第20讲导数中的同构与放缩（学生版）

第20讲函数中的构造问题【基础回顾】一、构造函数的基础理论1.利用导数公式构造(4).常见函数的导数特征2.结构同构导数的同构其本质就是构造函数,构造形式大致可分为两类:（1）双变量轮换式构造（2）指对混合构造方法1：直接变形说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知.方法2：先凑再变形若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的有:二．切线放缩基础知识点1:重要的切线不等式由图像可以分析得到:说明:这4个不等式为切线放缩中较为重要的不等式,尽量掌握.知识点2:其他放缩不等式（作为了解即可）对数放缩放缩为一次函数放缩为双撇函数放缩为二次函数放缩为类反比例函数指数放缩放缩成一次函数放缩成类反比例函数放缩成二次函数三角函数放缩说明:对于上述表格内的放缩不等式,略作了解即可,不必完全掌握,针对较为复杂的放缩类型,并不是高考考察的内容,并且在解答题中,选择何种放缩类型,也基本都会在前一问中给提示,所以不必熟记.重要的是要学会放缩这种解题技巧和方法.题型一公式同构分为指数函数的构造，幂函数的构造，对数函数的构造以及三角函数的构造。【例题精讲】1．已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则下列正确的为（）A．f（﹣3）＜3f（1） B．f（﹣3）＞3f（1） C．f(−3)＜f(1)3 2．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）+2成立，则2f（ln2）与f（2ln2）﹣2的大小关系为（）A．2f（ln2）＞f（2ln2）﹣2 B．2f（ln2）＜f（2ln2）﹣2 C．2f（ln2）＝f（2ln2）﹣2 D．无法比较大小3．已知定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若xf′（x）+2f（x）＜0，则不等式f（x+2）﹣x2f（x2+2x）＜0的解集为（）A．（0，1） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）4．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＞f'（x）+1，f（0）＝3，则不等式f（x）＞2ex+1的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）5．已知函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且f′(x)+f(x)x−1＞0，则f（2﹣x）＝f（x）e2x﹣2，不等式A．（0，e2） B．（1，e2） C．（e，e2） D．（e2，+∞）题型二轮换式同构同构原则：物以类聚。【例题精讲】1．若对任意的x1，x2∈（m，+∞），且当x1＜x2时，都有lnx1−lnA．e B．13 C．3 D．2．已知函数f(x)=ex−12x2−(1+a)x，若对任意两个不相等的实数x1A．12 B．1 C．2 3．已知函数f(x)=alnx+12x2，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞）4．若对任意的x1，x2∈（1，3]，当x1＜x2时，x1−xA．[3，+∞） B．（3，+∞） C．[6，+∞） D．（6，+∞）题型三指对同构及切线放缩同构原则：指对分离，物以类聚，取啥补啥，多啥除啥。【例题精讲】1．已知正实数a，b满足lna+a＝2025和b（lnb﹣2）＝e2027，则ab的值为（）A．e4052 B．e2 C．e2027 D．e20252．已知a＝e0.05，b＝ln1.05+1，c=20A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c3．已知当x＞0时，xex﹣2x≥a+2lnx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2+2ln2] C．（﹣∞，2ln2] D．（﹣∞，2﹣2ln2]4．已知f（x）＝memx﹣lnx（m≥0），若f（x）有两个零点，则实数m的取值范围为（）A．(0，1e) B．(0，1e25．若x＞0时，2mx﹣xe2x+mlnx⩽0，则实数m的最大值为（）A．1e B．1 C．2 D．6．设实数a＞0，对任意实数x＞0，若不等式12eaxA．[12e，+∞) B．[2e，+∞)（多选）7．若不等式xex+x+lnx＞ln（ax）+ax恒成立，则实数a的取值可能是（）A．12 B．1e C．2 课时精练一．选择题（共12小题）1．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，满足xf′（x）﹣2f（x）＜0，且f（3）＝9，则不等式f（3x）﹣9x＜0的解集是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）2．若a=ln2A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a3．已知a=e2ln3，b＝ee﹣1A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．已知实数x，y满足yeA．x＜y B．2x＜y C．x＜2y D．x＞2y5．已知f′（x）﹣f（x）＞0在R上恒成立，且f（0）＝1，则不等式e﹣xf（x）＞1的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，+∞）6．已知函数f(x)=alnx+12x2，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞）7．已知a＝e0.02，b=50A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c8．已知a＝e0.1﹣1，b=19，c＝A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b9．f（x）是定义在x≠0上的偶函数，f′（x）为其导函数且f（﹣1）＝0，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）10．设函数f（x）是R上可导的偶函数，且f（3）＝2，当x＞0，满足2f（x）+xf′（x）＞0，则x2f（x）＜18的解集为（）A．（﹣∞，3） B．（﹣3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）11．已知实数x，y满足lny=e2xyA．1e2 B．1e C．e 12．若函数f（x）在R上可导，且f（x）＞f′（x），则当a＞b时，下列不等式成立的是（）A．eaf（a）＞ebf（b） B．ebf（a）＞eaf（b） C．ebf（b）＞eaf（a） D．eaf（b）＞ebf（a）二．填空题（共7小题）13．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′（﹣x）＞2f（x），且f（1）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为．14．若存在正实数x，使得不等式1alnx≥3axln3（a＞0）成立（e是自然对数的底数），则a的最大值为15．已知函数f（x）＝lnx﹣aeax，若对任意的x⩾1e，f(x)⩽0成立，则正数a16．已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且f′（x）+f（x）＜0，则不等式e2x+2f（x+2）＜f（﹣x）的解集为．17．若关于x的不等式axex﹣x﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为．18．已知函数f（x）＝