拓展05圆锥曲线中的定值定点定直线问题（期中复习讲义核心7大题型）高二数学上学期人教版A版

专题05圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律定值问题掌握常见斜率、线段等定值问题.重难必考点，常出现在大题定点问题掌握直线过定点问题的一般处理办法.重难必考点，常出现在小题定直线问题高频易错点，无法消参得到所求直线知识点01定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量选择适当的量为变量．（2）函数把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：知识点02数轴、相反数、绝对值定点问题1、定点问题（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；知识点03定直线问题1、定值问题一般解题步骤：②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．③参数无关找定点：找到和没有关系的点．定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.【一般策略】①联立方程消去参；②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；④设点，对方程变形解得定直线.目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况：题型一面积定值【答案】证明见解析(1)求双曲线的方程；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程.（2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即得.(1)求椭圆的标准方程；(2)是定值1，理由见解析【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中三角形面积为定值问题，一般设出交点坐标，直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，并把此结论代入题设条件得出参数关系，由弦长公式求得弦长，由点到直线距离公式求高，计算三角形面积，并根据参数关系化简得结论．【答案】(1)0(2)证明见解析解法4：先证明下面三角形的面积公式．【点睛】关键点点睛：（1）求二次曲线的切线时可求导得出斜率；（2）证明三角形面积为定值时，可尝试用最基础的底乘高除以或拼接三角形面积.题型二斜率的和差积商定值(1)求的方程；【分析】（1）利用相关点法直接求轨迹方程；（2）(1)求椭圆的标准方程；(2)证明见解析所以当在短轴端点时面积最大，（2）(1)求抛物线的方程；(2)设直线，与抛物线的另一个交点分别为点，，记直线，的斜率分别为，，求的值．(2)2【分析】（1）首先求出点坐标，再根据抛物线的定义得到方程，求出的值，即可得解；(1)求的方程；(2)证明见解析设和的中点分别为，，(1)求双曲线的方程．(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．题型三线段定值(1)求C的方程；(1)求椭圆的离心率；【答案】(1)(3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆方程，直接求离心率；（2）首先利用垂直关系，先求点的坐标，再求点的坐标；(1)求的方程和双曲线的渐近线方程；(2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；(2)证明见解析(3)是，．【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解；(1)求双曲线的方程；(2)(3)证明见解析(1)求的标准方程；【分析】（1）利用椭圆长轴长和离心率概念，即可列式求解；题型四角度定值(1)求椭圆的标准方程；(2)证明见解析.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理得证.(1)求抛物线的方程；(2)证明见解析【分析】（1）利用点到圆上点的最大距离为2，求出，可得答案；(1)求E的方程；(3)证明见详解【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果；(1)求双曲线的标准方程；(3)证明见解析【详解】（1）（2）题型五定点问题(1)求点到的焦点之间的距离；(2)证明：直线过定点．【答案】(1)2(2)证明见详解（2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)证明见解析【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(1)求双曲线的方程；（2）如图：【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为）；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.(1)求的标准方程；(3)在第（2）问的基础上证明：直线过定点．(3)证明见解析【分析】（1）根据离心率及长轴长列式计算求参得出标准方程；（2）先应用正弦定理结合点到直线距离得出斜率积为定值；（3）设直线联立方程组应用根与系数关系计算斜率积为1计算求参.【详解】（1）设焦距为2c，又直线，的斜率分别为，，则到这两条直线的距离相等，(1)求C的方程；(3)不经过点A的直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且以为直径的圆过点A，试证明直线l过一定点，并求出此定点；【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得方程；（2）根据韦达定理和弦长公式可得；（3）根据条件找到直线的斜率和截距之间的关系，进而确定直线过定点.(1)求双曲线E的标准方程；(2)证明见解析（2）①当直线的斜率不存在时，题型六定点中的探索性问题(1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程；(2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.（2）(1)求的方程；【分析】（1）根据椭圆的定义判断点C的轨迹为椭圆，进而求出椭圆方程；当直线的斜率存在时，(1)求的方程；(2)过点作一条直线，交于，两点，试问在准线上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得抛物线的方程.【详解】（1）依题意，为的准线上的一点，线段长度的最小值为，若“直线与的斜率之和等于直线斜率的平方”，(1)求的方程；(2)2【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，(1)求双曲线的标准方程；【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离列方程，求解即可；（2）题型七定直线问题(1)求抛物线的方程.(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由为的中点，分别表示出，，的坐标，再利用抛物线的定义表示出即可求出的值，从而得到抛物线的方程；(1)设点的轨迹为，求曲线的方程；(2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上．(2)证明见解析.【分析】（1）利用斜率之积即可求动点轨迹方程；（2）利用直线与椭圆联立方程组，即可求中点坐标，从而可证明在直线上.（2）(1)求双曲线的方程；（ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上.（2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案.（2）(1)求抛物线的标准方程；(3)证明：直线与直线的交点在定直线上.(2)32；(3)证明见解析.（2）当直线的斜率为0时，不符合题意，(1)求双曲线的方程；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程；若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意，由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点，(1)求椭圆C的标准方程；(3)点N不在定直线上【分析】（1）根据椭圆的性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程.（3）首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上.综上可得，动点不在定直线上.期中基础通关练（测试时间：120分钟）(1)求p的值：因为直线l1与圆相切，(1)求椭圆的方程与焦距．(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件求得，，，从而求得椭圆的方程与焦距；(1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标；(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上.(2)证明见解析.【分析】（1）求出焦点的坐标，再联立直线与抛物线方程求出值即可得解.(1)求双曲线的方程；【分析】（1）由直线倾斜角可得其斜率，根据焦距以及渐近线的斜率，建立方程，可得答案；（2）设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意猜想定点的位置，设出坐标，建立等式检验，可得答案.（2）如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称，猜想：定点在轴上．(1)求椭圆的标准方程；(2)证明见解析【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程即可求出，得到椭圆方程；(1)求椭圆的方程；(2)证明见解析(1)求曲线的方程；(2)证明见解析【分析】（1）先由抛物线定义确定轨迹类型，后求出标准方程即可.（2）将角度问题转化为倾斜角问题，再转化为斜率问题证明即可.故可知动点的轨迹是抛物线，（2）因为A，B是C上关于坐标原点O对称的两点，且直线AP与直线BP的斜率存在，所以直线AP与直线BP的斜率均不为0，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值.(1)写出椭圆的标准方程和离心率；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知求出椭圆参数，即可得椭圆方程；（3）由题意，点为直线过点的垂线与直线过点的垂线的交点，(1)求椭圆的方程；【分析】（1）由右顶点及离心率可得a，c，然后可得椭圆方程.(1)求双曲线C的方程；①求m的取值范围；②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案；（2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案；②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案.（2）(1)求C的标准方程；【分析】（1）根据的关系以及双曲线过的顶点列方程组，求出的值即可；（2）(1)求动点的轨迹的方程.①求证：直线过定点；(1)求双曲线的标准方程；(2)证明见解析.【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可.(1)求曲线的方程；(2)(3)是定值，定值为所以直线的斜率为；(1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．(2)证明：直线经过定点．【答案】(1)是，2(2)证明见解析理由如下：如图，所以点为线段OD的中点，期中重难突破练（测试时间：120分钟）(1)求椭圆C的标准方程；(2)证明见解析【点睛】圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的.(1)求的方程；(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解，因为与相切，【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.(1)求的方程；(2)（ⅰ），（ⅱ）证明见解析【分析】（1）根据椭圆的性质，结合面积公式以及斜率公式联立方程求解即可，（2）对讨论，联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据模长公式代入求解（ⅰ），根据韦达定理以及两点斜率公式，代入化简即可求解（ⅱ）.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.(2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，．【分析】（1）利用韦达定理和弦长公式列方程可得；(1)求的方程；(2)8；（2）联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理以及过抛物线焦点的弦长公式即可求解；【点睛】方法点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.(1)求椭圆的标准方程；【分析】（1）根据已知求出即得椭圆的标准方程；【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.(1)求椭圆E的方程；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可求得椭圆E的方程；(1)求的方程．若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上.(1)求轨迹的方程；【分析】（1）借助椭圆定义计算即可得解；（2）(1)求椭圆的标准方程；(2)；(3)证明见解析.（2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解；(1)求的值；(2)证明见解析【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线交点的相关问题时，常常利用设而不求的思想，联立直线与曲线方程，结合韦达定理进行求解.(1)求点轨迹方程.(2)是定值，.(1)求的方程；(2)证明见解析因为直线为抛物线的准线，直线为圆的切线，(1)求双曲线的方程；(2)证明见解析（2）证明：如图所示：(1)求的方程；②证明：直线过线段的中点.(2)①证明见解析；②证明见解析【详解】（1）根据题意作图如下：（2）根据题意作图如下：综上，直线过线段的中点.(1)求双曲线的方程；(2)144【分析】（1）根据顶点坐标和斜率可得方程；（3）设出的方程，结合垂直关系，得出过定点，进而可证结论.又因为过斜率为的直线与双曲线只有点这一个交点，【点睛】关键点