江西省南昌市东湖区第二中学2025年高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

江西省南昌市东湖区第二中学2025年高二数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的倾斜角的大小为A. B.C. D.2．已知椭圆C：的两个焦点分别为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（）A.8 B.10C. D.123．如图，执行该程序框图，则输出的的值为（）A. B.2C. D.34．若，则（）A.1 B.2C.3 D.45．函数的递增区间是（）A. B.和C. D.和6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）A.30 B.40C.50 D.607．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（）A. B.C. D.8．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（）A.总体 B.个体C.样本 D.样本容量9．设变量满足约束条件：，则的最小值（）A. B.C. D.10．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）A. B.C. D.11．已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是A. B.C. D.12．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A.由，求出，，，…，推断：数列的前项和B.由满足对都成立，推断：为奇函数C.由半径为的圆的面积，推断单位圆的面积D.由，，，…，推断：对一切，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的长为5，若，那么△的周长是______.14．在长方体中，若，，则异面直线与所成角的大小为______.15．已知，，则___________.16．已知春季里，甲地每天下雨的概率为，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙两地下雨相互独立，则春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，且（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值18．（12分）已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式及前项的和.19．（12分）已知，（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，，求实数a的取值范围20．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（2）试估计测评成绩的75%分位数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例21．（12分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）当时，证明：存在最大值，且恒成立.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】考点：直线的倾斜角专题：计算题分析：因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以欲求直线的倾斜角，只需求出直线的斜率即可，把直线化为斜截式，可得斜率，问题得解解答：解：∵x-y+1=0可化为y=x+，∴斜率k=设倾斜角为θ，则tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故选A点评：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于直线方程的基础题型，需要学生对基础知识熟练掌握2、B【解析】根据椭圆的定义可得：，所以的周长等于【详解】因为，，所以，故的周长为故选：B3、B【解析】根据程序流程图依次算出的值即可.【详解】，第一次执行，，第二次执行，，第三次执行，，所以输出.故选：B4、C【解析】由二项分布的方差公式即可求解.【详解】解：因为，所以.故选：C.5、C【解析】求导后，由可解得结果.【详解】因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数求函数的增区间，属于基础题.6、C【解析】根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，则所以解得所以最大项.故选：C7、D【解析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.【详解】设等比数列的公比为，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故选：D8、C【解析】由样本的概念即知.【详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本.9、D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，当经过A时，的最小值为-8，故选D.10、A【解析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.【详解】设，则由余弦定理知：，解得，故该正四面体的棱长均为由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，高故该正四面体的体积为故选：A11、B【解析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物不相切，可得命题是假命题，当时，，方程表示椭圆命题是真命题，则是真命题.故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.12、A【解析】根据归纳推理是由特殊到一般，推导结论可得结果.【详解】对于A，由，求出，，，…，推断：数列的前项和，是由特殊推导出一般性的结论，且，故A正确；B和C属于演绎推理，故不正确；对于D，属于归纳推理，但时，结论不正确，故D不正确.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、16【解析】利用椭圆的定义可知，又△的周长，即可求焦点三角形的周长.【详解】由椭圆定义知：，所以△的周长为.故答案为：16.14、【解析】画出长方体,再将异面直线与利用平行线转移到一个三角形内求解角度即可.【详解】画出长方体可得异面直线与所成角为与之间的夹角,连接.则因为,则,又,故,又,故为等腰直角三角形,故,即异面直线与所成角的大小为故答案为【点睛】本题主要考查立体几何中异面直线的角度问题,一般的处理方法是将异面直线经过平行线的转换构成三角形求角度,属于基础题型.15、5【解析】根据空间向量的数量积运算的坐标表示运算求解即可.【详解】解：因为，，所以.故答案为：16、##0.5【解析】根据条件概率求概率的方法即可求得答案.【详解】设A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率为p，则，因为甲乙两地下雨相互独立，所以，于是在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数的几何意义即可求解；（2）根据导数与函数单调性关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解.【小问1详解】解：由题意，，因为，所以，解得，所以，，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】解：因为，，所以时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即函数在区间上的最小值为.18、（1）证明见解析；（2），.【解析】（1）证明出，即可证得结论成立；（2）由（1）的结论并确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，再利用分组求和法可求得.【小问1详解】证明：因为数列满足，，则，且，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，故数列为等比数列.【小问2详解】解：由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，因此，.19、（1）（2）【解析】（1）求出函数的导函数，再解导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间；（2）依题意可得当时，当时，显然成立，当时只需，参变分离得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：当时定义域为，所以，令，解得或，令，解得，所以的单调递减区间为；【小问2详解】解：由，即，即，当时显然成立，当时，只需，即，令，，则，所以在上单调递减，所以，所以，故实数的取值范围为.20、（1）20人（2）（3）【解析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例【小问1详解】由频率分布直方图知，分数在[50，90）频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人【小问2详解】测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为【小问3详解】由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为21、（1）的单增区间为，；单减区间为，，；（2）证明见解析.【解析】（1）先求出函数的定义域，求出，由，结合函数的定义域可得出函数的单调区间.(2)当时，定义域R,求出，从而得出单调区间，由当时，，当时，，以及极值点与2的大小关系可得出当时，函数有最大值，然后再证明即可.【详解】解：（1）定义域，可得且且，，可得且3无0无0减无减增无增减所以，的单增区间为，；单减区间为，，.（2）当时，定义域R因为，当时，，当时，，所以的最大值在时取得；由，即，得由，得，或由，得所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当时，，且，由所以当时，