天一大联考皖豫联盟2025年数学高二第一学期期末检测试题含解析

天一大联考皖豫联盟2025年数学高二第一学期期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.C.最大值为D.2．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32C.36 D.373．已知实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.4．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是A.0 B.1C.2 D.35．点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.6．在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有A.0个 B.1个C.2个 D.3个7．若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.8．已知数列满足，且，则的值为（）A.3 B.C. D.9．在三棱锥中，平面；记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A. B.C. D.10．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是（）A①简单随机抽样，②分层抽样 B.①分层抽样，②简单随机抽样C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层抽样11．设数列的前项和为，若，，，则、、、中，最大的是（）A. B.C. D.12．已知直线m经过，两点，则直线m的斜率为（）A.-2 B.C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________.14．已知，，且，则的最小值为___________15．已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.16．的展开式中的常数项为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）新冠疫情下，有一学校推出了食堂监管力度的评价与食品质量的评价系统，每项评价只有合格和不合格两个选项，师生可以随时进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位师生的信息，发现对监管力度满意的占75%，对食品质量满意的占60%，其中对监管力度和食品质量都满意的有80人.（1）完成列联表，试问：是否有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联？监督力度情况食品质量情况对监督力度满意对监督力度不满意总计对食品质量满意80对食品质量不满意总计200（2）为了改进工作作风，针对抽取的200位师生，对监管力度不满意的人抽取3位征求意见，用X表示3人中对监管力度与食品质量都不满意的人数，求X的分布列与均值.参考公式：，其中.参考数据：①当时，有90%的把握判断变量A、B有关联；②当时，有95%的把握判断变量A、B有关联；③当时，有99%的把握判断变量A、B有关联.18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，（1）求椭圆C的方程；（2）不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标19．（12分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积20．（12分）已知函数.（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）当时，求函数f(x)的值域.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1与坐标轴的交点都在圆C上（1）求圆C的方程；（2）设过点P(0，－2)的直线l与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求l的方程22．（10分）圆心为的圆经过点,，且圆心在上，（1）求圆的标准方程；（2）过点作直线交圆于且，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据已知条件，判断出，即可判断选项D，再根据等比数列的性质，判断，，由此判断出选项A,B,C.【详解】根据题意，等比数列满足条件，，，若，则，则，，则，这与已知条件矛盾，所以不符合题意，故选项D错误；因为，，，所以，，，则，，数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，因此是数列中的最大值，故选项A正确由等比数列的性质，，故选项B不正确；而，由以上分析可知其无最大值，故C错误；故选：A2、C【解析】直接按照等差数列项数性质求解即可.【详解】数列的前6项之和为.故选：C.3、D【解析】利用特殊值排除错误选项，利用函数单调性证明正确选项.【详解】时，，但，所以A选项错误.时，，但，所以B选项错误.时，，但，所以C选项错误.在上递增，所以，即D选项正确.故选：D4、B【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；故答案为B.【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假5、A【解析】由，当三点共线时，取得最值【详解】设是椭圆的右焦点，则又因为，，所以，则故选：A6、C【解析】因为线段D1Q与OP互相平分，所以四点O，Q，P，D1共面，且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.7、D【解析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线的方程为，故选：D8、B【解析】根据题意，依次求出，观察规律，进而求出数列的周期，然后通过周期性求得答案.【详解】因为数列满足，，所以，所以，，，可知数列具有周期性，周期为3，，所以.故选：B9、A【解析】先得到三棱锥的每一个面都是直角三角形，然后可得与平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他们的余弦值，利用向量法计算直线与直线所成的角为的余弦值，然后比较大小.【详解】令，由平面，且平面，又，，面三棱锥的每一个面都是直角三角形.与平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，则所以，又均为锐角，故选：A.10、B【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样故选：B11、C【解析】求出的表达式，解不等式可得结果.【详解】由已知可得，故数列为等差数列，且公差为，所以，，令可得.因此，当时，最大.故选：C.12、A【解析】根据斜率公式求得正确答案.【详解】直线的斜率为：.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求出，然后当时，由，得，两式相减可求出，再验证，从而可得数列为等比数列，进而可求出，再将问题转化为在上恒成立，所以，从而可求出实数的取值范围【详解】当时，，得，当时，由，得，两式相减得，得，满足此式，所以，因为，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以，所以对于任意的，不等式恒成立，可转化为对于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查数列通项公的求法，等比数列求和公式的应用，考查不等式恒成立问题，解题的关键是求出数列的通项公式后求得，再将问题转化为在上恒成立求解即可，考查数学转化思想，属于较难题14、25【解析】根据，，且，由，利用基本不等式求解.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为25，故答案为：2515、【解析】利用椭圆的定义可得轨迹方程.【详解】连接，由题意，，则，由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，故短半轴长为1，故轨迹方程为：.故答案为：.16、15【解析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而可得展开式中的常数项【详解】二项式展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中的常数项为故答案为：15三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）列联表见解析，有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联；（2）X的分布列见解析，X的期望为【解析】(1)根据给定条件完善列联表，再计算的观测值并结合给定数据即可作答.(2)求出X的可能值及各个值对应的概率列出X的分布列，再计算期望作答.【小问1详解】对监管力度满意的有，对食品质量满意的有，列联表如下：对监督力度满意对监督力度不满意总计对食品质量满意8040120对食品质量不满意701080总计15050200则的观测值为：，所以有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联.【小问2详解】由(1)及已知得，X的所有可能值为：0，1，2，3，，，，，X的分布列为：X0123PX的期望为：.【点睛】易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释18、（1）；（2）证明见解析，(－5,0).【解析】(1)写出A、B、F的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得a、b、c和椭圆的标准方程；(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得k和m的关系，即可证明直线过定点并求出该定点.【小问1详解】由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)∵，∴解得从而b2＝a2－c2＝3∴椭圆C的方程；【小问2详解】设直线l的方程为y＝kx＋m，，∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0由得时，，，∴由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.【小问1详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若是的中点，则，，，于是，∴，即【小问2详解】由题设知，，，是平面内的两个不共线向量设是平面的一个法向量，则，取，得又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时设，而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.20、（1）；（2）.【解析】（1）先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简，进而求出周期；（2）求出的范围，进而结合三角函数的性质求得答案.【小问1详解】，函数最小正周期为.【小问2详解】当时，，，∴，即函数的值域为.21、（1）（2）或【解析】（1）求出曲线与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，代入求解；（2）分类讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，设直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求解【小问1详解】时，，又得，，所以三交点为，设圆方程为，则，解得，圆方程为；【小问2详解】由（1）知圆标准方程为，圆心为，半径为，直线斜率不存在时，直线为，它与圆的两交点为，满足题意；斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到的距离为，又，所以，，直线方程为即所以直线方程是：或22、（1）；（2）或.【解析】（1）求出线段的垂直平分线方程，求出此直