(完整版)八年级数学上册全等三角形知识点总结

(完整版)八年级数学上册全等三角形知识点总结全等三角形是八年级数学上册的重要内容，它是研究几何图形性质和证明线段、角相等关系的重要工具。以下是全等三角形的详细知识点总结。全等形是能够完全重合的两个图形，全等三角形则是能够完全重合的两个三角形。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。比如△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。通常对应顶点写在对应的位置上，这样方便准确找出对应边和对应角。全等三角形具有重要的性质。全等三角形的对应边相等，对应角相等。这一性质是解决很多与全等三角形相关问题的基础。例如，已知△ABC≌△DEF，那么AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。此外，全等三角形的周长相等，面积也相等。因为全等三角形的三条边都对应相等，所以它们的周长必然相等；又由于完全重合，所以它们所覆盖的区域大小一样，即面积相等。全等三角形的判定是这部分内容的重点。边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。用符号表示为：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF。这个判定方法的原理是三角形具有稳定性，当三角形的三条边长度确定时，三角形的形状和大小就唯一确定了。例如，在一个三角形钢架结构中，只要三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小就不会改变。边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。符号表示为：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF。需要注意的是，这里的角必须是两条对应边的夹角。比如，有两个三角形，一个三角形的两条边分别是3cm和4cm，夹角是60°，另一个三角形同样有两条边是3cm和4cm，夹角也是60°，那么这两个三角形全等。角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。符号表示为：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF。例如，已知两个三角形中，一个三角形的两个角分别是30°和50°，它们的夹边是5cm，另一个三角形对应的两个角也是30°和50°，夹边同样是5cm，那么这两个三角形全等。角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。符号表示为：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF。它可以由角边角推导得出，因为三角形的内角和是180°，已知两个角相等，那么第三个角也必然相等，就可以转化为角边角的情况。斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。符号表示为：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF。这是直角三角形特有的判定方法，因为直角三角形有一个直角是固定的，所以只需要斜边和一条直角边对应相等就可以判定全等。证明两个三角形全等有一定的思路和方法。首先要明确已知条件，包括题目中直接给出的和通过图形隐含的条件，如对顶角相等、公共边相等、公共角相等。然后根据已知条件选择合适的判定方法。如果已知两边，可考虑用SSS或SAS；如果已知两角，可考虑用ASA或AAS；如果已知一边一角，再根据角的位置和其他条件选择合适的判定方法。在证明过程中，要按照一定的逻辑顺序书写，先写已知条件，再根据判定定理得出结论。角的平分线是从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线。角平分线有重要的性质。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。用数学语言表示为：若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD=PE。其证明过程可以通过证明△OPD≌△OPE（AAS）得出。角平分线性质的逆定理是到角的两边距离相等的点在角的平分线上。用数学语言表示为：若PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。同样可以通过证明三角形全等（HL）来证明这个逆定理。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等。这是因为根据角平分线的性质，该点到每两条边的距离都相等，所以到三边的距离都相等。利用全等三角形可以解决很多实际问题，比如测量无法直接测量的距离。假设有一条河流，要测量河两岸A、B两点的距离。可以在河的一侧选取一点C，连接AC并延长到点D，使CD=AC；连接BC并延长到点E，使CE=BC，连接DE。因为△AB