2022年6月概率论培训试卷

2022年6月概率论培训试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。）1.设事件A与B互斥（A∩B=∅），且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论中正确的是（）。（A）A与B独立（B）A与B不独立（C）A与B互为对立事件（D）A与B可能相互独立2.已知随机变量X～B(n,p)，且E(X)=2，Var(X)=1.5，则n和p的值分别为（）。（A）n=4,p=0.5（B）n=2,p=0.75（C）n=8,p=0.25（D）n=1,p=1.53.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列叙述中不正确的是（）。（A）P(a<X≤b)=F(b)-F(a)（B）P(X=a)=F(a)-F(a-0)（C）P(X>b)=1-F(b)（D）P(X=b)=F(b+0)4.设随机变量X和Y相互独立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，则X+Y的分布是（）。（A）N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)（B）N(μ1+μ2,σ1^2σ2^2)（C）N(μ1-μ2,σ1^2+σ2^2)（D）N(μ1μ2,σ1^2σ2^2)5.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=0，则下列结论中正确的是（）。（A）X与Y相互独立（B）X与Y不相关（C）X与Y一定线性相关（D）X与Y一定线性无关二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在答题卡相应位置。）6.设事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且A与B至少有一个发生的概率P(A∪B)=0.8，则事件A与B同时发生的概率P(A∩B)=。7.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=。8.设随机变量X的密度函数为f(x)={c(x+1),-1<x<0;0,其他}，则常数c=。9.设随机变量X和Y的期望分别为E(X)=2,E(Y)=3，方差分别为Var(X)=1,Var(Y)=4，且Cov(X,Y)=1，则E(3X-2Y)=，Var(X-2Y)=。10.设总体X服从参数为λ的指数分布，X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，则样本均值X̄的期望E(X̄)=，方差Var(X̄)=。三、计算题（本大题共4小题，共50分。请写出详细的计算过程。）11.（本题满分12分）甲、乙两人约定在下午1点到2点之间在某地会面。他们约定先到者等待另一人15分钟，过时就离开。假设两人在下午1点到2点之间（60分钟内）的任何时刻到达都是等可能的，求两人能会面的概率。12.（本题满分12分）设随机变量X的密度函数为f(x)={e^(-x),x>0;0,x≤0}求：（1）随机变量X的分布函数F(x)；（2）P(1<X<2)。13.（本题满分12分）设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下表所示：Y|0|1|---|------|------|X|0.1|0.2||1|0.3|0.4|求：（1）随机变量X的边缘分布律；（2）随机变量Y的边缘分布律；（3）在Y=1的条件下，随机变量X的条件分布律。14.（本题满分14分）设随机变量X和Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(1,4)。令Z=X-2Y。求：（1）随机变量Z的期望E(Z)和方差Var(Z)；（2）求随机变量Z的密度函数f(z)。四、证明题（本题满分10分。请写出详细的证明过程。）15.设随机变量X和Y相互独立，且都服从N(0,1)分布。证明：随机变量X^2+Y^2服从自由度为2的χ^2分布。试卷答案一、选择题1.B2.C3.D4.A5.B二、填空题6.0.37.28.1/29.4,810.λ/n,λ/(n^2)三、计算题11.解析思路：设甲、乙到达时间为X、Y，X,Y~U(0,60)。两人会面的条件为|X-Y|≤15。利用几何概型求解。以X为横轴，Y为纵轴，在120x120的正方形区域中，绘制直线Y=X-15和Y=X+15，形成两条平行线。两条平行线与正方形的边界交点构成的区域内，两人可以会面。该区域面积为(120-15)^2+(120-15)^2-2*(15^2)=12720。总区域面积为120*120=14400。概率P=12720/14400=0.88。答案：0.8812.解析思路：（1）对密度函数进行积分得到分布函数。F(x)=∫[-∞,x]f(t)dt。当x≤0时，F(x)=0。当x>0时，F(x)=∫[0,x]e^(-t)dt=1-e^(-x)。（2）利用分布函数计算概率。P(1<X<2)=F(2)-F(1)=(1-e^(-2))-(1-e^(-1))=e^(-1)-e^(-2)。答案：F(x)={0,x≤0;1-e^(-x),x>0}；e^(-1)-e^(-2)13.解析思路：（1）计算X取各值的概率总和，得到X的边缘分布。P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.1+0.2=0.3。P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.3+0.4=0.7。（2）计算Y取各值的概率总和，得到Y的边缘分布。P(Y=0)=P(Y=0,X=0)+P(Y=0,X=1)=0.1+0.3=0.4。P(Y=1)=P(Y=1,X=0)+P(Y=1,X=1)=0.2+0.4=0.6。（3）利用条件概率公式计算条件分布。P(X=0|Y=1)=P(X=0,Y=1)/P(Y=1)=0.2/0.6=1/3。P(X=1|Y=1)=P(X=1,Y=1)/P(Y=1)=0.4/0.6=2/3。答案：（1）X的边缘分布：X|P(X)|0|0.3|1|0.7|（2）Y的边缘分布：Y|P(Y)|0|0.4|1|0.6|（3）Y=1时，X的条件分布：X|P(X|Y=1)|0|1/3|1|2/3|14.解析思路：（1）利用期望和方差的性质。E(Z)=E(X-2Y)=E(X)-2E(Y)=0-2*1=-2。Var(Z)=Var(X-2Y)=Var(X)+4Var(Y)+2*Cov(X,-2Y)=1+4*4+2*(-2*1)=1+16-4=13。（2）利用独立正态分布的性质，线性组合仍服从正态分布。Z~N(-2,13)。密度函数f(z)=(1/√(2π*13))*e^(-(z+2)^2/(2*13))。答案：（1）E(Z)=-2,Var(Z)=13；（2）f(z)=(1/√(26π))*e^(-(z+2)^2/(26))四、证明题15.证明思路：利用独立正态随机变量的平方和分布。设Z1=X,Z2=Y，则Z1,Z2~N(0,1)，且相互独立。根据χ^2分布的定义，若随机变量W=Z1^2+Z2^2，则W服从自由度为2的χ^2分布。因