2025~2026学年上海市彭浦中学高三上学期期中数学试卷

2025~2026学年上海市彭浦中学高三上学期期中数学试卷一、填空题(★★)1.已知集合，集合，则____.(★★)2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_________.(★)3.已知函数，则______．(★)4.正实数a、b，若a与b的几何平均值为2，那么a与4b的算术平均值的最小值为________．(★★)5.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______(★★★)6.设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________.(★★★)7.将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.(★)8.设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______．(★★)9.设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则_____.(★★★)10.已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________．(★★★)11.公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．(★★★★)12.平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是______.二、单选题(★★)13.已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．(★★★)14.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）.

A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则(★★)15.已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★★)16.关于函数有下述四个结论：①是偶函数②的最大值为2③在有4个零点④在区间单调递减其中所有正确结论的编号是（）

A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③三、解答题(★★★)17.已知，.(1)若函数的最小正周期为，求的值；(2)当时，求函数在上的值域.(★★)18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.(1)求证:平面；(2)求三棱锥的体积.(★★★)19.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?（2）设每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?(★★★★)20.已知圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为.（1）求的值和椭圆C的方程；（2）过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点.①若，求直线的方程；②设直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，问：是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.(★★★)21.已知函