第06讲计数原理（复习讲义）

第06讲计数原理目录01TOC\o"13"\h\u考情解码・命题预警 202体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 4知能解码 4知识点1分类加法计数原理(也称加法原理) 4知识点2分步乘法计数原理 4知识点3分类计数原理和分步计数原理的应用 5题型破译 6题型1分类加法计数原理 6题型2分步乘法计数原理 8题型3两个原理的对比应用 11题型4涂色问题 1304真题溯源·考向感知 1605课本典例·高考素材 18考点要求考察形式2025年2024年2023年（1）分类加法计数原理(也称加法原理)（2）分步乘法计数原理（3）分类计数原理和分步计数原理的应用单选题多选题填空题解答题考情分析：后面在本节的考查形式主要以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．复习目标：1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．

知识点1分类加法计数原理(也称加法原理)1．分类加法计数原理：2．加法原理的特点是：①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。自主检测盒子甲中有5个红球和3个蓝球；盒子乙中有6个红球和2个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有1个蓝球的不同取法共有（

）A．150种 B．180种 C．300种 D．345种【答案】D【分析】就甲盒取出1红1蓝、乙盒取出两红和甲盒取出两红、乙盒取出1红1蓝两种情况分类计算后可得不同的取法总数.【详解】4个球中恰有1个蓝球，可分为两种情况：故共有种不同的取法，故选：D.知识点2分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．2．乘法原理的特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干种方法；③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。自主检测某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（

）A．36种 B．72种 C．144种 D．288种【答案】C【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解.故选：C知识点3分类计数原理和分步计数原理的应用1．分类计数原理和分步计数原理的区别：两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．2.分类计数原理和分步计数原理的应用利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型①分类或分步。②先分类，再在每一类里再分步。③先分步，再在每一步里再分类，等等。（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？自主检测用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（

）A．72 B．96 C．120 D．144【答案】C【分析】根据分类相加计数原理，先分四种颜色都用和只有三种颜色两种情况，再根据分步乘法计数原理，将涂色过程分成若干步，每一步确定一个区域的颜色，再根据相邻区域不同色的条件，确定每一步的涂色方案数，最后将各步方法数相乘得到总的涂色方案数.【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4，（1）四种颜色都用：先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1，再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2，再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3，（2）四种颜色只用其中的三种颜色：故选：C题型1分类加法计数原理A．144 B．184 C．232 D．252【答案】C故选：C.A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解.【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，故选：B.方法技巧应用分类计数原理，应注意：①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；【变式训练11】我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（

）A．66个 B．55个 C．36个 D．28个【答案】C【分析】按照首位数字为1~8进行分类，相加得到答案.【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，“幸运数”分别是116,161,125,152,134,143,107,170，共8个；当首位数字为2时，后两位相加为6，“幸运数”分别是206,260,215,251,224,242,233，共7个；当首位数字为3时，后两位相加为5，“幸运数”分别是305,350,314,341,323,332，共6个；当首位数字为4时，后两位相加为4，“幸运数”分别是404,440,413,431,422，共5个；当首位数字为5时，后两位相加为3，“幸运数”分别是503,530,512,521，共4个；当首位数字为6时，后两位相加为2，“幸运数”分别是602,620,611，共3个；当首位数字为7时，后两位相加为1，“幸运数”分别是701,710，共2个；当首位数字为8时，后两位相加为0，“幸运数”是800，共1个.故选：C.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分类加法的计数原理结合古典概率的计算公式即可得答案.故选：C.【变式训练13】（2025·天津·调研）某体育赛事组委会需从甲、乙、丙、丁位志愿者中选位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点人．已知甲不能安排在物资分发服务点，且乙不能在路线指引服务点，则不同的安排方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】分别讨论甲不入选、乙不入选和甲乙同时入选的情况根据分类加法计数原理可求得结果.故选：D．题型2分步乘法计数原理例21（2025·天津·联考）现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（

）A．120种 B．144种 C．96种 D．160种【答案】A【分析】分化学书在2本数学书之间，或是1本物理书在2本数学书直接，再按照分步计数原理，插空法解决问题.故选：A例22（2526高三上·天津·开学考试）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（

）A．24种 B．18种 C．12种 D．6种【答案】B【分析】根据排列的定义，结合分步计数原理进行求解即可.【详解】因为甲不去重庆动物园，所以甲有三种不同的去处，又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同，故选：B方法技巧解决这类问题的关键是搞清分类还是分步．用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数．【变式训练21】从4个汉字、10个数字、3种颜色中选元素组成3个标识，每个标识含1个汉字、1个数字、1种颜色，且同一组内汉字、数字、颜色均不重复.最多可设计不同标识组的数量为（

）A．2400 B．3200 C．4320 D．5760【答案】D【分析】根据题设，以颜色为序将4个汉字、10个数字填入，应用分步乘法求出所有可能标识个数，再由每3个标识构成一个标识组求出不同标识组最多个数.【详解】由题设，3种颜色（假设为红黄蓝）分别填入3条标识的颜色栏，如下表，颜色汉字数字红**黄**蓝**再将4个汉字、10个数字安排到上表的3条标识中，且各条标识间的汉字、数字不重复，故选：D【变式训练22】（2025·天津·调研）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（）A．90种 B．150种 C．300种 D．360种【答案】B【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解.故选：B【变式训练23·变载体】（2025·天津·调研）社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行的一次社火活动一共持续了三天，5名小朋友希望参加该活动，每天从中任选2名小朋友参加，则这5人中恰有1人连续参加三天的选法有（

）A．210种 B．300种 C．360种 D．480种【答案】B【分析】应用分步分类计数原理，结合排列组合数求不同的选法数.【详解】从5个人中任选一个人连续参加三天的活动，有5种选择，若剩下的4个人中有3人参加了此项活动，则这三个人每人参加其中一天的活动，有种方法，故选：B题型3两个原理的对比应用例31（2025·天津·调研）已知甲乙丙3名同学从学校的2个科技类社团，2个艺术类社团，1个体育类社团中选择报名参加，每人只能报名参加一个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用排列组合数及分类分步计数求有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团的情况数，由分步计数求3人任意报名社团情况数，应用古典概型的概率求法求概率.余下2人报名其余3个社团，有人报名参加体育类社团，则报名情况分类如下:2人都报名体育类社团，有1种报名方法，故选：BA．180 B．240 C．300 D．360【答案】C【分析】利用特殊位置优先处理及相同元素定位计算得到答案.故选：C.方法技巧在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有，l类办法还是需分成n个步骤．应用分类加法计数原理必须要求各类中的每一种方法都保证完成这件事．应用分步乘法计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤．【变式训练31】重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.【详解】由题可知中间格只有一种放法；十字格有四个位置，种适合放入，所以有一种放两个位置，共有种放法；四角格有四个位置，种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有种放法，或每种都放两个位置，有种放法，故四角格共有种放法；故选：C.A． B． C． D．【答案】A【分析】分类讨论个位上的数字是0和不是0的情况.，再分类讨论这个四位数既满足是偶数，又满足个位､十位和百位上的数字之和为偶数的情况，求出对应的个数，结合古典概型概率的计算公式求解即可.故四位数是偶数的有156个.下面考虑这个四位数既满足是偶数，又满足个位､十位和百位上的数字之和为偶数的情况：若个位､十位和百位上的数字是1个偶数和2个奇数，综上，满足这两个条件的四位数有60个.故选：A【变式训练33】为推动旅游发展，某旅行社设计了5条不同的旅游路线，分别记为、、、、．某团队要从中任选3条路线，在假期分三批组织队员出游，且路线和路线不能同时被选中，不同的选择及安排方法有（

）A．24种 B．36种 C．42种 D．72种【答案】C【分析】由分组分配原理求出总的情况减去同时选到、路线的情况即可.故选：C.题型4涂色问题例41（2025·天津·调研）现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色．已知这4个区县的连接关系如下：区A与区B、区C相邻；区B与区A、区D相邻；区C与区A、区D相邻；区D与区B、区C相邻．则共有（

）种不同的着色方法．A．72 B．84 C．96 D．180【答案】B【分析】分为和颜色相同和和颜色不同讨论，再结合组合公式计算即可.故选：B.例42给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（

）A．216种 B．192种 C．180种 D．168种【答案】D【分析】按照一定的顺序对五个区域进行染色，依次考虑每个区域的染色选择，根据相邻区域颜色不同的要求来确定每种情况下的染色方法数.故选：D.【变式训练41】高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（）A．120 B．160C．180 D．240【答案】C【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论C，A同色和异色，根据乘法原理可得结论．【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色的笔书写文字，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2=120种，C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3=60种，∴共有180种不同的涂色方案.故选：C.【变式训练42】如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（

）种不同的着色方法.A．180 B．120 C．60 D．240【答案】B【分析】由分步乘法计数原理可求解.【详解】给青阳着色有5种不同的方法，给贵池着色有4种不同的方法，给石台着色有3种不同的方法，因为青阳与东至不能使用同一种颜色，故给东至着色有2种不同的方法，故选：B.【变式训练43·变载体】（2024·天津·模拟预测）用四种不同的颜色给图中5个区域染色，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算)染上不同的颜色，则不同的染色方法有（

）A．112种 B．146种 C．192种 D．168种【答案】D【分析】先对1，4，5染色，再分1和3同色，或1和3不同色，两种情况讨论即可.【详解】对1，4，5染色，有种方法．综上，不同的染色方法有168种.故选：D1．（2005·天津·高考真题）在三角形的每条边上各取三个分点（如图）．以这9个分点为顶点可画出若干个三角形，若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为．（用数字作答）【答案】【分析】根据题意，首先分析可得9个点能构成三角形总个数，再由分步计数原理可得符合条件的三角形个数，由等可能事件的概率公式，计算可得答案.故答案为：.2．（2007·天津·高考真题）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．【答案】630.【分析】分别计算第三个格子与第一个格子同色，以及第三个格子与第一个格子不同色，所对应的不同涂色方法，即可求出结果.【详解】用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，若第三个格子与第一个格子同色，若第三个格子与第一个格子不同色，故答案为6303．（2003·天津·高考真题）．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种.（以数字做答）【答案】424．（2007·天津·高考真题）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．【答案】390【详解】用2色涂格子有种方法,用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有种,所以涂色方法种方法,故总共有390种方法.故答案为:3905．（2017·天津·高考真题）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个.（用数字作答）【答案】1080【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.6．（2006·天津·高考真题）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有个（用数字作答）．【答案】24【分析】对末位数字讨论，再结合排列知识求解即可.故答案为：24.1．某药品研究所研制了5种消炎药（，，，，）、4种退热药（，，，），现从中取出两种消炎药和一种退热药同时使用进行疗效试验，但已知，两种药必须同时使用，且，两种药不能同时使用，则不同的试验方案有多少种？【答案】14【分析】根据取出消炎药与退热药的要求，分三类情况进行讨论，根据加法原理得到结果.【详解】解：当取，时，再取退烧药有（种）方案，此时不同的试验方案有4（种）方案；当不取，且取时，取另一种消炎药的方法有（种）方案，由于，两种药不能同时使用，所以再取退烧药有（种）方案，当取，时，再取退烧药有（种）方案，此时不同的试验方案有4（种）方案；2．（1）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？（2）用1，2，3，4，5，6，7可以组成多少个没有重复数字，并且小于60000的正整数？（3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数共有多少个？【答案】（1）360；（2）2899；（3）216.【分析】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法计数原理即得解；（2）根据题意，由分类加法计数原理结合排列数与组合数的计算，即可得到结果.（3）根据题意，由组合数的计算结合分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，有种排法，其他位置上任意排列，有种排法，（2）根据题意，可得，（3）首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再从剩余3个奇数中选择一个有种，从2，4，6三个偶数中选择两个有种，3．某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？(2)如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？【答案】(1)12(2)【分析】（1）利用分类加法计数原理进行求解；（2）利用分步乘法计数原理进行求解.【详解】（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类：第一类，选一名教师主持，有3种选法；第二类，选一名男同学主持，有4种选法；第三类，选一名女同学主持，有5种选法．（2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步：第一步，选出一名教师，有3种选法；第二步，选出一名男同学，有4种选法；第三步，选出一名女同学，有5种选法，以上3个步骤依次完成后，事情才算完成．【分析】由于前七位已确定，我们只需分4步来确定后四位数字，11位手机号码就最终确定，要用分步乘法计数原理来计算．根据分步乘法计数原理，可依次确定手机号码的第八、九、十、十一位，5．某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？【答案】(1)68(2)66【分析】利用分类加法计数原理进行求解【详解】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目．（2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，6．（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【答案】（1）256；（2）144【分析】（1）根据分步乘法原理即可求得答案；（2）判断必有2个小球放入同一个盒子中，根据分步乘法原理即可求得答案.【详解】（1）由题意4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒，则必有2个小球放入同一个盒子中，所以先选出2个小球看作一个球和其余2球一起看作3组球，分别放入选出的3个盒子中，每个盒子中放入一组，7．按序给出a，b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b两类中各取1个元素组成1个排列，求a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数．【答案】120【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】求排列个数需要两步：排首位有10种方法，排末位有12种方法，所以所求排列个数为120.8．（1）在图（1）的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？（2）在图（2）的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？【答案】（1）5种；（2）6种．【分析】（1）由分类加法计数原理即可求解.（2）由分步乘法计数原理即可求解.【详解】（1）在图（1）中，按要求接通电路，只要在A中的2只开关或B中的3只开关中合上1只即可．（2）在图（2）中，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关；第二步，合上B中的1只开关．9．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？【答案】按区域的颜色和区域的颜色相同或不相同分类，10．现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？【答案】300【分析】分两种情况讨论，即按照选出的4人中有A和没有A进行讨论，然后再进行排列，从而得出结果.【详解】解

安排方法可以分成两类：选出的4人中有A和没有A．当选出的4人中有A，则安排方法为：第一步，在乙、丙、丁3个岗位中选择一个给A，共种方法，第二步，在B，C，D，E，F这5人选出3人安排在其他3个岗位，共种方法，11．要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学：(1)如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？(2)如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？【答案】(1)1680(2)7560【分析】（1）分三步完成任务，第一步选3本给甲，再选3本给乙，剩下的给丙，运用乘法原理解决问题；（2）分两步完成任务，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，再将3组书分给3人，最后采用乘法原理解决问题.【详解】（1）解:要完成分配任务，可以分为三步：第一步，分给甲3本书，有种方法；第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，所以有种方法；第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，所以有种方法．（2）要完成分配任务，可以分为两步：第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法．12．现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：(1)一共有多少种不同的取法？(2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的抽法共有多少种？(3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的抽法共有多少种？【答案】(1)4060(2)756(3)784【分析】（1）利用组合的定义及组合数公式即可求解；（2）利用组合的定义及分步乘法计数原理，结合组合数公式即可求解；（3）利用组合的定义及分类加法计数原理，结合组合数公式即可求解.【详解】（1）所求的抽法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数（2）抽取可以分成两步完成：第一步，在2件次品中抽出1件，有种方法；第二步，在28件合格品中抽出2件，有种方法．（3）满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法．13．某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？【答案】7【分析】利用分类与分步计数原理计算即可.【详解】按照选择的女同学人数分为两种情况，即2名都是女同学和只有1名女同学．第1类：2名都是女同学的选法显然只有1种．第2类：只有1名女同学的选法，可以分为两步完成：先从2名女同学中选出1人，有2种选法；14．有100件产品，其中5件次品，95件正品，现要从这100件产品中随机抽取6件进行检查.根据以下要求，计算各有多少种不同的取法.(1)抽到的全是正品；(2)恰抽到2件正品；(3)至少抽到1件次品；(4)至多抽到2件次品.【分析】（1）由组合的意义及运算可得；（2）由组合的意义及分步乘法计数原理可得；（3）由对立事件的性质结合组合的意义及运算可得解；（4）由组合的意义及分类加法计数原理即可得解.（3）由题意，至少抽到1件次品的对立事件为抽到的全是正品，（4）至多抽到2件次品分为没有抽到次品（全是正品）、恰有1件次品和恰有两件次品三种情况，15．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分为三份，每份2本.【答案】(1)90(2)15