安徽省泗县一中2026届高二数学第一学期期末复习检测试题含解析

安徽省泗县一中2026届高二数学第一学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于，两点（在的上方），且与准线交于点，若，则A. B.C. D.2．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）A. B.C. D.3．已知等差数列的前n项和为，且，则（）A.2 B.4C.6 D.84．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（）A.当x增大时，θ先增大后减小 B.当x增大时，θ先减小后增大C.当d增大时，θ先增大后减小 D.当d增大时，θ先减小后增大5．已知梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是与，则直线l与CD所在直线的距离为（）A.1 B.2C.3 D.46．设集合，集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．在数列中，，则等于A. B.C. D.8．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或9．集合，，则（）A. B.C. D.10．已知随机变量服从正态分布，，则（）A. B.C. D.11．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是A.153 B.171C.190 D.21012．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.14．在区间上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为___________.15．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______16．已知双曲线，左右焦点分别为，若过右焦点的直线与以线段为直径的圆相切，且与双曲线在第二象限交于点，且轴，则双曲线的离心率是_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一、质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.（1）请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；（2）以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.18．（12分）在△中，已知、、分别是三内角、、所对应的边长,且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且△的面积为，求.19．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品非原料成本；（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？参考数据（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.20．（12分）已知数列满足，（1）设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由21．（12分）已知函数，是的一个极值点.（1）求b的值；（2）当时，求函数的最大值.22．（10分）某公司有员工人，对他们进行年龄和学历情况调查，其结果如下：现从这名员工中随机抽取一人，设“抽取的人具有本科学历”，“抽取的人年龄在岁以下”，试求：（1）；（2）；（3）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则，，故选A.2、A【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.故选：A.3、B【解析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列下标的性质、等差数列通项公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，，，故选：B4、C【解析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d=0，则，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，则，所以，，设平面AMN的法向量为，则，即，令，则，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，对于A，B选项，令d=0，则，显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；对于C，D，对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，当在下方时，，设，则对于给定的，为定值，此时设二面角为，二面角为，则二面角为，且，故，而，故即，当时，为减函数，故为增函数，当时，为增函数，故为减函数，故先增后减，故D错误.当在上方时，，则对于给定的，为定值，则有二面角为，且，因，故为增函数，故为减函数，综上，对于给定的，随的增大而减少，故选：C.5、B【解析】先求得直线AB和CD之间的距离，再求直线l与CD所在直线的距离即可解决.【详解】梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，则有△与△相似，相似比为，则，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的又AB和CD所在直线的距离为，则直线l与CD所在直线的距离为2故选：B6、A【解析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系【详解】，解得，故，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件故选：A7、D【解析】分析：已知逐一求解详解：已知逐一求解．故选D点睛：对于含有的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律8、A【解析】确定对应二次方程的解，根据三个二次的关系写出不等式的解集【详解】，即为，故选：A9、A【解析】先解不等式求得集合再求交集.【详解】解不等式得：，则有，解不等式，解得或，则有或，所以为.故选：A.10、B【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果【详解】根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，由于，所以，所以，则，所以故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题11、C【解析】根据“杨辉三角”找出数列1，2，3，3，6，4，10，5，…之间的关系即可。【详解】由题意可得从第3行起的每行第三个数：，所以第行的第三个数为在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为故选：C【点睛】本题主要考查了归纳、推理的能力，属于中等题。12、A【解析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.【详解】，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，当时，的最小值为，所以，故答案为：14、【解析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设“区间上随机取1个数”，对应集合为，区间长度为3，“取到的数小于2”，对应集合为，区间长度为1，所以.故答案为：15、【解析】由题可得，即求.【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得.故答案为：.16、【解析】根据题意可得，进而可得，再根据，可得再根据双曲线的定义，即可得到，进而求出结果.【详解】如图所示：设切点为，所以，又轴所以，所以，由，，所以又，所以故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）抛物线的焦点或抛物面的焦点（2）答案见解析【解析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；（2）将问题转化为当时，只要过点，则中点到的距离最小，根据，结合抛物线定义可得结论.【小问1详解】根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线焦点或抛物面的焦点.【小问2详解】解释上述现象，即证：当（为抛物线通径）时，只要过点，则中点到的距离最小；如图所示，记点在抛物线准线上的射影分别是，，由抛物线定义知：，当过抛物线焦点时，点到准线距离取得最小值，最小值为的一半，此时点到轴距离最小.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到轴距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到关于角A的关系式，求解A（II）再结合正弦面积公式得到三角形的边长的求解【详解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得19、（1）（2）反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，（3）见解析【解析】（1）令，则可转化为，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可，（2）求出与的相关系数，通过比较，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将代入回归方程中可求结果（3）利用已知数据求出样本标准差s，从而可得非原料成本y服从正态分布，再计算，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论【小问1详解】令，则可转化为，因为，所以，所以，所以，所以y关于x的回归方程为【小问2详解】与的相关系数为因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，把代入回归方程得（元），所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元【小问3详解】因为，所以，因为样本标准差为，所以，所以非原料成本y服从正态分布，所以因为在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因20、（1）；（2）存在，3【解析】(1)结合递推关系可证得bn+1－bn1，且b1＝1，可证数列{bn}为等差数列，据此可得数列的通项公式；(2)结合通项公式裂项有求和有，再结合条件可得，即求【详解】（1）证明：∵，又由a1＝2，得b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，所以bn＝1+(n－1)×1＝n，由，得（2）解：∵，，所以，依题意，要使对于n∈N*恒成立，只需，解得m≥3或m≤-4又m＞0，所以m≥3，所以正整数m的最小值为321、（1）；（2）【解析】（1）先求出导函数，再根据x=2是的一个极值点对应x=2是导数为0的根即可求b的值；（2）根据（1）的结论求出函数的极值点，通过比较极值与端点值的大小从而确定出最大值.【小问1详解】由题设，.∵x=2是的一个极值点，∴x=2是的一个根，代入解得：.经检验，满足题意.【小问2详解】由（1）