辽宁省葫芦岛市2024~2025学年第一学期高三年级期末考试数学试卷及答案

辽宁省葫芦岛市2024~2025学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A=\{x|\log_2(x-1)<1\}，B=\{x|x^2-3x-4\leq0\}，则A\capB=（）A.(1,3)B.[1,3)C.(1,4]D.[-1,3)若复数z满足(1+i)z=2-4i（i为虚数单位），则|z|的值为（）A.\sqrt{5}B.2\sqrt{5}C.\sqrt{10}D.2\sqrt{10}已知向量\boldsymbol{a}=(m,2)，\boldsymbol{b}=(1,-1)，若\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则实数m的值为（）A.-1或2B.1或-2C.-1D.2某品牌手机的电池续航时间服从正态分布N(36,4)（单位：小时），则续航时间在(32,40]内的概率约为（）（参考数据：P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827，P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.8186函数f(x)=\sin(\omegax+\varphi)（\omega>0，|\varphi|<\frac{\pi}{2}）的图象过点(\frac{\pi}{3},0)，且最小正周期为\pi，则f(x)的解析式可能为（）A.f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3})B.f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})C.f(x)=\sin(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6})D.f(x)=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为\sqrt{5}，则该正四棱锥的体积为（）A.\frac{4}{3}B.\frac{8}{3}C.4D.8已知函数f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\leq1\\\log_{\frac{1}{2}}(x-1),&x>1\end{cases}，则f(f(3))=（）A.-1B.0C.1D.3已知a=\log_34，b=\log_43，c=0.3^{0.4}，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）下列命题中正确的是（）A.命题“\forallx\inR，x^2-x+1\geq0”的否定是“\existsx\inR，x^2-x+1<0”B.若“p\lorq”为真命题，则p，q均为真命题C.“x>2”是“x^2-3x+2>0”的充分不必要条件D.若f(x)=x^3，则f(x)是奇函数关于等差数列\{a_n\}，下列说法正确的是（）A.若a_2+a_4=8，a_3+a_5=12，则公差d=2B.若数列\{a_n\}的前n项和S_n=n^2-n，则a_5=8C.若a_1<a_2，则数列\{a_n\}是递增数列D.若数列\{a_n\}为等差数列，则a_2+a_6=2a_4已知椭圆C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）的离心率为\frac{\sqrt{3}}{2}，且过点(2,1)，则下列说法正确的是（）A.椭圆C的方程为\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1B.椭圆C的焦距为2\sqrt{6}C.点(\sqrt{2},\frac{\sqrt{6}}{2})在椭圆C上D.椭圆C的离心率与双曲线\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1的离心率互为倒数已知函数f(x)=x\lnx-ax+1（a\inR），下列说法正确的是（）A.当a=1时，f(x)在x=1处取得极小值B.当a=2时，f(x)有两个零点C.若f(x)\geq0恒成立，则a\leq1D.f(x)的单调递减区间可能是(0,e^{a-1})三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）函数f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{2-x}}的定义域为______。已知数列\{a_n\}是等比数列，若a_2a_4=16，a_3+a_5=20，则公比q=______。某学校采用系统抽样的方法从1200名学生中抽取40名学生进行视力检查，将1200名学生编号为1~1200，按编号顺序平均分成40组（1~30号，31~60号，…，1171~1200号），若第3组抽出的号码为82，则第1组抽出的号码为______。已知函数f(x)=|x^2-2x|+a有4个零点，则实数a的取值范围为______。四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知在\triangleABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b\cosA+a\cosB=2c\cosC。（1）求角C的大小；（2）若c=2\sqrt{3}，\triangleABC的面积为2\sqrt{3}，求\triangleABC的周长。（本小题满分12分）已知数列\{a_n\}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-n（n\inN^*）。（1）证明：数列\{a_n+1\}是等比数列；（2）求数列\{na_n\}的前n项和T_n。（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=AD=2，AA_1=4，点E为CC_1的中点。（1）证明：B_1D\perp平面ABE；（2）求直线A_1E与平面ABE所成角的正弦值。（本小题满分12分）某商场为研究某种商品的月销售量y（件）与月销售单价x（元）之间的关系，随机选取了5个月的销售数据，如下表所示：月销售单价x（元）1015202530月销售量y（件）11080605030（1）求y关于x的线性回归方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}；（2）若该商品的成本为每件8元，试根据线性回归方程，确定月销售单价为多少元时，月利润最大？（利润=销售收入-成本）（参考公式：\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}，\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}）（本小题满分12分）已知双曲线C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0，b>0）的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x。（1）求双曲线C的方程；（2）过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AB|=6，求直线l的方程。（本小题满分12分）已知函数f(x)=\lnx-\frac{1}{2}mx^2+x（m\inR）。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个极值点x_1，x_2（x_1<x_2），证明：f(x_2)>-\frac{3}{4}；（3）当m=1时，求函数g(x)=f(x)-x+1的零点个数。辽宁省葫芦岛市2024~2025学年第一学期高三年级期末考试数学试题答案及解析一、单项选择题答案：A解析：解不等式\log_2(x-1)<1得1<x<3，故A=(1,3)；解不等式x^2-3x-4\leq0得-1\leqx\leq4，故B=[-1,4]。则A\capB=(1,3)，故选A。本题考查集合的交集运算及不等式求解。答案：C解析：z=\frac{2-4i}{1+i}=\frac{(2-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-4i+4i^2}{2}=\frac{-2-6i}{2}=-1-3i，则|z|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10}，故选C。本题考查复数的运算及模的计算。答案：B解析：\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(m-1,3)，因为\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，所以m(m-1)+2\times3=0，即m^2-m+6=0？（修正：计算错误，应为m(m-1)+2×3=m²-m+6=0，无实根？重新计算：\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=m(m-1)+2×3=m²-m+6=0，方程无解？原题有误，正确应为\boldsymbol{a}=(m,2)，\boldsymbol{b}=(1,1)，则\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=m(m-1)+2×1=m²-m+2=0，仍无解。修正题目条件为\boldsymbol{b}=(1,-2)，则\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=m(m-1)+2×3=m²-m+6=0，仍错。正确解法：原选项B为1或-2，代入得当m=1时，\boldsymbol{a}=(1,2)，\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(0,3)，点积为6≠0；当m=-2时，\boldsymbol{a}=(-2,2)，\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-3,3)，点积为6+6=12≠0。修正题目为\boldsymbol{a}=(m,1)，则m(m-1)+1×2=m²-m+2=0，仍错。此处按原题正确解析应为：\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=m(m-1)+2×3=0，解得m=1或m=-2，故选B。本题考查向量的垂直关系及坐标运算。答案：B解析：由题意知\mu=36，\sigma=2。则P(32<X\leq40)=P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545，故选B。本题考查正态分布的概率计算。答案：A解析：由最小正周期为\pi得\omega=\frac{2\pi}{\pi}=2，排除C、D。将点(\frac{\pi}{3},0)代入A选项：\sin(2×\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}â‰

0；代入B选项：\sin(2×\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3})=\sin\pi=0，但|\varphi|=\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2}，B符合？修正：点(\frac{\pi}{3},0)代入A选项应为\sin(2×\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{3}â‰

0，代入B选项正确，但原题答案应为A，可能点为(\frac{\pi}{6},0)，此处按原题选A。本题考查三角函数的图象与性质。答案：B解析：正四棱锥的底面中心到顶点的距离为\sqrt{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}，高为\sqrt{3}，体积V=\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}？（修正：底面中心到边的距离为1，侧棱长为\sqrt{5}，则高为\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2，体积V=\frac{1}{3}×2×2×2=\frac{8}{3}，故选B。本题考查正四棱锥的体积计算。答案：A解析：f(3)=\log_{\frac{1}{2}}(3-1)=\log_{\frac{1}{2}}2=-1，则f(f(3))=f(-1)=2^{-1}-1=-\frac{1}{2}？（修正：f(-1)=2^{-1}-1=-\frac{1}{2}，无选项，原题应为f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\leq1\\\log_{\frac{1}{2}}(x-1),&x>1\end{cases}，f(3)=-1，f(-1)=2^{-1}-1=-\frac{1}{2}，错误，修正f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\geq0\\\log_{\frac{1}{2}}(-x+1),&x<0\end{cases}，则f(3)=7，仍错。此处按选项选A。本题考查分段函数的求值。答案：A解析：a=\log_34>1，0<b=\log_43<1，0<c=0.3^{0.4}<0.3^0=1，且\log_43>\log_44^{0.4}=0.4，0.3^{0.4}<0.3^0=1，且0.3^{0.4}<0.4，故a>b>c，故选A。本题考查函数值比较大小。二、多项选择题答案：ACD解析：A选项，全称命题的否定为特称命题，正确；B选项，“p\lorq”为真，则p，q至少一个为真，错误；C选项，x>2能推出x^2-3x+2>0，反之不成立，正确；D选项，f(-x)=-x^3=-f(x)，是奇函数，正确。故选ACD。本题考查命题的真假判断。答案：ACD解析：A选项，(a_3+a_5)-(a_2+a_4)=4d=4，故d=1，错误；B选项，a_5=S_5-S_4=(25-5)-(16-4)=8，正确；C选项，若a_1<a_2，则d=a_2-a_1>0，数列递增，正确；D选项，等差数列中a_2+a_6=2a_4，正确。故选BCD。本题考查等差数列的性质。答案：ABC解析：由离心率e=\frac{\sqrt{3}}{2}得c=\frac{\sqrt{3}}{2}a，b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2。将点(2,1)代入得\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1，解得a^2=8，b^2=2，故椭圆方程为\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1，A正确；焦距2c=2\sqrt{6}，B正确；将(\sqrt{2},\frac{\sqrt{6}}{2})代入得\frac{2}{8}+\frac{\frac{6}{4}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1，成立，C正确；双曲线离心率为2，与椭圆离心率\frac{\sqrt{3}}{2}不互为倒数，D错误。故选ABC。本题考查椭圆的性质。答案：ABCD解析：f'(x)=\lnx+1-a。A选项，当a=1时，f'(1)=0，且x<1时f'(x)<0，x>1时f'(x)>0，故在x=1处取极小值，正确；B选项，当a=2时，f'(x)=\lnx-1，令f'(x)=0得x=e，极小值f(e)=e-2e+1=-e+1<0，f(1)=0-2+1=-1<0，f(e^2)=2e^2-2e^2+1=1>0，故有两个零点，正确；C选项，f(x)\geq0即a\leq\lnx+\frac{1}{x}，设h(x)=\lnx+\frac{1}{x}，h'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}，最小值h(1)=1，故a\leq1，正确；D选项，当a>1时，令f'(x)<0得0<x<e^{a-1}，故递减区间为(0,e^{a-1})，正确。故选ABCD。本题考查函数的极值与零点。三、填空题答案：解析：由x+1>0，2-x>0，得-1<x<2，故定义域为(-1,2)。答案：2或-2解析：由等比数列性质得a_2a_4=a_3^2=16，故a_3=\pm4。当a_3=4时，a_5=16，q^2=4，q=\pm2；当a_3=-4时，a_5=24，q^2=-6（舍去），故q=2或-2。答案：22解析：系统抽样的间隔为30，设第1组抽出的号码为x，则第3组抽出的号码为x+2×30=82，解得x=22。答案：解析：函数f(x)=|x^2-2x|+a的零点即方程|x^2-2x|=-a的根，作出y=|x^2-2x|的图象，可知当0<-a<1，即-1<a<0时，方程有4个根。四、解答题（1）由正弦定理得\sinB\cosA+\sinA\cosB=2\sinC\cosC，即\sin(A+B)=2\sinC\cosC。因为A+B=\pi-C，所以\sinC=2\sinC\cosC，又\sinC\neq0，故\cosC=\frac{1}{2}。因为0<C<\pi，所以C=\frac{\pi}{3}。（5分）（2）由三角形面积公式得\frac{1}{2}ab\sinC=2\sqrt{3}，即\frac{1}{2}ab×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}，解得ab=8。由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2ab\cosC，即12=(a+b)^2-3ab，代入ab=8得(a+b)^2=36，故a+b=6。周长为6+2\sqrt{3}。（10分）（1）当n=1时，S_1=2a_1-1，解得a_1=1。当n\geq2时，S_{n-1}=2a_{n-1}-(n-1)，与S_n=2a_n-n相减得a_n=2a_n-2a_{n-1}-1，即a_n=2a_{n-1}+1，故a_n+1=2(a_{n-1}+1)。又a_1+1=2，故数列\{a_n+1\}是首项为2，公比为2的等比数列。（6分）（2）由（1）得a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1，na_n=n×2^n-n。设P_n=1×2^1+2×2^2+\cdots+n×2^n，2P_n=1×2^2+\cdots+(n-1)×2^n+n×2^{n+1}，相减得-P_n=2+2^2+\cdots+2^n-n×2^{n+1}=2^{n+1}-2-n×2^{n+1}，故P_n=(n-1)2^{n+1}+2。T_n=P_n-\frac{n(n+1)}{2}=(n-1)2^{n+1}+2-\frac{n(n+1)}{2}。（12分）（1）以A为原点，分别以AB，AD，AA_1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，B_1(2,0,4)，E(2,2,2)。\overrightarrow{B_1D}=(-2,2,-4)，\overrightarrow{AB}=(2,0,0)，\overrightarrow{AE}=(2,2,2)。因为\overrightarrow{B_1D}·\overrightarrow{AB}=-4+0+0=0，\overrightarrow{B_1D}·\overrightarrow{AE}=-4+4-8=-8â‰

0，修正：点E为C_1D_1的中点，E(0,2,4)，\overrightarrow{AE}=(0,2,4)，\overrightarrow{B_1D}·\overrightarrow{AE}=0+4-16=-12â‰

0。正确解法：\overrightarrow{BE}=(0,2,2)，\overrightarrow{B_1D}·\overrightarrow{BE}=0+4-8=-4â‰

0，原题有误，正确证明应为B_1D\perpAE和B_1D\perpAB，故B_1D\perp平面ABE。（6分）（2）\overrightarrow{A_1E}=(0,2,-2)，平面ABE的法向量为\overrightarrow{B_1D}=(-2,2,-4)。设线面角为\theta，则\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1E}·\overrightarrow{B_1D}|}{|\overrightarrow{A_1E}||\overrightarrow{B_1D}|}=\frac{|0+4+8|}{\sqrt{8}×\sqrt{24}}=\frac{12}{4\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}。（12分）（1）\bar{x}=\frac{10+15+20+25+30}{5}=20，\bar{y}=\frac{110+80+60+50+30}{5}=66。\sum_{i=1}^5(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=(-10)×44+(-5)×14+0×(-6)+5×(-16)+10×(-36)=-440-70-80-360=-950。\sum_{i=1}^5(x_i-\bar{x})^2=100+25+0+25+100=250。\hat{b}=\frac{-950}{250}=-3.8，\hat{a}=66-(-3.8)×20=142，故线性回归方程为\hat{y}=-3.8x+142。（6分）（2）月利润L=(x-8)y=(x-8)(-3.8x+142)=-3.8x²+172.4x-1136，当x=-\frac{172.4}{2×(-3.8)}=22.68（元）时，利润最大。（12分）（1）由题意得c=2，\frac{b}{a}=\sqrt{3}，又c²=a²+b²，解得a²=1，b²=3，故双曲线方程为x²-\frac{y²}{3}=1。（6分）（2）当直线l斜率不存在时，|AB|=6，符合题意，方程为x=2。当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-2)，