为（）

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式III=1.

3040

12.行列式:1；;中第4行名元素的代数余子式之和为

0—1

53-22

13.设矩阵A=l^__121,8=(1,2,3),贝ijNA=.

14.设3阶方阵4的行列式⑷=2，则凶3|=.

2

15.设A,〃为〃阶方阵，5.AB=E,AlB=B'A=E,贝ij4?+/=.

16.已知3维向量［*(1,-3,3),(1,0,-1)M@+30=.

17.设向量M=(1,2,3,4),则团的单位化向量为.

18.设〃阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为〃-1,则齐次线性方程组Ax=0的通解为，

19.设3阶矩阵A与〃相同，若A的特性值为LLL，则行列式1和1=________.

234

20.设.4'2附是正定矩阵,则。的取值范围为.

三、计算题(本大题共6小题，每题9分，共54分)

(2)|ATB|.

22.设A』()1,2丑3人1人且满足AXb=C,求矩阵X.

23.求向量组叵1=(1,2,1,0)T，图=(1,1,1,2)1,包=(3,4,3,4)1,0=(4,5,6,4)T的秩与一个极大线性无

关组.

x}-x2+3内-x4=1

24.判断线性方程组,2芭-占-七+4%=2是否有解，有解时求出它的解.

X)-4X3+5.r4=-l

25.已知2阶矩阵A的特性值为四=1,恒=9,对应的特性向量依次为国=(-1,1)T,

矶(7,1)L求矩阵4

26.已知矩阵4相同于对角矩阵/二G3

，求行列式|A-E|的值.

四、证明题(本大题共6分)

27.设4为〃阶对称矩阵，B为〃阶反对称矩阵.证明:

（1）AB-BA为对称矩阵；

（2）AB+BA为反对称矩阵.

22.解由于|4|=2,所以A可逆.

经计算

3-2

3?5_

A・

2-T

1

又由于出|=1,所以5可逆且b

则X^A-lCB^1=

23.解以.,a4为列向量构成矩阵A

34、134、

2145行初♦变发0--2-3

A==B

360002

44>、oo00.

由此可知B的列向fit组的秩为3,且第1,2,4列为B的列向量组的一个极

大线性无关组，所以向量组外，/的秩为3，%,,为其一个极大

线性无关组也是一个极大线性无关组）.

3-1

24.解4=(42)=242

-45

3-1

0-760

0-76-2

3

0-760

0000-2

由此得r(A)=2^r(A)=3.

ll….，r干忖

线性代数（经管类）试则答？»小7竹？市、

25•解由于线性无关，令P=(at,.),则由P7AP=，得到

V

A=Pp§P'1

J-l7Y1丫-l7r

11认9114

大2(制；3

26.解因为4与4相似，所以存在可逆矩阵P,使

A=p-'/iP

|4-E|=\P^AP-E\

=|P/(/1-E)P|

:|4-E|

-20

==-2

01

四、证明题(本大题共6分)

27.证已知4丁=4,=-3,则

(1)(AB-BA)T=(AB)T-(BA)T

=BTAT-ATBT

=-BA^AB

所以AB-bA为对称矩阵

(2)(AB+BA)T=(AB)T+(^A)T

=BTAT+AW

="BA-AB

=-(AB+BA)

所以AB+B4为反对称矩阵

线性代数（经管类）试题答r第3页（共3页）

全国1月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

阐明：本卷中，A”表示方阵A的逆矩阵，儿4）表示矩阵A的秩，表示向量。与用的内积，E表示单位矩阵,

|A|表示方阵A的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选

择或未选均无分。

a。|

a”[2“a2a"222«I3

aa

1.设行列式。2]22。23=4，则行列式a2}a2223二（）

“31”324333a313。323a33

A.12B.24

C.36D.48

2.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵，且A,〃可逆，AXB=C,则矩阵X=（）

A.A'CB1B.CA3

C.B]AlCD.CB'A1

3.已知42+A-E=0,则矩阵A"=()

X.A-EB.-A-E

C.A+ED.-A+E

4.设%,%，%，%，%是四维向量，则（）

A.%,%，%,%,的一定线性无关B.%,%，%，%，%一定线性有关

C.a5一定能够由线性表示D.a}一定能够由a2,a3,a4,a5线性表出

5.设4是〃阶方阵.若对任意的〃维向量x均满足人上伍则（）

A.A=0B.A=E

C.r(A)=nD.O<r(A)<(/?)

6.设4为〃阶方阵，心）＜〃，下列有关齐次线性方程组Ax=O的论述正确的是（）

A.4r=。只有零解B.Ax=（）的基础解系含r（A）个解向量

C.Ax=O的基础解系含〃EA）个解向量D.Ax=O没有解

7.设功,〃2是非齐次线性方程组的两个不一样的解，则（）

A.7+〃2是Ax=b的解B.彷一〃2是Ax=b的解

（137一2%是力工二〃的解D.27-3%是^x=h的解

390

8.设4，%,%为矩阵4=045的三个特性值，则4丈2%=（）

002

9.设尸为正交矩阵，向量a,//的内积为(a,4)=2,则(Pa,P/?)=()

A.-B.I

2

3

C.-D.2

2

2

10二次型fix]M2/3)=X|4-^2+A>3+2xtX2+2x｝与+2x2X3的秩为()

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

U.行歹U式］—4—2=o,则仁

2k—l

12.设A=；；,A为正整数，则屋二.

12

13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵4/=：，，则矩阵A二

34

14.设向量。=(6,-2,0,4),p=(-3,1,5,7),向量产满足为+了=3〃，则/=

15.设A是mxn矩阵，Ax=O,只有零解，则r[A）=.

16.设为,02是齐次线性方程组Ax=O的两个解，则A（3%+7a2）=.

17.实数向量空间占（（X/2J3）ki-X2+X3=0｝的维数是.

18.设方阵A有一个特性值为0,则卜.

19.设向量4=（-1,1,-3）,%=<2,-1,2）正交，贝ijA=.

20.设火笛42用）=才+44+2x1+2%.+2A,X3是正定二次型，则I满足.

三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）

a-b-c2a

21.计算行列式2b2b

2cc-a-b

1-12

22.设矩阵4=25,对参数义讨论矩阵A的秩.

I10-61

13-14

23.求解矩阵方程25X=25

00I-3

24.求向量组:的一个极大线性无关组，并将其他向量通过该极大

线性无关组表示出来.

25.求齐次线性方程组-3修+勺+2与-4必=0的一个基础解系及其通解.

-X|-2X2+3尤3+尤4=0

232

26.求矩阵182的特性值和特性向最.

-2-14-3

四'证明题（本大题共1小题，6分）

27.设向量g,a2...，外线性无关，1勺WA.证明：ct\+ctj,…,如线性无关・

全国1月高等教育自学考试

线性代数（经管）试题参考答案

课程代码：04184

一、单项选择题

1、B2、A3、C4、B5、A6、C7、C8、B9、D10、A

二、

-1(-21

13、g」I

IL-1,312.t

k1.2~2.

14、(-21,7,15,13)15、M16s0

17、218s019、-120s-72<t<72

三、计算题

解：原行列式

a+6+ca+b+c•a+b+c

2bb-a-c2b

2c2cc-a-b

11

=(a+b+c)2b2b

2cc-a-b

1

=(a+b+c)0

0

=Q+b+c)3

22.解：对矩阵实行初等变换，得

2'-12

A=-10-1-2A2+21

101010-A-5-1

11000

01+2A000-I

09-3A00A-30

当兀=3时，力的秩为2

当?#3时，A的秩为3

13100

23.解：由于（A：E）26010

001001

100-532100-532

0-10-2110102-1-1

00001001001

-532

所以4可逆，且2“2-1-1

00

故原矩阵方程变为:

-532-14-11

2-1-I256

0011-3-3

24.解：以所有向量为列向量形成4'4矩阵，然后对该矩阵施行初等行变换化为简化行

阶梯形矩阵

123

251

-1-61

-2-51

线性代数（经管类）试题答案第2页（共4页）

所以其一个极大线性无关组为：囚，a,

2a4

且的=-5a1+3a2-2a

25.解：利用行初等变换将该线性方程组的系数矩阵化为行简化的阶梯形矩茸

所以原方程组等价于其中4人为自由未知量

令匕州[:]

得其一组基础解系为：$=;

0

原方程组的通解为:

k\,k,为任意常数

线性代数《经管类）试题答案第3页（共4页）

-2

26.解：\^E-A\-2

2+3

==«=2-21-2

②+③x(-2)-IA-4-2=(A-!)(A-3)2

00A-l

所以力的特征值为1,3（二重）

对2=1,解齐次线性方程组（E-A）X=O

得（七为自由未知是）

令/=】，得属于1的全部特征向量为

k0,HO为任意常数.

U）

对2=3,解齐次线性方程组（3E-/l）X=0

1.

得，，其中天为自由未知量

X[=_Q毛

令巧=2,得彳的属于特征值3的全部特征向量为

1

/-1,好0为任意常数.

四、证明题（本大题共1小鹿，6分）

27.证明：设有一组数乙，小…，4使得

1\(因+Gj)+1刈2+…+Ikak-0

即/,«,+l.a2+…+(/,+0at+…+乙/=0

由a.,a,,-,，线性无关知

/|=0,/,=0,•••,l)+Z,=0,,Zt=0

即得4=4=-i,-=4=o.

故a：十%,％线性无关.

线性代数（经管类）试题答案第4页

全国10月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

阐明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵JAI表示方阵A的行列式,r（A）

表示矩A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或

未选均无分。

1.设A为3阶矩阵则卜2AT|二（)

A.-8B.-2

C.2D.8

「J’BNLD网ABX

2.设矩阵A=)

A.0

1

c.D.

-1:-J

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（）

A.AB-BAB.AB+BA

CARDRA

I2、

4.设矩阵A的伴随矩阵A=MA'=()

34,

」4-31-2

AB.

2「22-34

12、42

C.--D.

234,23I

5.下列矩阵中个号初等矩阵的是（)

00r

A.()10B.010

<000；J00/

<100'q00、

C.030D.010

°01,<20b

6.设A.B均为n阶可逆矩阵，则必有()

A.A+B可逆B.AB可逆

C.A-B可逆D.AB+BA可逆

7.设向量组a尸(1,2),a2=(0,2),B=(4,2),则()

A.ai,a北B线性无关

B.B不能由aI,a2线性表示

C.8可由。1,a2线性表示，但表示法不惟一

D.B可由a1，a2线性表示,且表示法惟一

8.设A为3阶实对称矩阵,A的所有特性值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为()

A.0B1

C.2D.3

2X[-x2+X3=0

9.设齐次线性方程组(X|-X2-X3=0有非零解，则人为()

XX|+x2+x3=0

A.-lB.0

C.lD.2

10.设二次型f(x)=xTAx正定，则下列结论中正确的是()

A.对任意n维列向量X,XTAX都不小于零

B.f的标准形的系数都不小于或等于零

C.A的特性值都不小于零

D.A的所有子式都不小于零

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

II.行列式?1的值为_________.

12

12.已知则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为.

11n

13.设矩阵A=',P=，则API___________.

k-24JU

14.设A,B都是3阶矩阵，且|A|=2,B=-2E,则|A」B|=.

15.已知向量组au=(1,2,3),a2=(3,-1,2),a3=(2,3,k)线性有关，则数k=,

勺、

2+。3=；，则该线性方程

16.已知Ax=b为4元线性方程组,r（A）=3,ai,a2,a3为该方程组的3个解，且a产

&0

组的通解是.

EP5交…如心则—二—

18.设2是矩阵A的一个特性值，则矩阵3A必有一个特性值为.

19.与矩阵A=（；相同的对角矩阵为.

20.设矩阵A=|\二2］若二次型f=xrAx正定,则实数k的取值范围是_______.

I-2k）

三、计算题（本大题共6小题，每题9分，共54分）

0120

1012

21.求行歹4式口=:的值.

210

021（）

①-10、r-l-20、

22.设矩阵A=I00,B=2-10,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.

01.,000,

-2、

23.若向量组a=0的秩为2,求k的值.

「2号

，223、

24.设矩阵人=\-10,b=1

【一】21,

⑴求A1;

(2)求解线性方程组Ax=b，并将b用A的列向量组线性表出.

25.已知3阶矩阵A的特性值为-1,12设B=A2+2A-E,^

(1)矩阵A的行列式及A的秩.

(2)矩阵B的特性值及与B相同的对角矩阵.

X]=2,+2y2+y3

26.求二次型f(xi,x2,x3)=-4X1X2+2XIX3+2X2X3经可逆线性变换*x2=2y1-2y2+y3所得的标准形.

2y

四、证明题(本题6分)

27.设n阶矩阵A满足A?=E，证明A的特性值只能是±1.

10月全国自考线性代数（经管类）参考答案

2010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

二、滇空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

12.-2

p0、

1-2旬

2

，后为任意常数（答案不惟一）