2025年线性代数与图像处理应用试题

2025年线性代数与图像处理应用试题一、单项选择题（每题5分，共30分）图像矩阵表示：一幅分辨率为1920×1080的24位RGB彩色图像，在计算机中对应的矩阵维度为（）A.1920×1080×3B.1080×1920×3C.1920×1080×24D.3×1920×1080矩阵运算与图像翻转：对灰度图像矩阵(A)进行水平翻转，等价于以下哪种矩阵操作？（）A.转置运算(A^T)B.与置换矩阵(P)相乘（(P)为单位矩阵列互换）C.求逆运算(A^{-1})D.数乘运算(kA)（(k=-1)）特征值与图像清晰度：图像矩阵的特征值中，较大的特征值对应图像的（）A.细节信息B.噪声成分C.整体轮廓D.色彩分布奇异值分解（SVD）压缩：对512×512的灰度图像矩阵进行SVD分解后，保留前20个奇异值重构图像，与原图相比（）A.分辨率提升B.存储容量减少C.色彩饱和度增加D.对比度增强卷积与图像滤波：使用3×3均值滤波器对图像去噪，本质是对图像矩阵进行（）A.特征值分解B.矩阵乘法（与滤波核卷积）C.秩1分解D.正交变换线性方程组与图像修复：已知某图像中3个相邻像素满足方程(2x_1+x_2-x_3=255)，(x_1-3x_2+2x_3=0)，(4x_1+2x_2+x_3=128)，则该方程组的解为（）A.唯一解B.无穷多解C.无解D.仅零解二、填空题（每空4分，共40分）图像矩阵基础：灰度图像中，像素值范围为0~255，其中0代表______色，255代表______色；若将图像矩阵所有元素取反（(255-A_{ij})），等价于线性变换中的______运算。矩阵秩与图像信息量：秩为1的图像矩阵对应的图像呈现______特征；若图像矩阵的秩从512降至10，图像会出现______现象。正交变换与压缩：JPEG压缩中，对图像分块进行DCT变换（离散余弦变换），其本质是将图像块矩阵投影到______基向量空间，变换后的系数矩阵呈现______分布（填“稀疏”或“密集”）。线性相关性与噪声检测：若图像中某区域像素对应的列向量组线性相关，则该区域可能存在______；若线性无关，则该区域大概率为______（填“平滑区域”或“边缘区域”）。PCA降维与彩色图像：对RGB彩色图像的三维矩阵（(R,G,B)通道）进行主成分分析（PCA），第一步需将矩阵重塑为______维数据矩阵，再计算其______矩阵的特征向量。三、计算题（共60分）1.矩阵运算与图像旋转（20分）已知某灰度图像的局部区域可表示为2×2矩阵：[A=\begin{bmatrix}100&150\200&250\end{bmatrix}]（1）计算矩阵(A)的转置(A^T)，并说明其对应图像的几何变换效果；（2）若对图像进行45°旋转，需使用旋转矩阵(R=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix})，求旋转后图像矩阵(B=RA)（结果保留整数）。2.特征值分解与图像重构（20分）给定图像矩阵(A=\begin{bmatrix}5&3\3&5\end{bmatrix})，（1）求(A)的特征值(\lambda_1,\lambda_2)及对应的特征向量(\alpha_1,\alpha_2)；（2）若仅保留最大特征值对应的特征向量重构图像，写出重构矩阵(A')的表达式，并计算重构误差(|A-A'|_F)（Frobenius范数）。3.SVD压缩与存储优化（20分）对128×128的灰度图像矩阵(M)进行SVD分解，得到奇异值矩阵(\Sigma=\text{diag}(1000,800,500,200,100,\dots,0))。（1）计算保留前3个奇异值时的压缩比（存储量=原矩阵元素数/重构所需元素数）；（2）若要求重构图像误差小于原图像能量的5%，至少需保留多少个奇异值？（提示：图像能量近似为奇异值平方和）四、综合应用题（共70分）1.图像去噪中的线性方程组（30分）某5×5灰度图像中心区域受噪声干扰，已知噪声满足以下条件：噪声像素(x_{22},x_{23},x_{32},x_{33})（中心4像素）与相邻正常像素的关系为：(x_{22}+x_{23}+x_{32}+x_{33}=512)(2x_{22}-x_{23}+x_{32}-2x_{33}=0)(-x_{22}+2x_{23}-2x_{32}+x_{33}=0)(x_{22}-x_{23}-x_{32}+x_{33}=64)（1）写出该方程组的矩阵形式(Ax=b)；（2）通过初等行变换求(A)的秩(R(A))及增广矩阵([A|b])的秩，判断方程组解的情况；（3）若有解，求出噪声像素的真实值（假设像素值为0~255的整数）。2.PCA降维与人脸识别（40分）某人脸识别系统需对100张256×256的人脸图像（灰度图）进行降维处理：（1）将单张人脸图像矩阵转换为列向量，写出向量维度；（2）若100张人脸图像构成数据矩阵(X\in\mathbb{R}^{65536\times100})，计算其协方差矩阵(C)的表达式（(C\in\mathbb{R}^{65536\times65536})）；（3）对(C)进行特征值分解后，取前50个最大特征值对应的特征向量作为主成分，求降维后的数据维度；（4）说明降维后数据在存储和计算效率上的优势。五、证明题（20分）正交变换与图像能量守恒：设(A)为图像矩阵，(P)为正交矩阵（(P^T=P^{-1})），证明：正交变换后的图像矩阵(B=PA)与原矩阵(A)的Frobenius范数相等，即(|A|_F=|B|_F)。（提示：(|A|_F^2=\text{tr}(A^TA))，其中(\text{tr})为矩阵的迹）六、编程实践题（共80分）1.基础图像操作（MATLAB实现，40分）给定灰度图像矩阵(I\in\mathbb{R}^{256\times256})（像素值0~255），完成以下任务：（1）编写代码实现图像的垂直翻转（提示：使用矩阵索引(I(end:-1:1,:))）；（2）计算翻转后图像矩阵的秩，并与原图秩比较，分析差异原因；（3）对原图添加均值为0、方差为25的高斯噪声，生成噪声图像(I_{\text{noise}})，使用3×3高斯滤波器（(\sigma=1)）去噪，写出滤波核矩阵并计算去噪前后图像的均方误差（MSE）。2.SVD图像压缩（Python实现，40分）使用Python的NumPy库对图像进行SVD压缩：（1）读取一张256×256的灰度图像，转换为矩阵(A)；（2）调用numpy.linalg.svd函数进行分解，得到(U,\Sigma,V^T)；（3）分别保留前10、50、100个奇异值重构图像，显示结果并计算压缩比；（4）绘制奇异值衰减曲线（横轴为奇异值序号，纵轴为奇异值大小），解释曲线下降速度与图像冗余度的关系。参考答案及评分标准（部分）一、单项选择题A2.B3.C4.B5.B6.A二、填空题黑，白，数乘（(k=-1)）+平移（(+255)）纯色或梯度渐变，模糊（细节丢失）正交，稀疏噪声，边缘区域(n\times3)（(n)为像素总数），协方差三、计算题（示例）（1）(A^T=\begin{bmatrix}100&200\150&250\end{bmatrix})，对应图像垂直翻转；（2）(\theta=45^\circ)时，(R=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix}1&-1\1&1\end{bmatrix})，(B\approx\begin{bmatrix}-35&71\212&283\end{bmatrix})（四舍五入取整）。四、综合应用题（示例）（1）单张人脸图像向量维度为(256\times256=65536)；（2）协方差矩阵(C=\frac{1}{100-1}(X-\bar{X})(X-\bar{X})^T)，其中(\bar{X})为平均脸向量；（3）降维后数据维度为(50\times100)。（注：完整试题答案及编程题代码解析可参考《线性代数