专题35直线与双曲线的位置关系（12类必考点）-高二数学人教A版2019选择性

专题3.5直线与双曲线的位置关系TOC\o"13"\t"正文,1"\h【知识梳理】 1【考点1：判断直线与双曲线的位置关系】 4【考点2：求双曲线的切线方程】 6【考点3：由直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 9【考点4：求双曲线的弦长】 12【考点5：双曲线的中点弦问题】 17【考点6：求双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 21【考点7：求双曲线中的范围或最值问题】 26【考点8：双曲线中的定点问题】 33【考点9：双曲线中的定值问题】 40【考点10：

双曲线中的动点在定直线上问题】 48【考点11：

双曲线中的向量问题】 56【知识梳理】1．直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线的位置关系：(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件>0x③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件Δ>0x2．弦长问题②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.④双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.3．“中点弦问题”“设而不求”法解决中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.4．双曲线的第二定义平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.5．三角形的面积6．四边形的面积或其他多边形面积还有部分不规则的四边形或其他多边形面积问题,可以转化为三角形面积的倍数,再参照上述三角形面积的求法进行求解即可.7．求最值与范围问题的常用方法:（1）几何法:若题目利用圆锥曲线的定义转化之后或题目中给的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决(比如:两点间线段最短,或垂线段最短,或三角形的三边性质等)解题模板:第一步：根据圆锥曲线的定义或题目中给的条件和结论,把所求的最值或范围转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等;第二步：利用两点间线段最短,或垂线段最短,或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件,进而求出最值或范围.（2）代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、或利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解.解题模板:第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来;第二步：用基本不等式或求函数值域的方法求出最值或范围.8．涉及直线过定点的问题：9．圆锥曲线中定点问题的一般解题方法：①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点；②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x，y)＝0，,g(x，y)＝0))解得点的坐标即为定点．10．解决圆锥曲线中的定值的基本方法定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。【考点1：判断直线与双曲线的位置关系】【答案】B【分析】由双曲线与直线的位置关系判断即可.当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，故CD与双曲线只有一个交点错误；故选：B.A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定【答案】C故选：C【答案】0或1【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得已知直线与之重合或平行，即得结论.故答案为：0或1.【答案】0或1【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可.故答案为：0或1.【答案】2【分析】结合双曲线的顶点和渐近线及点位置，画出对应图形即可得.如下图所示，故共有两条直线满足要求.故答案为：2【考点2：求双曲线的切线方程】【分析】先将方程转化为函数形式，把方程有解的问题转化为函数图象有交点的问题，即等轴双曲线位于轴上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题.通过计算直线与双曲线相切时的值，再结合双曲线渐近线的知识，从而确定实数的取值范围.【分析】根据仿射变换可解.【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解【分析】（1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果；【详解】【考点3：由直线与双曲线的位置关系求参数或范围】【答案】C【分析】根据直线和双曲线有一个公共点，得到直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切，然后进行求解即可．则直线l不可能与双曲线相切，故选C．【点睛】本题主要考查直线和双曲线位置关系的应用，结合直线和双曲线只有一个公共点，转化为直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切是解决本题的关键．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算,即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.故选：C.【答案】D故选：D.【答案】D故选：D.【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与双曲线位置关系求参数，研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定，考查学生的计算能力，属于常考题型.【答案】A【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象可得出答案.所以直线与曲线的图象如图.故选:A.【考点4：求双曲线的弦长】【答案】4综上，这样的直线有4条.故答案为：4.【答案】【分析】由题意联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，根据弦长公式，建立方程求得斜率，求得交点坐标，从而求得线段长，可得答案.【详解】故答案为：.(1)求线段的中点坐标；(2)求.(2)3【分析】（1）由双曲线方程可得，进而得到直线方程，由韦达定理即可求得点坐标；（2）利用弦长公式可求得.直线方程与双曲线有两个不同的交点.（2）由（1）得(1)求的方程；(2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求.(2)(1)求的方程，并说明是什么曲线？【分析】（1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程，并说明曲线类型即可．（2）根据已知作图如下．【考点5：双曲线的中点弦问题】【答案】故答案为：.这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线．(1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求.(2)当直线的斜率为3时，求点坐标.【详解】（1）【考点6：求双曲线中的三角形（四边形）面积问题】【答案】B【详解】由对称性，不妨设点在第一象限，故选：BA．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值【答案】A故选：AA．16 B．32 C．36 D．64【答案】B当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立，故选：B(1)求的方程；(1)求的方程；【考点7：求双曲线中的范围或最值问题】【答案】2【分析】根据给定条件，求出双曲线的方程，设出点的坐标，再结合二次函数性质分段求解即得.【详解】求解双曲线的方程有两种方法：故答案为：2(1)求点M的轨迹方程C；(1)求双曲线的方程；点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，(1)求的方程；(2)（i）证明见解析；（ii）所以的最大值为．(1)求C的方程；（ⅰ）求证：直线过定点E；(2)（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）根据已知及双曲线的定义确定双曲线参数，即可得的轨迹；【考点8：双曲线中的定点问题】(1)求的方程；(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的概念和离心率的定义，求出双曲线参数，求出结果.（2）根据直线和双曲线的位置关系，以及韦达定理，证明直线过定点即可.（2）根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，(1)求的方程；(2)证明见解析此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系．(1)求的标准方程．(1)求双曲线C的方程；(2)证明见解析（2）如图，(1)求的标准方程；(3)证明见解析（2）利用点差法求直线的方程即可；【考点9：双曲线中的定值问题】(1)求双曲线E的方程；(2)证明见解析【分析】（1）将点的坐标代入方程计算即可.（2）如图：(1)求双曲线E的方程；(2)证明见解析即为定值．(1)求C的方程．【分析】（1）将点代入求参数即可；(1)求双曲线的离心率；【答案】(1)(2)证明见解析(1)求E的方程；(2)证明见解析（2）①根据对称性假设直线的斜率为0，则A，B分别为E的两个顶点，故无论的斜率为多少总能得到P，Q分别与A，B重合，②当直线，的斜率均不为0时，如图：因为A，P，C三点共线，【考点10：

双曲线中的动点在定直线上问题】解法二：利用阿基米德三角形的结论直接求解即可.不妨设在第一象限，在第四象限，(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上．(2)证明见解析(1)求的标准方程；(2)证明见解析【分析】（1）根据题中所给数据求解即可；（2）证明：由题意，直线的斜率存在，(1)求的方程；（ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上.(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析【分析】（1）根据圆过双曲线顶点求出，再由离心率即可得解；由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点，(1)求双曲线的焦距和离心率；(3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.【答案】(1)焦距4，离心率2(2)（2）先设