2025~2026学年北京市京源学校远洋分校高二上学期期中联考数学试卷

2025~2026学年北京市京源学校远洋分校高二上学期期中联考数学试卷一、单选题(★)1.已知向量，则（）

A．B．C．D．(★★)2.已知向量，若，则（）

A．B．C．6D．(★★)3.以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于

A．B．C．D．(★★)4.在空间直角坐标系中，已知点，则异面直线与所成角的大小是（）

A．B．C．D．(★)5.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若，则的坐标是（）

A．B．C．D．(★★)6.设是两个不同平面，且直线与平面垂直，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★)7.四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，，平面平面，则二面角的平面角是（）

A．B．C．D．(★★)8.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（）

A．B．C．D．1(★★★)9.为检验某数学模型预测空气质量的准确程度，数学建模小组用记录2025年3月份31天中每天空气质量是否为优，方法为：当第天空气质量为优，记，当第天空气质量不为优，记；用记录某数学模型预测该月每天空气质量是否为优，方法为：当第天空气质量为优，记，当第天空气质量不为优，记；记录完毕后，数学建模小组计算出，其中，，那么该数学模型预测准确的总天数是（）

A．24B．25C．26D．27(★★★)10.在空间直角坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴，轴上移动．若该正四面体的棱长是，则的取值范围是()．

A．B．C．D．二、填空题(★★)11.已知半径为的球的表面积为，那么半径为的球的表面积为___________．(★★★★)12.已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是___________．(★★★)13.在正三棱柱中，，是棱上一点，则直线与平面所成角的大小为___________；三棱锥的体积为___________．(★★★★)14.如图，某一个自行车停放时，车体由尺寸相同的前后轮和脚撑来支撑，前后轮的轴中心分别为，，与地面接触点分别为，，脚撑一端固定在后轮轴中心处，另一端与地面接触于点，若，两点间距离为110厘米，车轮外径（直径）为66厘米，脚撑长度等于车轮半径，，则平面与平面___________垂直（填“是”或者“不”），后车轮所在平面与地面的夹角（即二面角）的余弦值为___________．(★★★★)15.如图，正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，点分别在正方形和正方形内部（不含边界）．设，给出下列四个结论：①存在点，，使；②对于任意点，，直线与不垂直；③对于任意点，，直线与所成角不可能是；④若，则四面体体积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题(★★★)16.如图，直三棱柱中，，是棱的中点，．(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．(★★★)17.如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点．(1)求证：平面；(2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明．(★★★)18.如图，在四棱锥中，平面，．为棱上一点，，平面与棱交于点．(1)求证：为的中点；(2)求证：平面平面；(3)若，求二面角的余弦值．(★★★)19.如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，.点在棱上，且平面，是中点．(1)求证：；(2)求的值；(3)设平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值．(★★★★)20.羡除是中国古代数学书中提到的一种几何体．《九章算术》中有记载“羡除，隧道也．其所穿地，上平下斜”，羡除是有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体．如图，在羡除ABCDEF中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，且为中点，平面与平面交于．(1)求证：平面平面；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使羡除存在，求：（i）点到平面的距离；（ii）若是线段上一动点，当直线与平面所成角最大时，求的值．条件①：；条件②：；条件③：平面平面．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(★★★★)21.设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；．若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集．(1)当时，已知集