内蒙古自治区包头市二中2025年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

内蒙古自治区包头市二中2025年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（）A. B.C. D.2．点M在圆上，点N在直线上，则|MN|的最小值是（）A. B.C. D.13．若在直线上，则直线的一个方向向量为（）A. B.C. D.4．已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.5．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为()A. B.C. D.6．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.7．下列命题中正确的是（）A.若为真命题，则为真命题B.在中“”是“”的充分必要条件C.命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”D.命题，使得，则，使得8．若数列对任意满足，下面选项中关于数列的说法正确的是（）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.可以既是等差数列又是等比数列D.可以既不是等差数列又不是等比数列9．设是等差数列，是其公差，是其前n项的和．若，，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.与均为的最大值10．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A. B.C. D.11．如图，在三棱锥中，是线段的中点，则（）A. B.C. D.12．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（）A.2 B.4C.8 D.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设实数、满足约束条件，则的最小值为___________.14．在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________15．设为三角形的一个内角，已知曲线：，则可能是___________.（写出不同曲线的名称，尽可能多.注：在一些问题情景中，直线可以理解成是特殊的曲线）16．在一平面直角坐标系中，已知，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为各项均为正数的等比数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前n项和18．（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且，讨论函数的零点个数.19．（12分）已知（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）已知钝角内角A，B，C的对边长分别a，b，c，若，，．求a的值20．（12分）2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球、2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球、2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球、3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.（1）若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；（2）若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.21．（12分）已知双曲线的渐近线方程为，且过点（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长22．（10分）设数列的首项，（1）证明：数列是等比数列；（2）设且前项和为，求

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.【详解】直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.故选：D.2、C【解析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】由题意可知，圆心，半径为，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：C.3、D【解析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案【详解】∵在直线上，∴直线的一个方向向量，又∵，∴是直线的一个方向向量故选：D4、A【解析】由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.【详解】由抛物线的方程为，则其准线方程为：故选：A5、A【解析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为.故答案为A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.7、B【解析】A选项，当一真一假时也满足条件，但不满足为真命题；B选项，可以使用正弦定理和大边对大角，大角对大边进行证明；C选项，利用逆否命题的定义进行判断，D选项，特称命题的否定，把存在改为任意，把结论否定，故可判断D选项.【详解】若为真命题，则可能均为真，或一真一假，则可能为真命题，也可能为假命题，故A错误；在中，由正弦定理得：，若，则，从而，同理，若，则由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要条件，B正确；命题“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，故C错误；命题，使得，则，使得，故D错误.故选：B8、D【解析】由已知可得或，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案【详解】由，得或，即或，若，则数列是等差数列，则B错误；若，当时，数列是等差数列，当时，数列是等比数列，则A错误数列是等差数列，也可以是等比数列；由，不能得到数列为非0常数列，则不可以既是等差又是等比数列，则C错误；可以既不是等差又不是等比数列，如1，3，5，10，20，，故D正确；故选：D9、C【解析】由已知条件可以得出，，，即可得公差，再利用等差数列的性质以及前n项的和的性质可判断每个选项的正误，进而可得正确选项.【详解】由可得，由可得，故选项B正确；由可得，因为公差，故选项A正确，，所以，故选项C不正确；由于是等差数列，公差，，，，所以都是的最大值，故选项D正确；所以选项C不正确，故选：C10、C【解析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.故选：C.11、A【解析】根据给定几何体利用空间向量基底结合向量运算计算作答.【详解】在三棱锥中，是线段的中点，所以：.故选：A12、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：C.【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可得目标函数的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：将初始直线平移至点时，可取最小值，由可得，故，故答案为：2.14、【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.15、焦点在轴上的椭圆，焦点在轴上的双曲线，两条直线.【解析】讨论，和三种情况，进而根据曲线方程的特征得到答案.【详解】若，则曲线：，而，曲线表示焦点在y轴上的椭圆；若，则曲线：或，曲线表示两条直线；若，则曲线：，而，曲线表示焦点在x轴上的双曲线.故答案为：焦点在y轴上椭圆，焦点在x轴上的双曲线，两条直线.16、【解析】平面直角坐标系中，沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点，通过用向量的数量积转化求解距离即可.【详解】在直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点，所以,所以，所以,故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)利用基本量法，求出首项和公比，即可求解.(2)利用错位相减法，即可求解.【小问1详解】设等比数列公比为【小问2详解】18、（1）.（2）答案见解析.【解析】（1）求导函数，求得，，由此可求得曲线在点处的切线方程；（2）求得导函数，分和讨论，当时，设，求导函数，分析导函数的符号，得出所令函数的单调性，从而得函数的单调性，根据零点存在定理可得答案.【小问1详解】解：当时，，所以，故，，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】解：依题意，则，当时，，所以在上单调递增；当时，设，此时，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增.综上所述，在上单调递减，在上单调递增.又，所以当，即时，有唯一零点在区间上，当，即时，在上无零点；故当时，在上有1个零点；当时，在上无零点.19、（1），；（2）2.【解析】(1)利用三角恒等变换公式化简函数，再利用三角函数性质计算作答.(2)由(1)的结论及已知求出角C，再利用余弦定理计算判断作答.【小问1详解】依题意，，则的最小正周期，由，解得，则在上单调递增，所以的最小正周期为，递增区间为.【小问2详解】由(1)知，，即，在中，，，则，即，，于是得，解得，在中，由余弦定理得：，即，解得或，当时，，为直角三角形，与是钝角三角形矛盾，当时，，，此时，是钝角三角形，则，所以a的值是2.20、（1）（2）选择方案二更划算【解析】（1）要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，求出没有抽出红色小球的概率，再根据对立事件的概率公式即可得出答案；（2）若选择方案一，则需付款（元），若选择方案二，设付款金额为元，则可取6000，7000，8000，10000，求出对应概率，从而可求得的期望，在比较的期望与9200的大小即可得出结论.【小问1详解】解：根据题意得要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，设没有抽出红色小球为事件，则，所以所求概率；【小问2详解】解：若选择方案一，则需付款（元），若选择方案二，设付款金额为元，则可取6000，7000，8000，10000，，，，，故的分布列为X60007000800010000P所以（元），因为，所以选择方案二更划算.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联