专题02空间向量及其运算（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性

专题02空间向量及其运算教学目标1.理解空间向量的基本概念和性质；2.掌握向量加减、数乘及数量积的运算规则及运算律；3.培养类比、分析和计算的能力教学重难点教学重点：掌握空间向量加减、数乘及数量积的运算规则及运算；2.教学难点：理解空间向量的基本概念与性质.知识点01空间向量的概念1、空间向量的有关概念（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；（2）几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的表示表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；【即学即练】1.【多选】给出下列命题，其中正确的命题是（

）【答案】BCD【详解】依据向量相等的概念，选项A判断错误；故选：BCD.2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则下列向量相等的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))D.eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))【答案】D【详解】对于A，eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误；对于B，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误；对于C，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误；对于D，eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正确．故选D知识点02空间向量的加法、减法运算3、空间向量的加法运算律【知识拓展】空间向量加法的多边形法则1．当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则:n个向量顺次首尾相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和,即2.由上述法则可推导出：围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.【即学即练】1已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列各式运算结果不是eq\o(AC1,\s\up7(→))的为()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) B．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))【答案】D【详解】选项A中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；选项B中，eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋(eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；选项C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；选项D中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC1,\s\up7(→))≠eq\o(AC1,\s\up7(→)).故选D.【答案】C故选：C.知识点03空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2：数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同与向量的方向相反3．数乘向量的运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【即学即练】知识点04共线向量与共面向量1．共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.【即学即练】【答案】B故选：B.2.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（

）【答案】D3.在下列命题中：①若向量共线，则所在的直线平行；②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A所以选A知识点05空间向量的数量积规定：零向量与任何向量的数量积都为0.特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;2.常用公式：(a，b为非零向量)①垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0.②模长公式：a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③夹角公式：cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).3、数量积的运算性质：【即学即练】【答案】C故选：C【答案】故答案为：(2)求与的夹角的大小余弦值；(3)判断与是否垂直．故与垂直.题型01空间向量的有关概念【典例1】下列命题中正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空间任意两个向量共面 D．若a→∥b→【答案】C【详解】A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；D．若a→∥b→，则存在唯一的实数λ，使使综上可知：只有C正确．故选：C．【典例12】（2425高二上·河南洛阳·阶段练习）下列关于空间向量的说法正确的是（

）A．零向量是任意直线的方向向量B．方向相同的两个向量是相等向量C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量【答案】D【分析】A选项，根据直线的方向向量的定义得到A错误；B选项，根据相等向量定义得到B错误；C选项，根据空间向量基底的定义得到C错误；D选项，由空间向量和平面向量的定义进行判断.【详解】A选项，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，A错误；B选项，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误；C选项，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，C错误；D选项，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，D正确.故选：D在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.【变式11】（2425高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；④空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可.【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题；对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题；对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题.故选：B【答案】C【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可故选：C【变式13】下列说法正确的是（

）A．向量与向量是相等向量C．向量的模是一个正实数D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D.【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确；对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确；对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确.故选：D.题型02空间向量的线性运算【答案】C故选：C.【答案】B【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合.故选：.在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.A．1 B． C．2 D．3【答案】C故选：C.

A． B． C． D．【答案】A

故选：A.题型03共线向量定理的应用A．5 B． C．3 D．【答案】B故选：BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故选：C.利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【答案】B故选：BA．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】C【分析】利用空间向量平行证明三点共线即可.所以、、三点共线，故选C正确.故选：C.故D成立，故选：D.题型04共面向量及应用A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，故选：B．A． B．1 C．2 D．3【答案】B 1．解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值.故选：B.A． B． C． D．【答案】A题型05空间向量的数量积【答案】D故选：D.A．1 B． C．2 D．【答案】D故选：D【答案】AB【详解】题型06求两向量的夹角A． B． C． D．0【答案】D【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的定义及运算律列式计算，再利用空间向量夹角的定义求解.故选：D1、求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．A． B． C． D．【答案】A故选：A.题型07求线段的长度或向量的模长【答案】A【分析】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得.故选：A.【答案】B【分析】借助空间向量的线性运算与数量积公式计算即可得.故选：B.空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。【答案】【答案】

题型08证明线线垂直A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直【答案】B对于D，连接，所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误.故选：B.利用空间向量解决垂直问题的方法(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.【答案】(1)(2)垂直故与垂直.题型9利用空间向量求异面直线所成的角【答案】B而D，E分别是棱AB，PC的中点，故选：B利用空间向量求异面直线所成角的方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量的夹角，再利用向量夹角公式求解，但要注意的是异面直线所成的角不能为钝角，故当两向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角为其补角.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基底法求解即可.故选：D.A．2 B． C． D．【答案】D到面的距离等于，由于侧面和底面垂直，由面面垂直的性质定理可得到的距离为，故选：D.一、单选题1.（2425高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（

）A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底【答案】C【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误.方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误．平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确.空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误.故选：C.【答案】B故选：B.【答案】B【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合.故选：.【答案】C所以与共线，这和与不共线相矛盾，故假设不成立，则A不正确，同理B不正确，则D不正确；故选：C.【答案】C【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解.故选：CA．30° B．45° C．60° D．90°【答