第4章指数与对数（举一反三讲义培优篇）数学苏教版

第4章指数与对数（举一反三讲义·培优篇）【苏教版】题型1题型1指数幂的化简、求值1．（2425高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（

）A．m4·mC．−2xy3=−6x【答案】D【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解．【解答过程】对于A，m4对于B，m4对于C，−2xy3对于D，−ab故选：D．2．（2425高一上·四川德阳·阶段练习）1.5−13A．110 B．109 C．108 D．100【答案】A【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化结合指数幂运算性质求解即可.【解答过程】由题意可得：原式=3故选：A.3．（2425高一上·陕西咸阳·阶段练习）12+1+【答案】2【解题思路】根据指数幂运算求解即可.【解答过程】原式=2故答案为：2+14．（2425高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：2×3（2）已知x12+【答案】（1）212；（2）7.【解题思路】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.（2）将x1【解答过程】（1）2×=2×=2×=2×=212.（2）因为x12+即x+x−1+2=95．（2425高一上·天津南开·期中）计算：(1)−1.80(2)若a=27，b=16，求−2ab【答案】(1)19(2)6【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；（2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可.【解答过程】（1）原式=1+=1+=1+4（2）原式==4a因为a=27，b=16，所以原式=4×27题型2题型2指数式的给条件求值问题1．（2425高一上·江苏南京·期中）已知a12−a−A．35 B．±35 C．215【答案】C【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得.【解答过程】由a12−a−故a1故a−故a2故选：C.2．（2425高三上·广东江门·阶段练习）若2m=5，4n=3，则A．0.9 B．1.08 C．2 D．4【答案】B【解题思路】根据题意结合指数幂运算求解.【解答过程】因为2m=5，4n故选：B.3．（2425高一上·江苏南京·期中）设a>0，若a−1a=5，则a【答案】3【解题思路】根据a+1a2,【解答过程】因为a+所以a+又a+1a故答案为：3.4．（2425高一上·全国·课后作业）（1）已知2a=4，求（2）已知a2+a−1=0，求【答案】（1）−22【解题思路】（1）由2a=4得（2）根据分数指数幂的运算性质求解即可.【解答过程】（1）由2a=4，得则4a（2）因为a2+a−1=0，则则a25．（2425高一上·江苏南通·阶段练习）已知x−x(1)x2(2)x+【答案】(1)4(2)2【解题思路】（1）将原式平方后可得x2+x（2）结合（1）中的结果配方可得x1【解答过程】（1）因为x−x−1=2故x2+x−2+2=16故x2（2）由（1）可得x+x−1=4故x12+题型3题型3指数幂等式的证明1．（2025·广东珠海·模拟预测）已知a>0且a≠1，下列等式正确的是（

）A．a−2⋅aC．a6+a【答案】D【解题思路】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.【解答过程】A选项，a>0且a≠1，故a−2B选项，a>0且a≠1，故a6C选项，a6D选项，a>0且a≠1，故a−故选：D.2．（2425高一上·广西桂林·期末）设a>0，则下列等式恒成立的是（

）A．am+aC．amn=【答案】D【解题思路】A可举出反例，BCD由指数幂的运算法则判断即可.【解答过程】由指数幂运算法则可知：am⋅a当a=m=n=1时，am+a故选：D.3．（2025高三·全国·专题练习）设a,b,c都是正数，且3a=2【答案】证明见解析【解题思路】令3a=2b=6c=tt>0【解答过程】令3a=2b=6c很显然有t1a⋅4．（2025高一·全国·专题练习）已知6|m|3k2+2−m2【答案】证明见解析【解题思路】由6|m|3k2+2−m22+3【解答过程】证明：∵6|m|∴2|m|3k2+2−m两边平方可得：4m化为3k∴3k5．（2425高一上·全国·课后作业）已知2a⋅3【答案】证明见解析【解题思路】将题设中的等式化为2a−1⋅3【解答过程】证明：因为2a故2a−1所以2a−1所以2a−1故2a−1a−11−d故a−1d−1题型4题型4带附加条件的指、对数问题1．（2425高二下·山东日照·期末）若logam=2，b3=m，则A．16 B．C．56 D．【答案】C【解题思路】先根据指数式和对数式互换得出logb【解答过程】由b3=m可得：则log===5故选：C.2．（2425高一下·湖南长沙·期末）已知a=log52,2bA．1a+b B．1b+a C．【答案】A【解题思路】先利用对数的换底公式得1a=log【解答过程】由题意有a=log52=所以log2故选：A.3．（2526高一上·全国·单元测试）已知a=log327−7log【答案】2【解题思路】先应用对数运算律对a,b,c化简，再求解．【解答过程】依题意，a=1c=322故答案为：234．（2425高一下·江苏扬州·阶段练习）计算：(1)lg25+(2)已知log23=a,3b=7【答案】(1)3(2)ab+3【解题思路】（1）利用对数法则计算出答案；（2）指数式化为对数式，换底公式得到1a【解答过程】（1）原式=2=2+lg（2）由3b=7，得b=log37log1256=log3565．（2425高一上·河南开封·期末）求满足下列条件的各式的值：(1)若10m=4，10n(2)若xlog32=1【答案】(1)2(2)9【解题思路】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解.（2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解.【解答过程】（1）由10m=4，10n所以m+2n=2.（2）由xlog32=1所以4x题型5题型5运用换底公式证明恒等式1．（2425高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：2x=3【答案】证明见详解【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.【解答过程】设2x=3则x=log2a,y=所以2x2．（2425高一·上海·课堂例题）设a,b,c,d均为正数，且a,c均不为1.求证：loga【答案】证明见解析【解题思路】运用换底公式证明即可.【解答过程】由题意，根据换底公式，loga3．（2425高一上·全国·课后作业）设xa=yb=zc，其中x，y，z均大于0【答案】证明见解析【解题思路】令xa=yb=zc=k，k>0且k≠1，即可表示出【解答过程】依题意a、b、c均不为0，令xa=yb=则a=logxk，b=因为1a+1即logk所以logkxy=4．（2425高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1，(1)求证：loga(2)设a1，a2，⋯，ai为正实数且ai≠1【答案】(1)证明见解析；(2)推广：loga【解题思路】（1）利用换底公式通过计算证明；（2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明．【解答过程】（1）loga（2）推广：log证明：loga5．（2425高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式logaN=b⇔a（2）利用（1）中的换底公式求值：log2（3）利用（1）中的换底公式证明：loga【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析；【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可；（2）利用换底公式证明即可；（3）利用换底公式证明即可.【解答过程】解答：（1）证明：设ab=N，则logm又b=logaN（2）解：log2（3）证明：loga所以loga题型6题型6对数的实际应用1．（2025·陕西·模拟预测）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知M（里氏震级）的计算公式为M=lgA−lgA0（其中A是被测地震最大振幅，常数AA．1.8 B．18 C．63 D．128【答案】C【解题思路】根据题意可得A=A0⋅10M【解答过程】由M=lgA−lgA0当M=6.8时，地震最大振幅为A1当M=5时，地震最大振幅为A2则A1故选：C.2．（2425高一上·江苏南通·期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：v=wln1+Mm，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M=3m时，v=5.544千米／秒.在保持w不变的情况下，若m=20吨，假设要使v达到8千米/秒，则M大约为（A．98吨 B．108吨 C．118吨 D．128吨【答案】D【解题思路】根据所给条件先求出w，再由v=8千米/秒列方程求解即可.【解答过程】因为当M=3m时，v=5.544，所以w=5.544由y=wln得ln1+所以1+M解得M=127.78≈128（吨），即M至少约为128吨.故选：D.3．（2425高一下·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏8级地震，2019年乙地发生里氏6级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1【答案】1000【解题思路】根据指数、对数运算求得正确答案.【解答过程】依题意，lgE=4.8+1.5M,E=所以E1故答案为：1000.4．（2425高一上·全国·课后作业）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M【答案】32倍【解析】根据题意,结合对数的运算性质,结合指数与对数的转化,可求得E1【解答过程】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E由lgE=4.8+1.5M,可得lgE1于是,lgE1E则E1利用计算工具可得,E1虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.5．（2425高一·江苏·课后作业）（阅读题）对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过对数转换，可以简化运算过程.例如，1，10，100，1000，10000，…成10倍增长，取常用对数后就变为0，1，2，3，4，…我们再来看物理学中的一个例子.声强是表示声波强度的物理量，可用公式I=12ρvA2ω表示，其中v表示声速，ω和A分别是声波的频率和振幅，ρ是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级L=lgII0.通常规定I0=10−20w/m2【答案】20【解题思路】由对数的运算求解即可.【解答过程】当被测量的声强I为声强I0的100倍时，I∴L=10×lg∴当被测量的声强I为声强I0的100倍时，声强级L为20分贝题型7题型7指数、对数中的新定义1．（2425高一上·河南·阶段练习）数学上用“∏”表示连乘运算，例如：n=1100n=1×2×3×⋯×99×100.设函数fx=logx+1x+2，记S=n=1mA．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解题思路】根据已知条件求得的表达式fx=log【解答过程】∵fx∴S=n=1∴4S∴4S>100，即解得m>8或m<−12，又∵m∈N*，所以使4S故选：B.2．（2425高一上·江苏扬州·阶段练习）当把一个任意正实数N表示成N=a×10n1≤a<10,n∈Z的时候，就可以得出正实数N的位数是n+1，如：235=2.35×102，则235是一个3位数．利用上述方法，判断12A．32 B．33 C．34 D．35【答案】B【解题思路】设1230=a×10n1≤a<10,n∈【解答过程】设1230=a×又因为lg12所以32.373=n+lga，即因为1≤a<10，所以0≤lga<1，所以解得：31.373<n≤32.373，因为n∈Z，故n=32，所以1230的位数是32+1=33故选：B.3．（2425高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：a↑b=a⋅a⋅a⋅⋯⋅ab个a=ab,a↑↑b=a↑a↑a↑…↑ab个A．102025 B．102055 C．102105【答案】C【解题思路】先得到5↑↑3=53125，利用对数运算法则计算出【解答过程】5↑↑3=5则lg≈3125×0.7−82=2105.5，所以5↑↑3T故选：C．4．（2425高三下·上海宝山·阶段练习）对于两个均不等于1的正数m、n，定义：m∗n=logmn,m≥nlognm,m<n．设a、b、c均为小于1的正数，且ab=c，则【答案】1【解题思路】根据条件得出a,b与c的大小关系，进而根据新定义把式子转化为对数的运算，再按照对数运算性质求值．【解答过程】由0<a,b,c<1且ab=c，得0<c<a<1，0<c<b<1，根据新定义，得(a∗c)−1+(b∗c)故答案为：1.5．（2425高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发