第20讲导数中的同构与放缩（老师版）

第20讲函数中的构造问题【基础回顾】一、构造函数的基础理论1.利用导数公式构造(4).常见函数的导数特征2.结构同构导数的同构其本质就是构造函数,构造形式大致可分为两类:（1）双变量轮换式构造（2）指对混合构造方法1：直接变形说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知.方法2：先凑再变形若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的有:二．切线放缩基础知识点1:重要的切线不等式由图像可以分析得到:说明:这4个不等式为切线放缩中较为重要的不等式,尽量掌握.知识点2:其他放缩不等式（作为了解即可）对数放缩放缩为一次函数放缩为双撇函数放缩为二次函数放缩为类反比例函数指数放缩放缩成一次函数放缩成类反比例函数放缩成二次函数三角函数放缩说明:对于上述表格内的放缩不等式,略作了解即可,不必完全掌握,针对较为复杂的放缩类型,并不是高考考察的内容,并且在解答题中,选择何种放缩类型,也基本都会在前一问中给提示,所以不必熟记.重要的是要学会放缩这种解题技巧和方法.题型一公式同构分为指数函数的构造，幂函数的构造，对数函数的构造以及三角函数的构造。【例题精讲】1．已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则下列正确的为（）A．f（﹣3）＜3f（1） B．f（﹣3）＞3f（1） C．f(−3)＜f(1)3 【答案】D【解答】解：令g（x）＝xf（x），因为函数f（x）为定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），所以g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数，当x＞0时，求导得g′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，因为﹣3＜﹣1，所以g（﹣3）＜g（﹣1），即﹣3f（﹣3）＜﹣f（﹣1）＝﹣f（1），所以f(−3)＞f(1)3，虽然3f(1)＞f(1)3，但不能确定f（﹣3）与3f（1）的大小，故故选：D．2．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）+2成立，则2f（ln2）与f（2ln2）﹣2的大小关系为（）A．2f（ln2）＞f（2ln2）﹣2 B．2f（ln2）＜f（2ln2）﹣2 C．2f（ln2）＝f（2ln2）﹣2 D．无法比较大小【答案】B【解答】解：因为f′（x）＞f（x）+2，因此f′（x）﹣f（x）＞2，令F(x)=f(x)+2e因此F（x）在R上单调递增，因为2ln2＞ln2，因此F（2ln2）＞F（ln2），因此f(2ln2)+2e因此f（2ln2）+2＞2（f（ln2）+2），因此f（2ln2）﹣2＞2f（ln2）．故选：B．3．已知定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若xf′（x）+2f（x）＜0，则不等式f（x+2）﹣x2f（x2+2x）＜0的解集为（）A．（0，1） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）【答案】A【解答】解：因为f（x）的定义域为（0，+∞），且xf′（x）+2f（x）＜0，所以，设h（x）＝x2f（x）（x＞0），则h′（x）＝x2f′（x）+2xf（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x+2）﹣x2f（x2+2x）＜0⇔f（x+2）＜x2f（x2+2x）⇔（x+2）2f（x+2）＜（x2+2x）2•f（x2+2x），所以h（x+2）＜h（x2+2x），则x+2＞x2+2x＞0，解得0＜x＜1．所以不等式f（x+2）﹣x2f（x2+2x）＜0的解集为（0，1）．故选：A．4．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＞f'（x）+1，f（0）＝3，则不等式f（x）＞2ex+1的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）【解答】解：设g（x）=f(x)−1则g′（x）=−f(x)−f′(x)−1∵f（x）＞f′（x）+1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＜0，∴y＝g（x）在定义域上单调递减，∵f（x）＞2ex+1，∴g（x）=f(x)−1又g（0）=f(0)−1∴g（x）＞g（0），∴x＜0，∴f（x）＞2ex+1的解集为（﹣∞，0）．故选：A．5．已知函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且f′(x)+f(x)x−1＞0，则f（2﹣x）＝f（x）e2x﹣2，不等式A．（0，e2） B．（1，e2） C．（e，e2） D．（e2，+∞）【解答】解：令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex[f'（x）+f（x）]，因为f′(x)+f(x)x−1＞0，所以当x＞1时，f'（x）+f（x）＞0，g'（x）＞0，g（当x＜1时，f'（x）+f（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，1）上为减函数，因为f（2﹣x）＝f（x）e2x﹣2，所以e2﹣xf（2﹣x）＝f（x）ex，所以g（2﹣x）＝g（x），故g（2）＝g（0），因为f(lnx)e2＜f(2)x等价于elnxf（lnx）＜e2f（2），等价于g所以0＜lnx＜2，故1＜x＜e2，即不等式的解集是（1，e2）．故选：B．题型二轮换式同构同构原则：物以类聚。【例题精讲】1．若对任意的x1，x2∈（m，+∞），且当x1＜x2时，都有lnx1−lnA．e B．13 C．3 D．【答案】C【解答】解：因为x1＜x2时，都有lnx所以lnx1﹣lnx2＜3(所以lnx1+3x1＜令f（x）＝lnx+3x，则f（x1）＜f（x又因为对任意的x1，x2∈（m，+∞），所以f（x）在（m，+∞）上单调递增，f′（x）=1令f′（x）＞0得x＞3，所以在（3，+∞）上，f（x）单调递增，所以m≥3，所以m的最小值为3，故选：C．2．已知函数f(x)=ex−12x2−(1+a)x，若对任意两个不相等的实数x1A．12 B．1 C．2 【答案】B【解答】解：不妨设x1＞x2，因为f(x所以f（x1）+x1＞f（x2）+x2，令g(x)=f(x)+x=e则g（x1）＞g（x2），所以g（x）在R上单调递增，则g′（x）＝ex﹣x﹣a≥0恒成立，即a≤ex﹣x恒成立，令h（x）＝ex﹣x，则h′（x）＝ex﹣1，当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）≥h（0）＝1，所以a≤1，所以a的最大值为1．故选：B．3．已知函数f(x)=alnx+12x2，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞）【解答】解：由已知得x1＞x2＞0，则f(x1)−f(x2)x1−x2＞4化为f（x1即f（x1）﹣4x1＞f（x2）﹣4x2，令函数g(x)=f(x)−4x=alnx+1有∀x1＞x2＞0，g（x1）＞g（x2），则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，等价于∀x∈（0，+∞），g′(x)=ax+x−4≥0，即a≥﹣x2当x＞0时，﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，当且仅当x＝2时取等号，则a≥4，所以实数a的取值范围是[4，+∞）．故选：A．4．若对任意的x1，x2∈（1，3]，当x1＜x2时，x1−xA．[3，+∞） B．（3，+∞） C．[6，+∞） D．（6，+∞）【解答】解：当x1＜x2时，x1即当x1＜x2时，x1设f(x)=x−a2lnx，x∈(1，3]，则f而f′(x)=1−a2x≤0在（1，3]上恒成立，即a所以a≥6．故选：C．题型三指对同构及切线放缩同构原则：指对分离，物以类聚，取啥补啥，多啥除啥。【例题精讲】1．已知正实数a，b满足lna+a＝2025和b（lnb﹣2）＝e2027，则ab的值为（）A．e4052 B．e2 C．e2027 D．e2025【答案】C【解答】解：对b（lnb﹣2）＝e2027两边同时取对数，得lnb+ln（lnb﹣2）＝2027，即lnb﹣2+ln（lnb﹣2）＝2025，设f（x）＝lnx+x，x＞0，则f′(x)=1∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵lna+a＝2025，∴a＝lnb﹣2，∴ab＝（lnb﹣2）b＝e2027．故选：C．2．已知a＝e0.05，b＝ln1.05+1，c=20A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【答案】D【解答】解：由题，令f（x）＝ex﹣x﹣1（x＞0），则f′（x）＝ex﹣1＞e0﹣1＝0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（0）＝e0﹣0﹣1＝0，则f（ln1.05）＝1.05﹣ln1.05﹣1＞0，故1.05＞ln1.05+1，f（0.05）＝e0.05﹣（0.05）﹣1＝e0.05﹣1.05＞0，故e0.05＞1.05，故有e0.05＞ln1.05+1＞1＞2021，即a＞故选：D．3．已知当x＞0时，xex﹣2x≥a+2lnx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2+2ln2] C．（﹣∞，2ln2] D．（﹣∞，2﹣2ln2]【答案】D【解答】解：设函数f（x）＝xex﹣2lnx﹣2x＝elnx+x﹣2（lnx+x），则f（x）≥a对任意x∈（0，+∞）恒成立，设t＝lnx+x，那么t∈R，且f（x）＝et﹣2t，设函数g（t）＝et﹣2t，那么导函数g′（t）＝et﹣2，因此函数g（t）在（ln2，+∞）上是增函数，在（﹣∞，ln2）上是减函数，因此g（t）≥g（ln2）＝2﹣2ln2，所以g（t）的最小值为2﹣2ln2，即f（x）的最小值为2﹣2ln2，所以a∈（﹣∞，2﹣2ln2]．故选：D．4．已知f（x）＝memx﹣lnx（m≥0），若f（x）有两个零点，则实数m的取值范围为（）A．(0，1e) B．(0，1e2【答案】A【解答】解：若f（x）有两个零点，则f（x）＝memx﹣lnx＝0有两个解，等价于mxemx﹣xlnx＝0（x＞0）有两个解，令g（t）＝tet，则原式等价于g（mx）＝g（lnx）有两个解，即mx＝lnx（x＞0）有两个大于零的解．令h(x)=lnxx(x＞0)当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且h(e)=1e，h（所以当0＜m＜1e时，m=lnxx有两个交点，即故选：A．5．若x＞0时，2mx﹣xe2x+mlnx⩽0，则实数m的最大值为（）A．1e B．1 C．2 D．【答案】D【解答】解：根据题意，原不等式可化为m（2x+lnx）≤e2x+lnx，令t＝2x+lnx，显然函数t在（0，+∞）上单调递增且连续，且当x→+∞时，t→+∞，当x→0时，t→﹣∞，因此t的值域为R，当t＝0，原不等式显然成立；当t＞0时，原不等式可化为m≤e令函数f(t)=ett当t＞1时，f′（t）＞0，当0＜t＜1时，f′（t）＜0，因此f（t）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，f（t）min＝f（1）＝e，因此m≤f（t）min＝e；当t＜0时，原不等式可化为m≥e导函数f′(t)=(t−1)ett2又当t→﹣∞时，f（t）→0，故m≥0．综合t＞0时可知0≤m≤e，故m的最大值为e．故选：D．6．设实数a＞0，对任意实数x＞0，若不等式12eax−A．[12e，+∞) B．[2e，+∞)【解答】解：因为12eax依题意12eax≥ln(2x)a恒成立，即ae因为x＞0，所以axe令g（x）＝xex，则g′（x）＝（x+1）ex，当x＞0时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式12eax−ln(2x)a≥0恒成立，等价于g（ax因为a＞0，x∈（0，+∞），所以ax＞0，所以g（ax）＝axeax＞0，当x∈(0，12]时，ln（2x）≤0，g（ln（2x）＝eln（2x）•ln（2x）≤0，此时g（ax）≥g（ln当x∈(12，+∞)时，ln（2x）＞0，所以ax≥ln2x对任意的x∈(1设h(t)=lntt(t＞1)当1＜t＜e时，h′（t）＞0，h（t）在（1，e）单调递增，当t＞e时，h′（t）＜0，h（t）在（e，+∞）单调递减．所以当t＝e时，函数h（t）取得最大值，为h(e)=1e，此时2x＝所以a2≥1综上所述，实数a的取值范围为[2故选：B．（多选）7．若不等式xex+x+lnx＞ln（ax）+ax恒成立，则实数a的取值可能是（）A．12 B．1e C．2 【解答】解：xex+x+lnx＞ln（ax）+ax即lnxex+xex＞ln（ax）+ax，记f（x）＝lnx+x，f′(x)=1x+1＞0，所以函数f由lnxex+xex＞ln（ax）+ax可得f（xex）＞f（ax），因此xex＞ax＞0，即ex＞a＞0在（0，+∞）恒成立．因此0＜a≤1，故AB均符合，CD不符合．故选：AB．课时精练一．选择题（共12小题）1．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，满足xf′（x）﹣2f（x）＜0，且f（3）＝9，则不等式f（3x）﹣9x＜0的解集是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）【答案】D【解答】解：令g(x)=f(x)x2当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，由f（3）＝9，则g(3)=f(3)又f（3x）＝9xg（3x），所以f（3x）﹣9x＜0⇔9xg（3x）﹣9x＜0，即g（3x）＜1＝g（3），即有3x＞33x故选：D．2．若a=ln2A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】D【解答】解：因为a=ln22，b=1令f(x)=lnxx，定义域为（0，+∞），则当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，又因为2＜e＜3，所以f（2）＜f（e），f（e）＞f（3），又f(2)−f(3)=ln2所以f（2）＜f（3），所以f（e）＞f（3）＞f（2），即b＞c＞a．故选：D．3．已知a=e2ln3，b＝ee﹣1A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解答】解：把a，b，c变形得a=e3−1ln3，b=所以构造函数f(x)=ex−1lnx，x＞1，则a＝f（3），b＝f（e），又f′(x)=e令g(x)=lnx−1x，则所以g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，因为g(e)=lne−1所以f′（x）＞0在[e，+∞）上恒成立，所以函数f(x)=ex−1lnx所以f（e）＜f（3）＜f（4），即b＜a＜c．故选：C．4．已知实数x，y满足yeA．x＜y B．2x＜y C．x＜2y D．x＞2y【答案】D【解答】解：由题可知，ex设g(x)=exx，x＞1，g′(x)=ex因为g(x)=exx=e2yy＞e故选：D．5．已知f′（x）﹣f（x）＞0在R上恒成立，且f（0）＝1，则不等式e﹣xf（x）＞1的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，+∞）【答案】B【解答】解：令F（x）＝e﹣xf（x），则F'（x）＝e﹣x[f'（x）﹣f（x）]＞0，F（x）为增函数，故e﹣xf（x）＞1⇒F（x）＞F（0），即解集为（0，+∞）．故选：B．6．已知函数f(x)=alnx+12x2，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞）【答案】A【解答】解：由已知得x1＞x2＞0，则f(x1)−f(x2)x1−x2＞4化为f（x1即f（x1）﹣4x1＞f（x2）﹣4x2，令函数g(x)=f(x)−4x=alnx+1有∀x1＞x2＞0，g（x1）＞g（x2），则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，等价于∀x∈（0，+∞），g′(x)=ax+x−4≥0，即a≥﹣x2当x＞0时，﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，当且仅当x＝2时取等号，则a≥4，所以实数a的取值范围是[4，+∞）．故选：A．7．已知a＝e0.02，b=50A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】A【解答】解：构建函数f（x）＝xex+1+1，其中x∈（﹣1，0），那么导函数f′（x）＝（x+1）ex+1＞0，可知f（x）在区间（﹣1，0）内单调递增，那么f（x）＞f（﹣1）＝0，令x=−4950，那么可得所以e0.02＜5049，因此构建函数g(x)=lnx+1x−1，x＞1可知g（x）在区间（1，+∞）内单调递增，那么可得g（x）＞g（1）＝0，令x=4948，可得g(49可得50ln4948＞5049综上所述：a＜b＜c．故选：A．8．已知a＝e0.1﹣1，b=19，c＝A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b【答案】A【解答】解：令f(x)=ex−令φ（x）＝ex（x﹣1）2﹣1，则φ′（x）＝ex（x﹣1）（x+1），当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在（0，1）上单调递减，所以φ（x）＜φ（0）＝0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，所以f（0.1）＜f（0），即e0.1−11−0.1＜0，所以e令g（x）＝ex﹣ln（x+1）﹣1，x∈（0，1），则g′(x)=e令ω(x)=ex−1x+1，则ω′(x)=所以ω（x）＞ω（0）＝0，即g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，所以g（0.1）＞g（0）＝0，即e0.1﹣ln1.1﹣1＞0，所以e0.1﹣1＞ln1.1，即a＞c．所以c＜a＜b．故选：A．9．f（x）是定义在x≠0上的偶函数，f′（x）为其导函数且f（﹣1）＝0，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】C【解答】解：x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，当x＞0时，令F(x)=f(x)x，则F'（x）＝所以F（x）在（0，+∞）上单调递减，因为f（x）为偶函数，f（﹣1）＝0，所以f（1）＝0，F（x）为奇函数，当0＜x＜1时，F（x）＞0，即f（x）＞0；当x＞1时，F（x）＜0，即f（x）＜0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，即f（x）＞0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，即f（x）＜0，故不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1}．故选：C．10．设函数f（x）是R上可导的偶函数，且f（3）＝2，当x＞0，满足2f（x）+xf′（x）＞0，则x2f（x）＜18的解集为（）A．（﹣∞，3） B．（﹣3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【答案】C【解答】解：令g（x）＝x2f（x），因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是可导的偶函数，所以g（x）＝x2f（x）在（﹣∞，+∞）上也是偶函数又当x＞0时，2f（x）+xf′（x）＞0，所以2xf（x）+x2f′（x）＞0，所以g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上是增函数因为f（3）＝2，由x2f（x）＜18得x2f（x）＜18＝32f（3），即不等式转化为g（|x|）＜g（3），所以x不为0时有|x|＜3，而x为0时，不等式显然成立，所以x2f（x）＜18的解集为（﹣3，3）．故选：C．11．已知实数x，y满足lny=e2xyA．1e2 B．1e C．e 【答案】C【解答】解：由lny=e2xy−ln(2x)（可得ylny＝e2x﹣yln（2x），即ylny+yln（2x）＝e2x，即yln（2xy）＝e2x，所以2xyln（2xy）＝2xe2x，即eln（2xy）ln（2xy）＝2xe2x，设f（x）＝xex（x＞0），则f'（x）＝（x+1）ex＞0，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以ln（2xy）＝2x，则2xy＝e2x，即y=e令g(x)=e2x2x当0＜x＜12时，g'（当x＞12时，g'（所以g（x）在(0，12)所以ymin故选：C．12．若函数f（x）在R上可导，且f（x）＞f′（x），则当a＞b时，下列不等式成立的是（）A．eaf（a）＞ebf（b） B．ebf（a）＞eaf（b） C．ebf（b）＞eaf（a） D．eaf（b）＞ebf（a）【答案】D【解答】解：令g（x）=f(x)ex，则g′（x∵f（x）＞f′（x），∴f′(x)−f(x)e∴g（x）=f(x)ex又∵a＞b，∴f(a)e故eaf（b）＞ebf（a），故选：D．二．填空题（共7小题）13．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′（﹣x）＞2f（x），且f（1）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【答案】（﹣1，0）∪（1，+∞）．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义域为R的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x）且f（0）＝0，又因为当x＞0时，f′（﹣x）＞2f（x），所以f′（x）＞2f（x）．设函数h(x)=f(x)e2x所以当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为f（1）＝0，所以h（1）＝0，h（x）在（1，+∞）上大于零，在（0，1）上小于零，又因为e2x＞0，所以f（x）在（1，+∞）上大于零，在（0，1）上小于零，因为f（x）为奇函数，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上小于零，在（﹣1，0）上大于零，综上所述，f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．14．若存在正实数x，使得不等式1alnx≥3axln3（a＞0）成立（e是自然对数的底数），则a的最大值为1eln3【答案】1eln3【解答】解：当a＞0时，1alnx≥3axln3⇔lnxln3≥a⋅3ax⇔x•log3x≥ax•3ax⇔3log3设f（x）＝x•3x（x＞0），则f′（x）＝3x+x•3x•ln3＝3x（1+xln3）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以由3log3x•log3x≥ax•3ax，可得f（log3x）≥所以log3x≥ax，即a≤lo设g（x）=log3则g′（x）=1令g′（x）＝0得，x＝e，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（e）=lo所以a≤1即a的最大值为1eln3故答案为：1eln315．已知函数f（x）＝lnx﹣aeax，若对任意的x⩾1e，f(x)⩽0成立，则正数a的取值范围是【答案】[1【解答】解：根据函数f（x）≤0，所以lnx﹣aeax≤0，得lnx≤aeax．由于x≥1e，因此xlnx≤axeax＝eaxlne设函数g（x）＝xlnx，那么导函数g′（x）＝lnx+1．由于x≥1e，因此导函数g′（x）≥0，因此函数g（x）在由于xlnx≤eaxlneax，因此g（x）≤g（eax），因此x≤eax，因此lnx≤ax，因此a≥lnx令函数h(x)=lnxx，那么导函数由导函数h′（x）＜0，得x＞e，则h（x）在（e，+∞）上单调递减；由导函数h′（x）＜0，得0＜x＜e，则h（x）在（0，e）上单调递增．所以h(x)≤h(e)=1e，即故答案为：[116．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且f′（x）+f（x）＜0，则不等式e2x+2f（x+2）＜f（﹣x）的解集为（﹣1，+∞）．【答案】（﹣1，+∞）．【解答】解：设函数g（x）＝exf（x），那么导函数g′（x）＝ex[f′（x）+f（x）]＜0，因此函数g（x）在R上单调递减，且e2x+2f（x+2）＜f（﹣x），即ex+2f（x+2）＜e﹣xf（﹣x），所以g（x+2）＜g（﹣x），因此x+2＞﹣x⇒x＞﹣1．因此e2x+2f（x+2）＜f（﹣x）的解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）17．若关于x的不等式axex﹣x﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为[1e，+∞）【答案】[1【解答】解：axex﹣x﹣lnx≥0，即axex≥x+lnx＝lnex+lnx＝ln（xex），x∈（0，+∞），设t＝xex，t′＝（x+1）ex＞0恒成立，函数单调递增，故t＞