数学解题讲解100

数学解题讲解xx汇报人：数学家壹、对于「解题」典型的解释贰、解题基本要素参、解题的观点肆、解题的目的伍、参考解题训练陆、杂例壹、对于「解题」典型的解释：一、问题解决是心理活动：面临新环境或课题发生矛盾而没有现成对策时，所引起寻求解决办法的一种活动。

二、问题解决是一个过程：“将先前已获得的知识用于新的不熟悉的过程称为解决问题”(NCSM,美国全国数学管理者大会)，所以问题解决是一个发现的过程、探索的过程及创新的过程

。三、问题解决是一个目的：“学习数学的主要目的在于问题解决”(NCSM)，所以学习怎样解决问题就成为学习数学的根本原因。此时，问题解决就独立于特殊问题、独立于一般过程及方法、也独立于数学的具体内容。

四、问题解决是一种能力：即把数学用于各种情况的能力，这也是生存的本领。

传统上的解题(或数学家们)，把「题」作为考察对象，把「解」作为研究的目的。这些精明的数学结果只告诉我们“应用了什么数学方法”，“得到了什么数学结论”。但大多数人想知道的是“怎样应用数学方法”，“如何发现数学结论”。今天我们要讨论的是“如何寻找解题规律”及“怎样学会解题”。我们将透过解题过程的分析去探索“怎样学会解题”。贰、解题基本要素：解题的能力因素解题的经验因素解题的非智力因素解题的知识因素一、

知识结构：波利亚曾说：「货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。」希望提高解题效率的人都必须对下列三项下功夫：(1)熟练掌握数学基础知识系统─教材的概念系统、定理系统、符号系统、数学竞赛的基本理论。（3）熟习基本的逻辑规则和常用的解题方法,累积不断出现的数学技巧。（2）深刻理解数学概念,准确掌握数学定理、公式和法则。二、

思维能力：解题能力表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏锐性、洞察力及整体把握。其主要成分是三种基本数学能力(运算能力、逻辑思考能力、空间想象能力),重点是能否掌握正确的思维方法(包括逻辑思维与非逻辑思维),其基本要求为(1)掌握解题的科学程序；（2）掌握数学中常用的思维方法(如观察、试验、归纳、演绎、类比、分析、综合、抽象、概括等);（4）具有敏锐的直觉。（3）掌握解题的基本策略,能因题制宜地选择适当的解题思路,使用有效的解题方法,运用精明的解题技巧;三、

经验题感：解题具有实践性与探索性的特征，解题就像游泳、弹钢琴与骑脚踏车一样，只能透过模仿和实践来学到它。你想学会游泳，就必须下水；你想成为解题高手，就必须去解题。弗里德曼曾说过：「解题不能教会，只能靠自己学会。」强调解题经验(实践)的原因是：(1)基础知识要透过解题实践来消化；（2）思维素质要透过解题实践来优化;（3）解题方法要透过解题实践来强化。在解题实践中，有时会成功、有时会失败，这两方面的经验累积，都能形成长久保留价值或借镜的经验。所谓解题经验就是某些数学经验、某些解题方法与某些条件的组合。成功是一种有效的有序组合，失败是一种无效的无序组合─不过它可从反面提供有效有序组合有用的信息。成功经验所获得的有效有序组合，遇到合适的场所就可以套用上。弗里德曼特别强调「在解题时不具备一般能力的基本原因在于没有经常亲自动手进行分析，没有从一般的运算方法及理论依据进行分析。」在解题中，一个人能避开岐路、绕过困难点、从众多可能的途径中迅速选出正确的一条途径，的确是一定数学经验调控的结果。解题成功就在于回忆他经验中用得上的东西和他的解题思维联系起来。解题经验的累积有利于解题念头的诱发，有助于直觉性题感的形成。题感是世人们对问题整体的感受，它是思维变迁的一种潜在表现，而实质上是一种数学观念、数学意识，常表现为整体把握及成功思路的预感、预测和预见。四、情感态度这里主要是指良好的心理素质,如动机、兴趣、抱负、态度、品德和意志等。这些非智力因素对于解题的作用与其对于发明、发现的作用是一样的。华罗庚曾说：「聪明在于学习，天才在于累积。」陈省身亦认为他对学数学的体会是「要用功，不用功什么也谈不上。」波利亚也曾说：「我认为解题是纯粹的智能活动是错误的，决心与情绪所起的作用很重要。」他强调说：「教学生解题是意志的教育，当学生求解那些对他来说并不容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会等待主要念头，学会了当主要念头出现后全力以赴。如果学生在学校里没有机会尝试为求解而产生的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。」叁、解题的观点1.怎样解题的解题观(波利亚)(a)弄清问题(b)拟定解题计划(c)实践计划(d)回顾(或验算所得的解)2.怎样学会解数学题的解题观(弗里德曼)(a)强调解题的实践性和创造性(b)解数学题就是要找到一种一般数学原理(c)解题过程的结构(d)如何寻找解题方案弄清问题未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?条件是否充分来解未知数(或不足、或多余、或矛盾)?画图、引入适当的符号;把条件个别分开,是否能把它写出来?拟定解题计划找出已知数与未知数之间的关系;如果找不到直接的关系,可否找到有用的辅助问题;得到求解计划实践计划清楚看出或证明步骤的正确性。实践个人求解计划,检验每个步骤;回顾(或验算所得的解)能否将此结果或方法用在其他的问题上?能不能一下看出它来?可否用其他的方法导出这个结果?检验这个论证;「如果把解题过程理解为开始得到习题到完全解决这道题的过程，那么这个过程并不单是由叙述已经找到的题解所组成的，而是由一系列的阶段所组成的；叙述题解只是其中的一个阶段。」其全程可分为下列8个阶段：第一阶段─分析习题；第二阶段─作习题的图示；第三阶段─寻找解题方法；第四阶段─进行解题；第五阶段─检验题解；第六阶段─讨论习题；第七阶段─陈述习题答案；第八阶段─分析题解。

分析题解习题分析习题寻找解题方法拟定解题方案案实现解题方案检验答案习题的图示讨论习题如何寻找解题方案呢？01识别习题的类型─许多类型的习题都有解答它们的一般法则。02归结为已经解过的题如果我们开始解一道题,分析的结果不能从中识别出类型,对于这种类型的问题,我们不知道解它的一般法则,那么我们应该怎么办呢?只有将它归结于熟习的早已解过的习题(利用变换、改编或其他方法)。肆、解题的目的更普遍的回答是:求出答案。有的老师回答是:巩固知识;0304有的学生回答是:考试得分;数学解题的目的是什么?0102从教学的角度看，这些回答都有不够完整的地方，其实，求出答案仅仅是数学本身的目的。既使是数学家的研究工作，有时也不完全把找到答案作为目的。一个猜想尚未解决时，它刺激了数学方法的发明和数学分支的创立，其价值有时远远地超过了问题的解决本身。所以当“四色问题”宣布被计算机解决时，有许多数学家深感惋惜；所以希尔伯特不情愿杀掉那只能为人类生出金鸡蛋的母鸡─费马猜想(传说希尔伯特证明了此猜想，而未发表)。事实上，作为数学教学中的习题，其答案都是现成的，教学参考书常有详细的解答过程。波利亚不满足于只给出现成的答案，才决心「教会年轻人去思考」，写出怎样解题表。

解出数学习题本身不是全部或最终的目的，而是一种训练手段，这种训练的目的主要有三项：

一、知识理解的巩固性目的；二、能力培养的发展性目的；三、思想教育的陶冶性目地。伍、参考解题训练曾见过它吗?是否遇见过相同的问题,但形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?是否知道可能用得到的定理?试着想出一个具有相同未知数(未知性质)或相似未知数(未知性质)的熟习的问题。这里有一个与你现在的问题有关且已解决的问题,你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?你是否应该引入某些辅助条件?你能不能重新叙述这个问题?你能不能利用其它的方法重新叙述它?回忆相关的数学定义。如果不能直接解决此问题,可解决一个与此相关的问题吗?能不能想出一个与此相关的问题(类似的问题、较特殊的问题或更普遍的问题)?你能不能解决这个问题的一部份?