函数与方程专题训练（答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页函数与方程专题训练（参考答案）题型1：函数零点及其所在区间的判断题型2：函数零点个数的判断题型3：函数零点的应用题型4：二分法求函数零点题型5：嵌套函数题型1：函数零点及其所在区间的判断函数的零点为（

）A． B．C．或 D．和【解析】D令，即，解得,所以函数的零点为和.函数的所有零点之和为（

）A．8 B．7 C．5 D．4【解析】B当时，，解得；当时，，解得，所以函数的零点和为7.已知是函数的零点，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】D由题意可得，即，则，故.函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【解析】C因为，，且为增函数，所以的零点所在的区间为.函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【解析】D因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增，且连续，又由于，，.由零点存在定理可知，函数的零点所在区间为.若函数，，的零点分别为，，，则（

）A． B． C． D．【解析】B函数，，的零点，即为函数的图象分别与函数，，的图象交点的横坐标，如图所示：由图象可得.已知幂函数，则函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【解析】B因为为幂函数，所以，所以，所以，因为在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为.设函数的零点都在区间内，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【解析】C函数的定义域为，，即函数为偶函数，当时，在上单调递增，，则存在，使得，因此函数在的唯一零点，则，由偶函数的性质得，于是，所以的最小值为4.下列叙述正确的是（

）A．如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，且在区间内有零点，则一定有B．函数的零点是，C．已知方程的解在内，则D．函数有两个不同的零点【解析】C对于A，函数在内有零点，而，故A错误；对于B，令，解得或，所以函数的零点是，3，故B错误；对于C，设，因为函数在上为增函数，所以在上为增函数，又，，则，所以函数在内有唯一零点，所以方程在内有唯一解，则，故C正确；对于D，作出的图象如图：当时，函数和的图象显然有一个交点，又，所以函数和的图象在，处相交，所以函数有三个不同的零点，故D错误.（多选）已知函数且，则下列结论中正确的是（

）A．函数的图象过定点 B．函数在其定义域上有零点C．函数是奇函数 D．当时，函数在其定义域上单调递增【解析】BCD对于A选项，因为，故函数的图象过定点，A错；对于B选项，因为的定义域为，且，故函数在其定义域上有零点，B对；对于C选项，因为，该函数的定义域为，且，即函数是奇函数，C对；对于D选项，当时，则，因为函数、均为上的增函数，所以，函数在上为增函数，D对.（多选）函数的零点所在区间不可能是（

）A． B． C． D．【解析】ACD由可知函数的定义域为，函数在定义域上单调递减，对于A，因，，则，故函数在区间上无零点，故A符合题意；对于B，因，，则，故函数在区间上有零点，故B不符合题意；对于C，因，，则，函数在区间上无零点，故C符合题意；对于D，因，，则，故函数在区间上无零点，故D符合题意.即函数的零点所在区间不可能是ACD.题型2：函数零点个数的判断函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】B由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．因为,,所以函数有且只有一个零点.函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】C当时，令，解得，当时，，，，所以在上存在零点，又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点．综上，的零点个数为2.已知函数，则方程的根的个数为（

）A．0 B．1C．2 D．3【解析】C原方程即为，变形得，要求方程根的个数，即求函数和函数的图象在上的交点个数，作出两函数的图象如图所示，

由图可知，两函数图象在上共有2个交点，故原方程共有2个根．函数的图象与的图象的交点个数为（

）A．6 B．4 C．2 D．1【解析】C依题意，，，与的图象关于轴对称，在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，由图可知，两函数的图象的交点个数为2．已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（

）A．9 B．10 C．11 D．18【解析】B由题意，分别画出函数和的图象，如下图所示：显然的值域为,易知，且当时，两函数图象无交点，由图可知，与的图象共有10个交点，故原函数有10个零点．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（

）A． B． C． D．【解析】C由题意得方程的根是函数的图象与直线的交点的横坐标，根据分段函数的解析式，以及是定义在上的奇函数，作出函数的图象如图所示：

作出直线，由图可知，与的图象有5个交点，从左到右依次记为，根据的图象的对称性可得，根据是奇函数得，，所以，由得，所以.（多选）已知函数有两个零点，则下列说法正确的是（

）为偶函数 B．或 C． D．【解析】AC对于A，由题意，的定义域为，∵，∴为偶函数．A正确；对于B，有两个零点，即的两根分别为，令，则，即函数与函数的图象有两个交点，由对勾函数的图象可知，当时，与的图象有两个交点．B错误；对于C，D，由上可知，令后转化成①，设，为①式的两根，则，即②，由②式可知，∴则，又，∴，则．C正确；D错误.（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是奇函数B．是增函数C．不等式的解集为D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为【解析】CD的大致图象如图所示：由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；在定义域内不单调，故B错误；若，则或，即不等式的解集为，故C正确；令，则，原题意等价于与有2个交点，则，所以的取值范围为，故D正确.题型3：函数零点的应用已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】D函数在区间上有零点方程在区间上有解，函数在区间上单调递减，在上单调递增，则，则.函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】D函数在定义域上连续且单调递增，因为函数零点在区间内，则，解得.已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【解析】D函数在上单调递增，由函数在内有零点，得，解得，即命题成立的充要条件是，显然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，所以命题成立的一个必要不充分条件是.函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】D当时，由可得，令，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.已知函数，若函数与的图象有三个交点，则a的取值范围是（

） B．C．D．【解析】C因为函数与的图象有三个交点，所以，当时，方程必然成立，当时，分离参数可得，则与有两个交点，若，则，若，则，如图所示，

结合图像，要与有两个交点，需满足.已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】C当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，又函数是定义在上偶函数，其图象关于轴对称作出函数图象：因为函数仅有4个零点，所以函数与有4个交点，根据图象可知：，即实数的取值范围是．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】C当时，，不满足题意；当时，是对称轴为的抛物线，所以函数在区间内为单调函数，要使得函数在区间内恰有一个零点，需满足，即，解得或（多选）已知函数，且，则（

）A． B． C． D．【解析】ABD对于函数，这是一个单调递增的指数函数.函数，当，即时，；当，即时，.画出的图象，可以看到函数在上单调递减，在上单调递增，且.因为，，所以，.此时，移项可得，所以选项A正确.

由，根据基本不等式.即，两边同时平方得，化简得，所以.又因为，所以，选项B正确.

由图形知道，，所以选项C错误.

由得.，令，.则.当时，，所以选项D正确.（多选）设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则（

）A． B．C． D．【解析】BC由函数，作出函数的图象，如图所示，因为关于x的方程有四个不同的解，且，结合图象，可得，且，则，其中，所以，所以A不正确.根据图象，要使得方程有四个不同的解，可得，所以B正确；因为，且，可得，所以，可得，又由，当且仅当时，等号成立，显然，所以，所以C正确；令，可得，结合图象，可得，所以D不正确.若函数.(1)若，求函数的零点：(2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.【解析】（1）若，，若，则或，所以函数的零点是；（2）由题意恰好有一个根，等价于恰好有一个根，即恰好有一个根，令，则函数是增函数，所以的值域是，故所求为.已知函数．(1)用定义证明函数在R上为减函数；(2)若（其中，），求实数的取值范围；(3)若在上存在唯一零点，求实数的取值范围．【解析】（1）任取，，且，则，因为，所以，所以，则，所以函数在R上为减函数；（2）由（1）得在R上为减函数，又，则，当时，，解得，当时，，解得，不成立，综上所述，（3）由（1）得在R上为减函数，则在R上也为减函数，又在上存在唯一零点，即，且解得.题型4：二分法求函数零点小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（

）A． B． C． D．【解析】D因为，，，则根应该落在区间内，根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即.在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（

）A． B． C． D．【解析】C根据已知，，，，，根据二分法可知该近似解所在的区间是.用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示：x121.51.751.8751.812531.3420.5793则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（

）A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9【解析】C由表格可得，函数的零点在区间内，且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8．用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解析】B根据题意，原来区间的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n次操作后，区间的长度为，令，即，计算中点函数值的次数最少为7.函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（

）次函数值的计算．A．2 B．3 C．4 D．5【解析】B至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：，，取区间的中点，且，所以.，取区间的中点，且，所以.，取区间的中点，且，所以.因为，所以区间的中点，即为零点的近似值，即函数的零点，所以至少需进行3次函数值的计算.若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则．【解析】根据指数函数与反比例函数的性质，函数在上单调递增，所以函数在上至多有一个零点．又由二分法依次确定了零点所在区间为，对于区间，由二分法知对应下一个区间有或，当区间为时，显然不成立，故下一个区间为，所以，化简得．函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为．【解析】，，而，∴函数的零点在区间．又，，∴函数的零点在．题型5：嵌套函数已知函数则方程的解的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】B函数的图象如图所示：设，则方程即，由图象可知，与有三个交点，横坐标分别为，其中，，，方程解的个数转化为方程，，解的个数之和，由图象可知，与有一个交点，与有三个交点，与没有交点，所以方程解的个数为.已知函数，则函数的零点个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【解析】C由题意，令，解得或，作出的图象，如图，

由图可知，直线与图象有3个交点，直线与图象有4个交点，所以原方程有7个解，即函数有7个零点.已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【解析】D由可得，故或