专题511角的概念的推广（高效培优讲义）

专题5.1.1角的概念的推广教学目标1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“零角”“终边相同的角”的含义；2.掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；3.深刻理解推广后的角的概念；能判断一个任意角是第几象限角，掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法.教学重难点1.重点：（1）理解并掌握正角、负角、零角的定义.掌握终边相同的角的表示方法.任意角的概念，象限角的表示.2.难点：（1）终边相同的角的表示.（2）区间角的集合书写.知识点01角的概念的推广一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角；以顺时针方向旋转所成的角称为负角；不旋转所成的角称为零角，用0°表示，零角的始边与终边重合.【即学即练】（2425高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（

）【答案】B【分析】根据任意角的概念计算可得；故选：B.知识点02与终边相同角的集合表示当=0时，角就是角本身.【即学即练】（多选）（2526高一上·全国·课前预习）（多选）下列说法正确的是（

）A．小于的角是锐角C．钝角是第二象限角【答案】CD【分析】根据角的定义即可结合选项逐一求解.【详解】小于的角还包括零角和负角，锐角是大于小于的角，故A错误；故选：CD题型01任意角的概念【典例1】（2425高一下·全国·课堂例题）如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时，思考下列问题：(1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？(2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据任意角的定义即可得解；（2）根据正角和负角的定义即可得解.【详解】（1）只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过360°；（2）甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反，如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转．可以用正负号来区分，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角；由一条射线绕其定点旋转，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角.【变式12】（2425高一下·贵州安顺·期末）地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度．因此分为24个节气，则芒种为黄经（

）A．60度 B．75度 C．270度 D．285度【答案】B【分析】结合题意与图象计算即可得.故选：B.【变式11】（2425高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（

）【答案】B【分析】根据任意角的概念计算可得；故选：B.【分析】根据任意角的概念得到所形成的角的度数.题型02确定终边相同的角【分析】先根据任意角的定义写出满足的条件，然后结合的范围求解.【答案】C【分析】由终边相同的角求出最小正角和最大负角即可求解.故ABD错误，C正确.故选：C【答案】C故选：C.【变式23】（2526高一上·全国·课后作业）下列角中与角的终边相同的是（填序号）．【答案】②③④【分析】根据终边相同的角的概念依次判断即可.故答案为：②③④.题型03根据图形写出角的范围（2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合；（3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）答案见解析；【分析】根据终边相同的角的定义和集合表示即可得出．【变式31】（2425高一上·山东菏泽·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（

）【答案】C【分析】根据阴影部分的边界，写出角的集合.故选：C B． C． D．【答案】C【分析】对按奇偶分类讨论可得．故选：C．【变式33】（2425高一下·全国·课后作业）如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．【分析】根据图中阴影直接写出再合并即可.【详解】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成．角的集合应当是集合①与②的并集：题型04写出轴线角的集合【典例4】（2425高一上·全国·课后作业）用角度表示出第一、三象限的角平分线上角的集合为.【分析】分别求出角的终边在第一象限角平分线上和角的终边在第三象限角平分线上的角的集合，然后求出其并集即可.【变式41】（2526高一上·全国·课后作业）终边与坐标轴重合的所有角的集合是（

）【答案】B【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得.故选：B【答案】A【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解.【详解】表示终边落在轴非正半轴上角的集合，表示终边落在轴上角的集合，故选：A.A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上【答案】A【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断.故选：A题型05确定已知角所在象限(1)；【答案】(1)作图见解析；；不属于任何一个象限(2)作图见解析；、；不属于任何一个象限【分析】利用终边相同的角可得答案.【详解】（1）作图见下图①；（2）作图见下图②；（3）作图见下图③；（4）作图见下图④；【变式51】（2425高一下·辽宁·期中）为钝角是为第二象限角的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用推出来判断是否充分和必要条件，即可.所以为钝角是为第二象限角的充分不必要条件.故选：A.【答案】三故答案为：三【答案】三故答案为：三题型06由已知角所在象限确定某角的范围A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】D故选：DA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可.【详解】因为是第二象限角，故选：D.A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C故选：CA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【分析】对分奇数、偶数两种情况讨论，结合象限角的定义可得结果.此时与角终边相同，为第二象限角；故选：BD．题型07确定n倍（分）角所在象限【典例7】（2223高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【分析】根据象限角的表示方法，得到和的表示，进而判定其象限，得到答案.所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．【变式71】（多选）（2223高一下·河北承德·开学考试）已知是锐角，则（

）C．是第一或第二象限角 D．是锐角【答案】ABD【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解.【详解】由题知，故选：ABD.【变式72】（多选）（2324高一下·江西·阶段练习）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】AC【分析】利用象限角的定义即可得解.当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限．故选：AC.【变式73】（2122高一·湖南·课后作业）当是锐角时，试判断是哪个象限的角．【答案】第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角.【分析】根据锐角范围求出2α范围，根据任意角的分类即可判断.一、单选题A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D故选：DA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据题意列出满足的条件进行判断.故角的终边所在的象限是第三象限．故选：C【答案】B【分析】根据任意角定义，结合集合描述判断各集合的关系即可.由钝角一定大于，但大于角不一定是钝角，故是的真子集，B对，D错；故选：B4．（2122高一上·广东中山·阶段练习）若α是第四象限角，则90º－α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【分析】根据角所在的象限判断所求角所在象限即可.故选：B5．（2021高一·全国·课后作业）以下命题正确的是（

）A．第二象限比第一象限角大【答案】B【分析】A：运用特例法进行判断即可；B：根据子集的定义进行判断即可；C：根据象限角的定义进行判断即可；D：根据终边在x轴上的角的特点进行判断即可,又C中，α为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上，∴C不正确．故选：B6．（2425高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（

）A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【答案】B【分析】用终相同的角写出角的表示，计算，让整数取相邻的整数代入确认．故选：B．7．（2324高一上·江苏连云港·阶段练习）如果是第三象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限；故选：C.8．（1516高一上·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B可得的终边在第一象限；可得的终边在第三象限，∴可得的终边在第四象限，故选:B．二、多选题【答案】AD故选：AD．【答案】ACD故选：ACD.11．（2425高一上·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的是（

）D．若角是三角形的一个内角，则角必是第一、二象限角【答案】AC【详解】对于A，终边在第二象限的角的集合为故是第四象限角，故C正确；对于D，当三角形其中一个内角为直角时，该角终边不在任何象限，故D错误.故选：AC.三、填空题【答案】（答案不唯一）【分析】直接根据终边互为反向延长线的两角特点计算即可.故答案为：（答案不唯一）.【分析】利用终边相同的角的定义可得结果.14．（2526高一上·全国·课后作业）如图，（1）终边落在直线上的角的集合为；（2）角的终边与终边落在射线上的角的终边关于轴对称，则．【详解】（1）设终边落在直线上的角为，角的终边是射线，则角的终边落在直线上时有两种情况：终边为射线和终边为（2）因为大小为的角的终边落在射线上，大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称，四、解答题15．（2425高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．【分析】直接利用所给角，表示出范围