湖南省郴州市2026届高三第一次教学质量监测数学试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省郴州市2026届高三第一次教学质量监测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x∣−1A．−1,2 B．0,2 2．复数z=4+A．−4i B．−4 C．23．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a7=A．19 B．29 C．30 D．314．已知随机变量ξ~N2,σ2，且A．5 B．112 C．203 5．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（

）A．35种 B．70种 C．140种 D．210种6．已知点M1,−2，点P在抛物线y2=12x上运动，点A．2 B．3 C．4 D．57．函数fx对∀x∈R,A．若x∈0,3B．fxC．fx的图象关于−D．f8．设a=150，b=2lnsin1100+cosA．a<b<C．b<c<二、多选题9．已知函数fx=sinA．fxB．fx在−C．fx在0D．把fx的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象关于10．下列说法正确的是（

）A．若事件C,D满足PC,PB．数据2,C．已知随机变量X∼BD．回归分析中，决定系数R211．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1DA．当M在线段C1DB．当M为正方形CDD1C1的中心时，C．若点M满足C1M=1D．直线MN和MB与平面CD三、填空题12．已知向量a=t,2,b=3,−113．在(3−x)n的展开式中，若x214．已知实数x>1，不等式ex2a四、解答题15．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a(1)求角A的大小；(2)求a及△ABC16．湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作A,B,C三幅不同的湘绣作品，已知A,(1)求A,(2)若已知A,B,(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，A,B,C三幅作品成为成品作品的件数为X.求随机变量17．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，满足AD⊥AB，BC∥(1)证明：EF∥平面A(2)求平面AEF与平面(3)设点M为三棱锥P−AB18．已知双曲线C:x2a2−y2b(1)求双曲线C的标准方程；(2)过左焦点F的直线l交双曲线C左右两支于N,M两点（点M位于第一象限），直线AM与B（i）求证：点T在定直线上；（ii）求证：射线FT平分∠19．已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若不等式fx≤0在x(3)当a=1时，定义数列bn（i）证明：1b（ii）结合（i）的结论，证明：12答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖南省郴州市2026届高三第一次教学质量监测数学试卷》参考答案题号12345678910答案DBADBBCDACDAD题号11答案ACD1．D【分析】由集合的交集运算求解．【详解】B=则A∩故选：D2．B【分析】根据复数的除法运算求解z，进而求解其虚部即可.【详解】由z=4+2i故选：B3．A【分析】设等差数列an的公差为d，由条件结合等差数列通项公式和前n项和公式可得a1+4d=9，a【详解】设等差数列an的公差为d，则an=所以a3=a1+因为a3+a所以a1+2化简可得a1+4所以a1=1所以a10故选：A.4．D【分析】根据正态分布的对称性求得a，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得a+1=1≥1当且仅当3−xx故选：D5．B【分析】分两步完成，先分跳箱、再分药球，确定每一步的分法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】分以下两步：（1）先分跳箱：6个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为1、2、3或2、2、2或4、1、1，所以，跳箱的分法种数为1+（2）接下来分药球：将3个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为1、1、1或2、1、0，所以，药球的分法种数为1+由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为10×故选：B.6．B【分析】先判断M1,−2在抛物线y2=12x里面，然后PQ的最小值为PC2【详解】把x=1代入y2所以点M1,−圆(x−3因为PQ的最小值为PC2−1过点P作抛物线准线x=−3则根据抛物线的定义得PC所以PM+P当M,P,P1故PM+P故选：B7．C【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得：f−对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；对于C选项，通过奇偶性可得函数关于6,对于D选项，利用函数周期性可得：f2025=f9，再根据【详解】对于A选项，已知fx+6令x=−2又fx+2=f因此可得：f8对于B选项，已知fx+6又fx+2由此可得：fx=因此可得：fx的周期为12对于C选项：已知fx+6因此可得：函数fx关于6,0中心对称，又函数f所以fx关于−对于D选项：已知函数fx的周期为12，则有f又f−x+6=因此可得：f2025=−故选：C8．D【分析】由于a=lne150=lne0.02，b【详解】因为a=lne150所以只要比较x=令f(x)=ex−所以f(x)所以e0.02>1令g(x)=因为g″(x)在所以当x>0时，所以g′(x因为g′(0要比较1.21.2与e0.2的大小，只要比较ln1.2令h(x)所以h(x)所以当x∈(0,+所以1.21.2>e0.2所以当x∈(0所以g(x)所以g(x)所以(1+0.02)1.2所以c>故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题9．ACD【分析】根据诱导公式化简可得fx=2【详解】函数f=sin选项A：fx当2x+π3=2kπ+选项B：x∈−π因为函数y=sinx在π所以函数fx=2sin2选项C：x∈0,π时，π3即x=π3以及x=5选项D：fx的图象向左平移π12个单位长度，得到函数gx=2g−x=2cos故选：ACD．10．AD【分析】对于A选项，直接根据条件概率公式和独立事件的定义即可判断；对于B选项，根据百分位数的定义进行求解即可；对于C选项，根据二项分布的方差计算公式及方差的运算性质进行求解即可；对于D选项，根据决定系数R2【详解】对于A选项，已知PD|C可得：PCDP因此可得：事件C与事件D相互独立，故A选项正确；对于B选项，将数据由小到大排列：2,3,由12×75%=9对于C选项，已知X∼B10又Y=2X对于D选项，决定系数R2故选：AD11．ACD【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、对于A选项，如下图所示：则A11,0,1、C0设DM=λDC所以A1C=所以A1C⋅对于B选项，当M为正方形CDD1C1BM=−所以cosB故sinB故当M为正方形CDD1C1的中心时，直线B对于C选项，如下图所示：设平面A1BM交棱C因为平面ABB1A1//平面平面A1BM∩平面故平面A1BM又因为C1M//因为∠EC1M=易知点M0,1,2所以点M到直线A1B的距离为所以截面面积为S=对于D选项，设点M0,y,z易知平面CDD1由题意可得cosMN,即1214故当直线MN和MB与平面CD故选：ACD.12．3【分析】直接根据向量的模长公式积及夹角公式求解t即可.【详解】已知a=t,2，设向量a与b的夹角为θ当t=−3时，a可得：cosθ=a⃗⋅当t=3时，a=可得：cosθ=a⃗⋅故答案为：313．6【分析】利用二项式的展开式求得：an=n【详解】由二项式的展开式的通项公式可得第Tr令r=2，可得：x2所以an则3n则3a故答案为：614．e【分析】将题干条件整理变形，可得ex−ln(2a)+x−ln【详解】由ex2a即ex所以ex设f(t)所以f(t)又ex所以x−ln(设g(所以g′所以当x∈(1,2当x∈2,+∞所以g(所以ln(2a)≤2=故答案为：e15．(1)A(2)a【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换进行求解；（2）由余弦定理及三角形的面积公式求解．【详解】（1）由正弦定理得：sin∵sinsinA消去sinAcosC∵0<C<π由辅助角公式得：sinA又0<A<π，则A−（2）由题意得：2A平方得：4AD2解得b=1(由余弦定理得：a∴△AB16．(1)3(2)1(3)分布列见解析，37【分析】（1）由概率乘法公式进行求解；（2）由条件概率公式求解；（3）记A,B,C三幅作品成为成品的事件分别为E,F,【详解】（1）记A,B,C三幅作品通过设计图案环节分别为事件A,则P(（2）PA（3）记A,B,则PE由X可取0,则PXPXPXPX则X的分布列为X0123P1319373则数学期望EX17．(1)证明见解析(2)3(3)3【分析】（1）方法一，由线面平行的判定定理进行求证，方法二，由面面平行的判定定理进行求证；（2）求出平面AEF与平面（3）三棱锥P−ABD的内切球球心为I，半径为r，由等体积法可求出r=23【详解】（1）方法一：证明：连接BD∵E是PB中点，F是∴EF是△PBD的中位线，故E又BD⊂平面AB根据线面平行的判定定理，可得EF∥平面A方法二：证明：取PA的中点G，连接E∵E是PB中点，G是PA中点，∴EG又EG⊄平面ABCD,AB⊂同理可证FG∥平面A又EG∩FG=G,EG∵EF⊂平面EFG（2）以A为原点，AB､AD､APAE=1,0则n1令z1=PC=2,1则n2令x2=设平面AEF与平面PCcos故平面AEF与平面PC（3）三棱锥P−ABD的内切球球心为三棱锥P−AB则S=由等体积法可知：13⋅S由题意S△AB则AI=3−33,而EF=2因此三棱锥M−AE18．(1)x(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得b=3，再求（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，可得my（i）求直线AN,BN的方程，由此可得（ii）由（i）求T的坐标，求tan∠MFB，tan∠【详解】（1）由题意，设左焦点F的坐标为-c双曲线C的渐近线方程为：bx±a左焦点F到其中一条渐近线的距离为b·-c又因为2a=2故双曲线C的标准方程为x2（2）由题知F−因为直线l过F-2,0，M，点M在第一象限，故直线设直线l的方程为x=my则x=方程3m2−由已知y1,y所以y1+（i）证明：因为直线AM的方程为y=y1联立可得y∴x则x=−12，即（ii）证明：由（i）知T−12tan则tan即tan∠MFB=19．(1)答案见解析(2)−(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性；（2）若a≥0，不成立，因此a<0，由（1）知，f(x)max=（3）（i）当a=1时，bn=bn+1+ln1+b（ii）由（i）得1bn+1−12【详解】（1）f′①当a≥0,②当a<0，令f当x∈−1当x∈