第四章 几何图形初步（知识清单）（答案版）

第四章几何图形初步1.立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.2.平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.3.点、线、面、体的定义体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体.几何体也简称体.面包围着体的是面.线面和面相交的地方形成线.点线和线相交的地方是点.4.点、线、面、体之间的关系:点动成线，线动成面，面动成体.5.线段、射线、直线的区别与联系直线射线线段定义直线是几何图形基础，是一个不做定义的原始概念.直线上一点和它一旁的部分叫做射线.直线上两点和它们之间的部分叫做线段.图形表示方法直线AB或直线BA直线m射线OA射线n线段AB、线段BA线段l端点个数无1个2个度量情况不可度量不可度量可以度量延伸情况可向两方无限延伸只能以一方无限延伸不能延伸作法叙述作直线AB作直线m作射线OA作线段AB作线段m连接AB延伸叙述反向延伸射线OA延长线段AB

反向延伸线段BA联系射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线.7.有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.8.线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.9.线段的中点：如图，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点.几何描述：∵点C为线段AB的中点∴AC=BC=12AB或AB=2AC10.角的定义角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.11.角的分类：∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°12.角的几何符号为“∠”，表示方法有以下四种：角的表示图例记法适用范围用三个大写字母表示∠ABC或∠CBA任何情况都适用，但表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧.用一个大写字母表示∠O当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示.用一个数字表示∠1在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母.注意：数字或小写的希腊字母不能表示超过一个以上的角.用一个希腊字母表示∠13.角的换算方法：1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，.14.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.15.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.16.方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角，取值范围为0°到360°,比如正东方向就是方位角为90°,正西方向就是方位角为270°.17.余角和补角余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.18.余角和补角的性质余角的性质：同角（等角）的余角相等；补角的性质：同角（等角）的补角相等；序号易错点易错题注意事项1理解线段、射线、直线的概念1-4详见知识清单52求线段数量问题5-6注意火车行驶是单向的还是往返的，单向印制种车票，双向印制n(n-1)种车票.3面对线段双中点/双角平分线模型时，未分类讨论7-8当题目中未给出具体图形时，切记分类讨论，列举可能出现的情况.4角度的四则运算9-13在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60.1．对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段有两个端点，射线有一个端点，直线无端点，解答即可，本题考查了线段，直线，射线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：A.

都是线段，无法相交，不符合题意；B.，射线向一个方向无限伸展，可以相交，符合题意；

C.

线段，无法相交，不符合题意；D.射线的方向不对，无法相交，不符合题意；故选：B．2．下列图示中，直线表示方法正确的有（

）A．①②③④ B．①② C．②④ D．①④【答案】D【分析】本题考查了直线的表示方法，掌握直线的表示方法是解题的关键．根据直线的表示方法进行判断即可；【详解】解：用两个点表示直线时，这两个点必须是大写字母，故②③错误，①正确；用一个字母表示直线时，这个字母必须是小写，且不要在直线上标点，故④正确，综上，直线表示方法正确的有①④，故选：．3．下列语句中正确的是（

）A．延长直线B．延长线段到点C，使线段与线段相等C．延长射线D．反向延长射线到点B，使射线与射线相等【答案】B【分析】本题考查了几何基本概念：直线、射线与线段；根据几何基本概念，逐一分析各选项的正确性．【详解】解：A选项错误：直线是向两端无限延伸的，没有端点，因此无法再被“延长”；B选项正确：线段可以沿B点方向延长到点C，使；例如，用圆规截取的长度，从B点延长即可构造点C；C选项错误：射线从端点O向A方向无限延伸，已无法再延长；D选项错误：射线反向延长得到的是另一条射线（方向与相反），射线本身是无限长的，无法定义“相等”；综上，只有B选项符合几何基本概念．故选：B．4．下列说法：①射线与射线是同一条射线；②两点确定一条直线；③把一个角分成两个角的射线叫作这个角的平分线；④连接两点的线段叫作这两点之间的距离．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查射线识别，直线公理，角平分线的定义，两点之间的距离．根据射线定义可判断①，根据直线公理可判断②，根据角平分线的定义可判断③，根据两点之间距离定义可判断④．【详解】解：射线与射线的起点不同方向不同，不是同一条射线，故①不正确；经过两点，有且只有一条直线，两点确定一条直线，故②正确；把一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线，故③不正确；连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故④不正确．所以正确的说法有1个．故选：A．5．高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有种不同的车票．【答案】【分析】本题考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票．n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种，据此即可解答．【详解】解：n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种，当时，（种）．故答案为：．6．观察图形，并回答下列问题：【观察思考】（1）图中共有______条线段；【模型构建】（2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段；【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题：①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？【答案】（1）10；（2）；（3）①共握了1275次手；②共送了2550张．【分析】本题考查了线段数量问题及其应用，有条理思考问题是解题的关键．（1）根据线段的定义求解即可；（2）画图根据线段的定义求解出线段条数的规律即可；（3）①根据上面总结的规律求解即可；②根据上面总结的规律求解即可．【详解】解：（1）以A为端点的线段有四条；以B为端点的且与前面不重复的线段有三条；以C为端点的且与前面不重复的线段有两条；以D为端点的且与前面不重复的线段有一条．图中共有（条）线段．故答案为：10．（2）如图，线段上有3个点（包括A，B两点）则线段数为：；线段上有4个点（包括A，B两点）则线段数为：；线段上有5个点（包括A，B两点）则线段数为：；线上有6个点（包括A，B两点）则线段数为：；线段上有7个点（包括A，B两点）则线段数为：；……线段上有n个点（包括A，B两点）则线段数为：，故答案为：；（3）①类比数线段的方法可知：（次）答：共握了1275次手；②∵送名片是相互的，类比数线段的方法可知：（张）．答：共送了2550张．7．已知线段AB＝20，，点P、Q分别是AM、AB的中点，当点M在直线AB上时，则PQ的长为．【答案】7.5或15【分析】本题主要考查线段的复杂计算，熟练掌握线段的和差倍分是解题的关键．由线段的中点，和差倍分分类讨论即可求出答案．【详解】解：①点在线段上时，，，，，，点、分别是、的中点，，，，；；②点在线段的反向延长线上时，点、分别是、的中点，，，，，，，．故答案为：或15．8．已知是的平分线，，平分，设，则（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可．【详解】解：如图1，当位于内部时，∵，是的平分线，∴．∵，∴，．∵平分，∴，∴；如图2，当位于外部时，∵，是的平分线，∴．∵，∴，．∵平分，∴，∴；综上可知或．故选：A．9．计算：°′″．【答案】19812【分析】本题主要考查了角的四则运算，根据度分秒的关系，结合有理数除法运算法则进行求解即可．【详解】解：．故答案为：19；8；12．10．．【答案】【分析】本题考查角的计算和度分秒的换算，解题的关键是掌握角的单位之间的换算关系：，．【详解】解：．故答案为：．11．定义：如果两个角互余角，那么这两个角之和等于．若，则的余角度数是【答案】【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题关键．根据余角的定义列式计算即可得．【详解】解：∵，∴的余角度数是，故答案为：．12．有公共端点的三条射线，，，已知，，则的度数为．【答案】或【分析】此题考查了几何图中角的计算，解题关键：要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数．【详解】解：当射线在内部时；当射线在外部时，．故答案为∶或13．已知一个角是，则它的余角为，补角为．【答案】【分析】本题考查求一个角的余角和补角，根据和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角，进行求解即可．【详解】解：，；故答案为：，．重难点01立体图形初步1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列几何体中不含曲面的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根据几何体的意义是解题的关键．本题考查了几何体的认识，熟练掌握几何体的意义是解题的关键．【详解】解：根据题意，得无曲面．故选：B．2．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列图形属于棱柱的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查了棱柱的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据棱柱的特点：上下两个面大小，形状完全相同，侧棱都相等，侧面都是平行四边形去判断．【详解】解：根据题意，图中的第1个，第2个，第4个都是棱柱，共有3个棱柱，故选：B．3．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空．（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点；（2）六棱柱有个面，条棱，个顶点；（3）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点．【答案】/【详解】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征是解题的关键；（1）结合已知四棱柱特征，即可求解；（2）结合六棱柱的特征，即可求解；（3）可知棱柱一定有个面，条棱和个顶点；【解答】解：（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点；（2）六棱柱有个面，条棱，个顶点；（3）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点．故答案为：（1），，；（2），，；（3），，．4．（23-24七年级上·河南商丘·期末）纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了．【答案】面动成体【分析】本题主要考查了面动成体．根据面动成体解答即可．【详解】解：转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了面动成体，故答案为：面动成体．5．（22-23七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图①，把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成甲、乙两个相同的直角三角形．

(1)将甲三角形绕轴（如图②）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？(2)将乙三角形绕轴（如图③）旋转一周形成一个几何体，求该几何体的体积．【答案】(1)圆锥，立方厘米(2)立方厘米【分析】（1）根据题意可得，分成的直角三角形的两条直角边分别是10厘米、6厘米，以较长边10厘米为轴旋转一周得到的是一个圆锥，底面半径是6厘米，高是10厘米，据此利用圆锥的体积公式计算即可解答．（2）根据题意可得，所形成的几何体的体积底面半径是6厘米高是10厘米的圆柱体积底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥体积，据此利用圆柱和圆锥的体积公式计算即可解答．【详解】（1）解：根据题干分析可得：以其中一个直角三角形较长的直角边所在直线为轴，将纸板快速转动，可以形成一个圆锥，它的体积是，，（立方厘米）；（2）根据题干分析可得：乙三角形（如图③）旋转一周，可以形成一个空心的圆柱．体积为：（立方厘米）．【点睛】此题主要考查了圆柱和圆锥的体积公式的计算应用，解题的关键是明确旋转后的圆柱和圆锥体的底面半径和高．6．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）如图所示是一个六棱柱，它的底面边长是4cm，高是6cm．(1)这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少?(2)这个棱柱共有多少个顶点？【答案】(1)这个棱柱共有18条棱，所有的棱长的和是84cm(2)这个棱柱共有12个顶点【分析】（1）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据题意可得棱长的和；（2）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点．【详解】（1）解：这个棱柱共有条棱；所有的棱长的和是；答：这个棱柱共有18条棱，所有的棱长的和是84cm；（2）解：由题意得这个棱柱共有12个顶点；答：这个棱柱共有12个顶点．【点睛】本题考查了认识立体图形，棱柱的面是个，棱是条，顶点是个．重难点02画直线、射线、线段7．（21-22七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，平面上有四个点A，B，C，D，按要求画图．（1）画直线AB；（2）画射线AD；（3）画线段AC、CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；【分析】（1）根据直线的定义画出图形即可；（2）根据射线的定义画出图形即可；（3）根据线段的定义画出图形即可．【详解】解：如图，直线AB，射线AD，线段AC，线段CD即为所求．【点睛】本题考查作图−复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．8．（21-22七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，A，B，C，D四点不在同一直线上，根据下面的要求作图．（1）作线段AB，CD．（2）作射线DA与射线CB交于点E．（3）作直线AC和直线BD交于点F．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】解：（1）如图所示，线段AB，CD即为所求；（2）如图所示，射线DA与射线CB交于点E即为所求；（3）如图所示，直线AC和直线BD交于点F即为所求．【点睛】本题主要考查了点、线段、射线、直线的定义，熟练掌握点、线段、射线、直线的定义是解题的关键．9．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知：如图，不在同一条直线上的四个点A、B、C、D，请按下列要求画图（不写画法）（1）画直线AD；（2）画射线AB；（3）画直线BD，在BD上求作点P到A、C两点的距离之和最小，理由是．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，两点之间，线段最短【分析】（1）画直线AD即可；（2）画射线AB即可；（3）画直线BD，在BD上求作点P，使点P到A、C两点的距离之和最小即可．【详解】解：如图所示：（1）直线AD即为所求作的图形；（2）射线AB即为所求作的图形；（3）画直线BD，连接AC，与BD交于点P，点P为所求．理由是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图、直线、/射线、线段、两点间的距离，解决本题的关键是掌握两点之间线段最短．重难点03直线、射线、线段的联系与区别10．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，下列说法正确的是（

）A．点在线段上 B．点是直线的一个端点C．图中共有3条线段 D．射线和射线是同一条射线【答案】C【分析】本题主要考查了直线、射线和线段的知识，理解并掌握直线、射线和线段的定义是解题关键．根据直线、射线和线段的定义和性质，逐项分析判断即可．【详解】解：A.点在直线上，故该选项说法错误，不符合题意；B.直线没有端点，故该选项说法错误，不符合题意；C.图中共有3条线段，故该选项说法正确，符合题意；D.射线和射线的端点不同，故不是同一条射线，故该选项说法错误，不符合题意．故选：C．11．（22-23七年级上·广西贺州·期末）如图，下列说法中：①线段与线段是同一条线段；②线段与线段是同一条线段；③直线与直线是同一条直线；④点A在线段上；⑤点C在射线上，正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查了直线、射线、线段的表示方法，根据直线、射线、线段的表示方法，线段与射线的关系对各小题分析判断即可得解．【详解】解：①线段与线段是同一条线段，正确；②线段与线段不是同一条线段，原来的说法错误；③直线与直线是同一条直线，正确；④点A不在线段上，原来的说法错误；⑤点C在射线上，正确；综上所述，正确的有3个．故选：B．12．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（

）A．如图1，延长线段到点B．如图2，点在射线上C．如图3，直线的延长线与直线的延长线相交于点D．如图4，射线和线段没有交点【答案】D【分析】本题考查了直线、射线和线段的性质，根据直线、射线和线段的性质逐项进行判定即可．【详解】解：A.如图1，延长线段到点，故该选项不正确，不符合题意；B.如图2，点在直线上，故该选项不正确，不符合题意；C.如图3，直线与直线相交于点，故该选项不正确，不符合题意；D.如图4，射线和线段没有交点，故该选项正确，符合题意；故选：D．13．（21-22七年级上·安徽安庆·期末）如图，A、C、D三点在一条直线上，观察图形，下列说法正确的个数是（

）（1）直线BA和直线AB是同一条直线；（2）射线AC和射线AD是同一条射线；（3）；（4）∠ACD是一条直线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】结合图形，根据直线、射线、两点之间，线段最短和平角的定义逐一进行判断即可．【详解】（1）直线BA和直线AB是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；（2）射线AC和射线AD是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；（3）AB+BD＞AD，两点之间，线段最短，所以此说法正确；（4）因∠ACD是一个平角，故错误．所以共有3个正确．故选：C．【点睛】本题考查了直线、射线、线段的概念，属于基础题型，熟练掌握概念是解题关键．重难点04用数学知识解释实际生活现象14．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是．【答案】两点确定一条直线【分析】本题主要考查了直线的性质，解题的关键是正确掌握直线的性质．先让两个同学站好，实质是确定两定点，而由两点即可确定一条直线．【详解】解：由题意可知：这种做法依据的几何知识应是两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．15．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，读用所学的数学知识解释它这样操作的原因是【答案】两点确定一条直线【分析】此题主要考查直线的性质：两点确定一条直线，熟记性质是解题的关键．【详解】建筑工人砌墙时经常先在两端立桩、拉线，然后沿着线砌出笔直的墙，其依据的基本事实是两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．16．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）下列三种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等，反映了直线的一个基本事实是：．【答案】两点确定一条直线【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质即可解答，解题的关键是掌握直线的性质．【详解】解：木匠弹墨线确定直线、打靶瞄准确定直线、拉绳插秧确定直线，他们所反映的直线的基本事实是：两点确定一条直线，故答案为：两点确定一条直线．17．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）如图，从学校到博物馆有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是②，理由是．【答案】两点之间，线段最短【分析】本题考查的是线段的性质，熟知两点之间，线段最短是解题的关键．根据线段的性质解答即可．【详解】解：从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是③，理由是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．18．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）11月的第二个周末，小腾跟随爸爸妈妈去巢湖东庵森林公园游玩，行走到古银杏树下，他捡到一片沿直线被折断了的银杏叶，如右图中直线左侧的部分，他发现该银杏叶的周长比折断前原银杏叶的周长要小，能合理解释这一现象的数学原理是．【答案】两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间，线段最短，据此得出答案即可，理解题意是解题的关键．【详解】解：∵剩下的银杏叶的一边是线段，原先是曲线，∴剩下的银杏叶的周长比折断前原银杏叶的周长要小，能合理解释这一现象的数学原理是：两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．重难点05线段数量问题19．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）从马鞍山东站到上海站的次高铁一共有个站，车站需要准备种单程车票．【答案】【分析】本题考查了线段数量问题的实际应用，单程每两个站点之间都有种车票相当于一条线段，根据线段数量的公式解答．【详解】解：车站需要准备单程车票的种数为：（种），故答案为：．20．（2024七年级上·安徽·专题练习）一列火车往返于芜湖、杭州两个城市，中途经过宣城、广德、长兴南和德清西4个站点（共6个站点），不同的车站往返需要不同的车票．(1)共有多少种不同的车票？(2)一列火车往返、两个城市，如果共有个站点，则需要多少种不同的车票？【答案】(1)30种(2)【分析】本题考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．（1）两站之间的往返车票各一种，即两种，个车站每两站之间有两种，则个车站的票的种类数种，时，即6个车站，代入上式即可求得票的种数．（2）与（1）同理，即共有个站点，则需要种不同的车票，即可作答．【详解】（1）解：依题意，两站之间的往返车票各一种，即两种，则个车站每两站之间有两种，则个车站的票的种类数种，则6个车站的票的种类数（种；（2）解：依题意，与（1）同理，个车站的票的种类数种．21．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，．(1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？(2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示）(3)当时，线段总数共有多少条？【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了线段的数量问题，用代数式表示图形的规律，代数式求值等知识点，从图形中发现并总结出一般规律是解题的关键．（1）根据题意，数出线段的条数即可求解；（2）从图形中发现并总结出一般规律，然后用代数式表示出图形的规律即可；（3）将，代入（2）中的关系式即可得出答案．【详解】（1）解：当线段上有个点时，线段总数共有条，答：当线段上有个点时，线段总数共有条；（2）解：当线段上有个点时，线段总数共有条，当线段上有个点时，线段总数共有条，当线段上有个点时，线段总数共有条，，当线段上有个点时，线段总数共有：条，答：当线段上有个点时，线段总数共有条；（3）解：当时，线段总数共有条，答：当时，线段总数共有条．22．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出：某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛．（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛；（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛．实际应用：（4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次．拓展提高：（5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键．（2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛；（3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛；（4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次；（5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种．【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场；故答案为：15；（3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场；故答案为：；（4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次；故答案为：1035；（5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种．故答案为：30．重难点06线段交点问题23．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（

）个交点．A．15 B．30 C．45 D．60【答案】C【分析】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案．【详解】根据题意可知在同一平面内，2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点，10条直线相交最多有个交点．故选：C．24．（2024七年级上·全国·专题练习）若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（

）A．1 B．2C．3或2 D．1或2或3【答案】D【分析】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点．【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1；当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2；当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3；故选D．25．（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题．(1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有个交点；平面内有4条直线，则最多有个交点；若平面内有条直线，则最多有个交点．(2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为．(3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有条公路互相平行．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键．（1）根据题意结合图形即可解答；（2）利用题中方法代入数据计算即可；（3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解．【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即；平面内有4条直线，则最多有个交点，即；；若平面内有条直线，则最多有个交点，即；（2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时，其交点的个数最多为（个），其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数；（3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：，，则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图：重难点07按照题目要求作线段26．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段a、b、及内部一点P．按下列要求画出图形（保留作图痕迹，不写作法）；①用无刻度的直尺和圆规在∠O的一条边上作线段，另一条边上作线段；②画出直线；③画射线与直线相交于点C；【答案】见解析【分析】本题主要考查了作已知线段相等的线段，画直线，射线，解题的关键在于能够熟练掌握线段，射线，直线的作图方法．①以O点为圆心，以线段a的长为半径画弧，分别与交于A、D，再以D为圆心，以线段b的长为半径画弧，交于B，则点A、B即为所求；②连接并向两端延长即可得到直线；③连接与交于点C，延长即可得到答案【详解】解：如图所示，27．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）点，，的位置如图所示．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(1)作直线和线段；(2)作射线，在射线上作一点，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了复杂作图，（1）过点和点画直线即可，用线段连接点和点两点即可；（2）连接并延长即可；以为圆心，长为半径画弧，交于的延长线于点E，再以为圆心，长度为半径画弧，交线段于点，线段则为所求．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【详解】（1）解：作图如下：（2）解：如图，点即为所求．28．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，，，四点，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹）(1)画直线；(2)连接并延长到点，使得；(3)画射线，并在线段上取点，使的值最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查的是画直线，射线，尺规作图——作一条线段等于已知线段，熟练掌握几种基本尺规作图的作法是解题的关键；（1）过A，B画直线即可；（2）以C为端点，在的延长线上作，即可；（3）以B为端点，作射线，然后连接，即可．【详解】（1）解：画直线，如图所示；（2）解：线段即为所求，如图所示；（3）解：画射线，点即为所求，如图所示．重难点08与线段中点有关的计算问题29．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知线段，在线段的延长线上取一点C，使，点M是线段的中点，若则线段的长为（

）A．5 B．10 C．15 D．30【答案】B【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键．根据线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可．【详解】解：∵，，∴，，∵点M是线段的中点，∴，∴．故选：B．30．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，线段表示一条绳子，现从点处将绳子剪成两段，其中一段长为．（1）若为的中点，则剪断前的绳长为；（2）若，则剪断前的绳长为．【答案】6048或80【分析】本题考查了线段的中点计算，以及线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．（1）当点P为的中点，可知对折前的绳长是的2倍，即可计算出结果；（2）分类讨论∶①是，根据可得的长，再根据线段的和差，可得答案；②是，根据，可得的长，再根据线段的和差，可得答案．【详解】解：（1）∵若为的中点，其中一段长为∴故答案为∶60．（2）①当是，，∴∴；②当，∴，∴综上所述∶原来绳长为或．故答案为∶48或80．31．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知线段，延长到点，使得．点分别是的中点．(1)求的长度；(2)若点在线段上，且，求的长度．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了线段和与差计算、线段中点的有关计算，理解题意，弄清各线段之间的关系是解题关键．（1）首先根据可解得，进而可知长度，再由线段中点的定义确定的值，然后由求解即可；（2）根据题意，由求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∵点分别是的中点，∴，∴；（2）如下图，∵点在线段上，且，∴．32．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点．(1)若，，当，求线段的长度；(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)(2)线段的长度不发生变化，长度为【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的有关计算，掌握线段间的数量关系是解题的关键．（1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，，进而求解即可；（2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变．【详解】（1）解：，，，，点是的中点，点是的中点．，，；（2）线段的长度不发生变化．理由如下：点是的中点，点是的中点，，，，线段的长度不发生变化，长度为．重难点09线段双中点模型（注意分类讨论）33．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，求的长度．【答案】或【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上和点在线段延长线上，两种情况，进行求解即可．【详解】①点在线段上时，如图所示：∵点是的中点，∴，又∵，∴，又∵点是的中点，∴，又∵，∴，又∵，∴．②点在线段延长线上时，如图所示，同理可求出，，又∵，∴，综上所述：的长度为或．34．（21-22七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知A、B、C在同一条直线上，且，其中点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，求线段MN的长．【答案】4cm或8cm【分析】分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线两种情况考虑，利用中点的含义及线段的和差关系即可完成．【详解】（1）点C在线段AB上时，如图∵M、N分别是线段AB、BC的中点，且AB=12cm，BC=4cm∴，∴；（2）点C在线段AB的延长线上时，如图∴所以线段MN的长为4cm或8cm．【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差关系，涉及分类讨论思想，注意不要遗漏其中任一种情况．重难点10钟面角35．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）当时钟时，时针与分针所夹的角(小于平角)的度数是．【答案】/度【分析】本题考查了钟面角，根据钟面平均分成份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：钟面每份是，上午时时针与分针相距份，此时时钟的时针与分针所夹的角(小于平角)的度数是．故答案为：．36．（2024七年级上·安徽·专题练习）同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：(1)三点整时时针与分针所夹的角是___________度．(2)点分时针与分针所夹的角是___________度．(3)一昼夜（点到点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查一元一次方程，钟面角，熟练掌握钟面角的运算是解题的关键；（1）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示；（2）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示，分针每分走度，时针每分走度，计算求解即可；（3）时针与分针垂直时，夹角为，先得到经过多少分就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可．【详解】（1）解：；故答案为：（2）解：；故答案为：（3）解：从重合到第一次垂直所需要的时间为，设一次垂直到下一次垂直经过分钟，则，（次取整为次．故总次数为（次答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为次．37．（2024七年级上·全国·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为．【答案】/75度【分析】本题考查了钟面角问题，读懂题意，准确计算是正确解决本题的关键．用分针转动的角度：减去时针与分针所成角度为，时针转动的角度：，即即可求解．【详解】解：寅时二刻是指，∵时，时针与分针所成角度为，再过15分钟，分针转动的角度：，时针转动的角度：，∴，故答案为：．重难点11方位角的表示38．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，聪聪在明明的（

）A．北偏东方向上 B．北偏东方向上C．南偏西方向上 D．南偏东方向上【答案】C【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的意义是解答本题的关键．在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．【详解】解：聪聪在明明的南偏西方向上．故选C．39．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，则射线的方向是；【答案】南偏东【分析】本题考查的是方向角的含义，先标注字母，求解，，从而可得答案.【详解】解：如图，标注字母，∵，，∴，∵，∴，∴，则射线的方向是南偏东．故答案为：南偏东40．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）学习情境·方位角：如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了方向角，先求得与正东方向的夹角的度数，即可求解．【详解】解：与正东方向的夹角的度数是：，则．故选：C．41．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点A和点B表示两个码头，点C表示海面上一只船，下列方位描述正确的是（

）A．码头B在码头A的西偏南方向B．码头B在码头A的北偏东方向C．船C在码头B的东北方向D．船C在码头A的南偏东方向【答案】D【分析】本题主要考查的是方向角问题，理解方向角的定义是解决本题的关键．【详解】A.码头B在码头A的南偏西方向，原说法错误；B.码头B在码头A的南偏西方向，原说法错误；C.船C不在码头B的东北方向，原说法错误；D.船C在码头A的南偏东方向，说法正确；故选D．重难点12角度的四则运算42．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）．【答案】【分析】本题考查了角的计算、度分秒的换算，解题关键是掌握度分秒之间的进制关系．根据度分秒的换算方法求解即可，注意度分秒的进制关系．【详解】解：．故答案为：．43．（24-25七年级上·安徽六安·期末）．【答案】【分析】本题考查了角度的四则运算，掌握度、分、秒的换算是解题关键．根据度、分、秒的换算及角度的四则运算求解即可．【详解】解：．故答案为：44．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）计算：．【答案】/【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键，根据度、分、秒的减法运算法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．45．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）计算：(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可．（2）根据角的四则运算法则求解即可．本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：．（2）解：．重难点13按题目要求作角46．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知射线和射线外两点A、D，按下列要求作图：

(1)画射线；(2)画线段，并延长交射线于点O；(3)以为一边，用尺规作图作，保留作图痕迹，写结论，不写作法．【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析【分析】本题考查画直线，射线，线段，尺规作图—作一个角等于已知角：（1）根据射线的定义画图即可；（2）根据作图语言画图即可；（3）根据尺规作角的方法作图即可．【详解】（1）解：如图，射线即为所求；（2）如图，线段，点即为所求；（3）如图，即为所求；

47．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，利用无刻度的直尺和圆规作图（不要求写作法）．(1)求作：的补角；(2)求作：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了利用尺规作角的和差，熟练掌握尺规作图法是解题的关键．（1）延长到，即为所求；（2）在的左侧作，即为所求．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，即为所求．48．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）已知：线段，，，．

求作：（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(1)线段；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先作射线，然后截取线段，，则即为所求；（2）首先作射线，然后利用尺规作，，则即为所求．【详解】（1）如图所示，线段即为所求的线段．

；（2）解：如图所示，即为所求作的角．

【点睛】此题主要考查根据已知线段作另外一条线段，作一个角等于已知角．解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行作图．重难点14几何图形中的角度运算49．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，已知点为直线上一点，，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键．（1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，进而求解即可；（2）根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角的和差可求解．【详解】（1）又平分，所以，因为，所以．（2）由（1）可知，又与互余，所以，又因为，所以，所以．50．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分，(1)若，，求的度数．(2)若，，求的度数．（用，含的式子表示）【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用．（1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可；（2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴∵，∴．51．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”.如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”．(1)若，且在内部，则_____，______；(2)若平分，求的度数；(3)若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系：__________．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根据“分补线”的定义与补角定义可得，再由余角定义即可求解；（2）根据“分补线”可得，，根据角平分线的定义可得，由，可得，即得；（3）分两种情况：，或，进行解答即可．【详解】（1）解：如图，∵射线是的“分补线”，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：；；（2）解：如图，∵是的“分补线”，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；

（3）解：或理由：当时，由于，∴，∵是的平分线，是的平分线，∴，，∵，∴；当时，由于，∴，∵，∴，此情况，重合，同理可得：，∴．综上，或．故答案为：或．【点睛】本题考查了新定义——角的“分补线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，余角补角定义，角的和差倍分关系的计算，分类讨论，是解题的关键．52．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图1，，在内部，射线绕点顺时针旋转，与此同时，射线绕点逆时针旋转且旋转速度是的倍，，旋转后的位置分别是，，当到达位置时两条射线均停止旋转．整个运动过程中始终满足．(1)直接写出的度数∶；(2)①如图2，在，旋转的过程中，是的平分线，是的平分线，若旋转到某一时刻，恰好，求此时的度数；②在①的条件下，如果越过的位置(但满足)，的度数又是多少？在备用图画出图形并计算．【答案】(1)(2)①，②图见解析，【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，一元一次方程的应用，根据题意正确列式计算是解题的关键．（1）由题意得，，得到，计算即可得到答案；（2）①由（1）知，得到，，根据角平分线定义得到，，得到，再由已知，计算即可得到答案；②根据题意画出图形，根据题意可得，，得到，，根据角平分线定义得到，，从而得到，再由已知，即可求出的度数．【详解】（1）解：射线绕点顺时针旋转，与此同时，射线绕点逆时针旋转且旋转速度是的倍，，整个运动过程中始终满足，，，，故答案为：（2）解：①由（1）知，，，，是的平分线，是的平分线，，，，旋转到某一时刻，恰好，，，此时的度数为；②在①的条件下，如果越过的位置(但满足)，则也越过的位置，如图，，，，，，是的平分线，是的平分线，，，，旋转到某一时刻，恰好，，．重难点15双角平分线模型（注意分类讨论）53．已知，平分平分，则的度数是．【答案】或【分析】本题考查了角平分线的有关计算，根据题意画出满足条件的两种情况即可求解．【详解】解：如图所示：第一种情况如下图∵，∴∵平分平分，∴∴第二种情况如图此时，故答案为：或54．已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，