12.3 一次函数与二元一次方程（一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程）（教师版） 分层作业-沪科版(2024)八上

12.3一次函数与二元一次方程（一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程）题型一图像法解一元一次方程1．（21-22八年级上·江西景德镇·期中）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图象得出一次函数的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解．【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为，∴的解为，故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用解答．2．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）已知直线经过点，则方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查一次函数与一元一次方程之间的关系，解题的关键是正确理解直线上的点与方程解的对应关系．根据直线上的点与方程解的对应关系即可求解．【详解】∵直线经过点，∴时，，∴方程的解为，故选：．3．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案．【详解】解：∵直线经过点，∴关于x的方程的解为，故选：B．4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为．

【答案】4【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当时，，即可关于x的方程的解为．【详解】解：∵直线经过点，∴当时，，∴关于x的方程的解为．故答案为：4．5．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）画出函数图象．(1)利用图象求方程的解；(2)利用图象求不等式的解集；(3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解；（2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集；（3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围．【详解】（1）解：当时，，当时，，，作直线，如图所示．当时，，所以方程的解为；（2）解：当时，，所以不等式的解集为；（3）解：值在的范围内，相应的的取值范围是．题型二已知直线与坐标轴的交点求方程的解6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由直线向右平移8个单位得到直线，从而可得直线与x轴交点坐标，进而求解．【详解】解：直线是由直线向右平移8个单位所得，∵与x轴交点为，∴直线与x轴交点坐标为，∴的解为，故选：A．7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．根据一次函数与轴交点坐标可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵一次函数的图象与轴交于点，∴当时，，即时，，∴关于的方程的解是．故选：C．8．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数中，与的部分对应值如下表：那么一元一次方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数与一元一次的关系．任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．此题实际上是求当时，所对应的的值．根据表格求解即可．【详解】解：根据上表中的数据值，当时，，即一元一次方程的解是．故选：D9．（24-25八年级上·山东青岛·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为．当时，自变量x的取值范围是．【答案】【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标；根据直线过点，，判断出函数的增减性，即可写出不等式的解集．【详解】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标，直线过点，方程的解为，直线过点，，直线随x的增大而减小，当时，自变量x的取值范围是，故答案为：，．10．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题：(1)直接写出方程的解；(2)直接写出不等式的解集；(3)若，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式，（1）根据图示，时，，结合图象可求解；（2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解；（3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，当时，，∴的解为；（2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即，∴不等式的解集为；（3）解：由（2）可得，当时，，当时，，∴时，．题型三由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点11．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点．【详解】解：∵关于的方程的解为，∴直线一定经过某点的坐标为，故选A．12．（2021·安徽合肥·二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．【详解】解：∵方程的解为x=2，∴当x=2时mx+n=0；∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．13．（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案.【详解】解：∵关于的方程的解是，∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是．∴只有选项B的图象符合题意，故选：B14．（23-24八年级下·四川内江·期中）将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是．【答案】【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令，解得即可．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为，∵此时与x轴相交，则，∴，即，∴与x轴的交点坐标是．故答案为：15．（21-22八年级上·广西梧州·期中）一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴的交点的横坐标．【答案】（答案不唯一）【分析】本题可先求出一元一次方程的解，即；因此这个交点的坐标为；那么只要过的一次函数，均符合条件．【详解】解：∵，∴．设一次函数的解析式为，那么一次函数与轴交点的坐标为，即，；即一次函数的解析式为；当时，一次函数的解析式为．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程关系，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解决本题的关键．题型四由直线与坐标轴的交点求不等式的解集16．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，一次函数的图像经过点和，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在轴下方，此时，进而得到关于的不等式的解集．【详解】解：一次函数中，要使关于的不等式即：时，图象在轴下方，由图可知：，则关于的不等式的解集是，故选：D．17．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据可得y随x增大而减小，则当时的函数值大于4，据此可得答案．【详解】解：∵一次函数解析式为，∴y随x增大而减小，∵一次函数的图象经过点，∴关于x的不等式的解集为，故选：B．18．（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若对于任意负数，都存在，则一次函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的关系，以及及数形结合思想的应用．根据图象解答即可．【详解】解：由题意可知，当时，，符合条件的图象只能是D．故选D．19．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，直线（和是常数且）交轴、轴于点、，下列结论正确的是（

）A．方程的解是 B．方程的解是C．不等式的解集是 D．不等式的解集是【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式等知识点，掌握数形结合是解题的关键．根据一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式以及函数的图象逐项判断即可．【详解】解：如图：由函数图象可知直线（k和b是常数且）交x轴，y轴分别于点，．∴方程的解是，即A选项错误，不符合题意；由函数与的图象关于y轴对称，则函数的图象与x轴交点的横坐标为，所以方程的解是，即B选项错误，不符合题意；由函数图象可知：当时，函数的图象在x轴的上方，不等式的解集是，即C选项正确，符合题意；由函数图象可知：不等式的解集是，即D选项错误，不符合题意．故选：C．20．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数的图象经过点和点．(1)求这个一次函数的表达式；(2)直接写出当x取何值时，．【答案】(1)；(2)当时，．【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析式．（1）利用待定系数法即可求解；（2）作出点和，过两点作直线，根据图象，求出直线位于轴下面的部分的的取值范围．【详解】（1）解：把点和代入一次函数得：，解得，则一次函数的解析式是：；（2）解：函数图象如图所示：根据图象可得：当时，．题型五图像法解二元一次方程组21．（20-21八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解．【详解】一次函数与的交点为P（、4）解得点P的坐标为（2、4）的解为：故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解．22．（20-21八年级上·安徽马鞍山·期末）若直线和相交于点，则方程组的解为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得直线和直线关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得．【详解】解：直线和关于原点对称的直线为y=mx+3和，∵直线和相交于点P（2，3），∴直线y=mx+3和y=2xn相交于点（2，3），∴方程组的解为；故选：D．【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，求得直线关于原点的对称直线是解题的关键．23．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像如图所示，则方程组是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．【详解】解：设经过一、三、四象限的函数解析式为：y=kx+b，其经过点(1，1)和点(0，-1)，代入解析式中：1=k+b，-1=b，解得：k=2，所以其解析式为：y=2x-1，设经过一、二、四象限的函数解析式为：y=mx+n，其经过点(1，1)和点(2，0)，代入解析式中：1=m+n，0=2m+n，解得：m=-1，n=2，所以其解析式为：y=-x+2，因此所解得二元一次方程组为：，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．24．（22-23八年级上·山西太原·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是．【答案】【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答．【详解】解：把代入得：，∴，∵点P为一次函数与的图象交点，∴方程组的解是；故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解．25．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在以下平面直角坐标系中，(1)画出函数与的图象；(2)根据图象写出方程组的解；(3)根据图象写出不等式的解集．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题主要考查了画一次函数图象、一次函数与方程组的关系、一次函数与不等式的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．（1）运用列表、描点、连线的步骤画出函数图形即可；（2）根据二元一次方程组的解为其对应函数交点的坐标，据此即可解答；（3）根据函数图象确定在上方部分所对应的自变量的取值范围即可．【详解】（1）解：列表如下：x01543描点、连线、画图如下：（2）解：方程组可化为：，由函数图象可知直线与直线的交点坐标为，所以方程组的解为．（3）解：∵当时，函数的图象在函数的下方，∴不等式的解集为．题型六两直线的交点与二元一次方程组的解26．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数（是常数，且）与正比例函数（m是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（）A．关于的方程的解是B．当时，C．关于的方程组的解是D．当时，函数的值比函数的值小【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用图像法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法和步骤．根据两直线的交点坐标即可判断A、C，根据图象即可判断B、D．【详解】解：∵两直线相交于点，∴方程的解是，方程组的解是，故A、C正确，不符合题意；∵当时，直线在x轴下方，即，故B正确，不符合题意；∴当时，函数的值比函数的值大，故D不正确，符合题意；故选：D．27．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，对于任意非零实数，关于的函数与函数的图象的交点有可能在（）象限A．第一或第三 B．第二或第四C．第三或第四 D．第一、第二、第三或第四【答案】A【分析】本题考查了求一次函数交点问题，直角坐标系中象限内点的坐标特点，解二元一次方程组求交点是解题的关键．联立两个一次函数解析式求得交点坐标，进而进行判断即可求解【详解】解：解方程组，解得，，当时，，图象的交点在第一象限；当时，，图象的交点在第三象限；故选：A．28．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，一次函数与的图象，下列说法正确的是（

）①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象的性质，两直线交点与二元一次方程组的解，理解图示信息，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．根据一次函数图象经过的象限可判定①；根据一次函数的图象经过第二、四象限，可判定②；由一次函数，，可得当时，，即与的值无关，可判定③；根据一次函数与的图象经过，可判定④；由此即可求解．【详解】解：根据图示可得，一次函数的图象经过第一、二、三象限，∴，一次函数的图象经过第二、四象限，∴，故①正确；∵，∴一次函数中，随自变量的增大而减少，故②正确；∵一次函数，，∴当时，，即不论为何值，一次函数的图象总过定点，故③正确；∵一次函数与的图象经过，∴方程组的解是，故④正确；综上所述，正确的有①②③④．故选：D．题型七根据两条直线的交点求不等式的解集29．（2025·陕西咸阳·一模）若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数与不等式，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：将代入得：，解得：，∴，由图象可得，关于的不等式的解集是，故选：B．30．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（

）A．方程组的解是B．方程的解是C．不等式和不等式的解集相同D．不等式组的解集是【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可．【详解】解：A、根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意；B、根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意；C、根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意；D、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意．故选：A．31．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．利用图象法，根据函数图象求解即可．【详解】解：∵函数和的图象交于点，∴由图象可得：的解集为：，由的图象可得：的解集为：，∴当时的取值范围是．故选：D．32．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，观察函数图象，当的取值范围是时，．【答案】【分析】本题考查了一次函数与不等式，根据函数图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在的图象下方，即，故答案为：．33．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示．(1)填空：不等式的解集是________．(2)若点的横坐标是1，请完成下面的问题：①填空：不等式的解集是________．②求的值．【答案】(1)(2)①②【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）结合函数图象找到一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围即可得到答案；（2）①由函数图象可知，找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案；②利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可．【详解】（1）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围为，∴不等式的解集是，故答案为：；（2）解：①由函数图象可知，当一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围为，∴不等式的解集是，故答案为：；②∵一次函数的图象经过点、，∴，∴，∴一次函数的解析式为，在中，当时，，∴，∴，∴．34．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．(1)求直线的表达式；(2)结合图象，求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．（1）将代入可得，则，再用待定系数法求直线的表达式即可；（2）根据点B坐标，结合函数图象即可求得答案．【详解】（1）解：过点，解得：，，直线过点，，，解得：直线的表达式为；（2）解：结合图象可知，的解集为，即的解集为，由（1）可知，的解集为．题型一求直线围成的图形面积1．（21-22八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为(

)A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出答案．【详解】解：∵当x＝0时，y＝4，∴一次函数y＝−x＋4的图象与y轴交于点（0，4），∵当y＝0时，即−x＋4＝0，解得：x＝4，∴一次函数y＝−x＋4的图象与x轴交于点（4，0），∴一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为：×4×4＝8．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．2．（24-25八年级上·四川·期中）如图，直线：与直线：相交于点，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，则的面积等于．【答案】9【分析】此题主要考查了两条直线相交问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．先根据题意求出，得出P点坐标为，再求出，得出，求出点A的坐标为，点B的坐标为，然后可求出的面积即可．【详解】解：直线：与直线：相交于点，，解得：，∴P点坐标为，把代入得，解得：，∴，把代入得：，把代入得：，∴点A的坐标为，点B的坐标为，∴，的面积为：，故答案为：9．3．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为．【答案】或【分析】先求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可得出答案．【详解】一次函数中令，则令，则这个一次函数的解析式为或．【点睛】本题考查了求直线围成的图形面积，解题的关键是求出交点坐标．4．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P．(1)点P的坐标为______；(2)求四边形的面积；(3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得；（2）分别求出，，，利用即可求得；（3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可．【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点P．∴点坐标为的解，解得：．∴；故答案为：；（2）解：当时，代入，得，解得．∴．当时，代入，，得，，∴，．∴．∴；（3）解：由（2）知，，则的中点坐标为．设该直线的表达式为，代入，，得，解得．∴该直线的表达式为．【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键．5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知．(1)求一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式．【答案】(1)；(2)6(3)或．【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．（1）依据题意，由，从而，，利用待定系数法即可得解；（2）依据题意，联立方程组，求得C的坐标为，利用三角形面积公式计算可得解；（3）依据题意，得或，则或，进而可得D的坐标为或，利用待定系数法即可得解．【详解】（1）解：由题意，，∴，．∴．∴，．∴一次函数的解析式为；（2）解：由题意，联立方程组，解得，∴C的坐标为．∴；（3）解：由题意，如图，∵过点C的直线将的面积分为，∴或，∴或，∴D的坐标为或，又∵C的坐标为，同理，由待定系数法求得直线的解析式为或．题型二一次函数图像与坐标轴交点问题6．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，连接，．试说明．【答案】见解析【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，三角形全等的判定及性质．先根据一次函数与方程的关系求出点A，B，C，D的坐标，进而得到，，证明，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】解：对于函数，令，则；令，则，∴，，∴．对于函数，令，则；令，则，∴，，∴．∵，∴，∴．7．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)求直线的函数表达式；(2)设点M是x轴上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．若的面积为2，求满足题意的所有点P的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，三角形面积计算，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（1）先求出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式即可；（2）设，分两种情况：当点M在x轴的负半轴时，当点M在x轴的正半轴时，分别列出关于m的方程，解方程即可．【详解】（1）解：令，则，所以，令，则，解得：，所以，因为点C与点A关于y轴对称，所以，设直线的表达式为，则：，解得，所以直线的解析式为：．（2）解：设，因为轴，所以，①当点M在x轴的负半轴时，，所以，解得：；②当点M在x轴的正半轴时，，所以，解得，所以或．8．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．(1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？(2)求直线的表达式和a的值；(3)若点P在直线上，且，求点P的坐标．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键：（1）根据图象可知时，在的下方，得出答案；（2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，求解即可得出答案；（3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可．【详解】（1）解：由图象可知，当时，x的取值范围为；（2）将点，代入，得：，解得：，∴直线的表达式为，把代入得，∴点M的坐标为，把代入，得．（3）设，把代入得，，∴，∴，，解得或．∴或9．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点．(1)求与直线的函数解析式；(2)如果点在直线上，且，求点的坐标；(3)如果点在直线上，且点的横坐标为，点在直线上，且轴，，直接写出的值．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求解析，线段垂直平分线的性质等知识点，（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）首先推出点P的纵坐标为3，再根据待定系数法即可解决问题；（3）由题意设，则，由题意可得，解方程即可；熟练掌握一次函数的图象与性质是解决此题的关键．【详解】（1）解：把代入中，得到，，把代入直线中，得到，，直线的解析式为；（2）解：与轴交于点A，∴，，与轴交于点，∴，，，点的纵坐标为，，则，；（3）解：设，而轴，∴，，，解得或．题型三一次函数与几何综合10．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）直线经过，两点，点的坐标为．(1)求和的值；(2)点为线段上一点，点为直线上一点，．①如图1，若，求点坐标；②如图2，若，求点坐标．【答案】(1)；(2)①；②．【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键．（1）将，两点代入直线解析式求解即可；（2）①先求出直线的解析式，再设出、两点的坐标，根据列方程求解即可；②设出、两点的坐标，根据列方程求解即可．【详解】（1）解：直线经过，两点，，解得：；（2）解：①由（1）可知，直线的解析式为，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，点为线段上一点，设，点为直线上一点，，，，，，；点坐标为；②设，点为直线上一点，，，，，，；点坐标为．11．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，线段经过平移得到线段，其中点B的对应点为点C，点D在第一象限，直线交x轴于点F．(1)点D坐标为；(2)线段由线段经过怎样平移得到？(3)求的面积．【答案】(1)(2)向右平移5个单位，再向上平移3个单位(3)【分析】本题考查坐标与图形变化的性质-平移，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（1）根据点移动到的平移规律可得结论．（2）根据点移动到的平移规律可得结论．（3）求出直线的解析式，可得点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵点向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到点，∴点向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到点．故答案为：．（2）解：线段经过向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段．（3）解：设直线的解析式为，则有，解得：，∴直线的解析式为，∴点的坐标为，，，，∴．12．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，、交于轴上一点．(1)求直线所对应的函数表达式；(2)求证：；(3)规律探究：将向左平移个单位长度得到图2，与轴交于点，在的延长线上取一点，使，连接交轴于点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况．【答案】(1)(2)见解析(3)在向左平移的过程中，线段的长度不变【分析】（1）先求出A点坐标，然后用待定系数法即可求出直线的解析式．（2）先求出点和点的坐标，得出，根据线段垂直平分线的性质定理即可证明；（3）过点作轴，证明，算出，再证明，即可得出，即可解答．【详解】（1）解：把代入，得，∴点的坐标为，设直线的表达式为，把，代入得，解得：，∴直线的表达式为；（2）证明：令，有，解得：，则点坐标为；令，有，解得：，故点的坐标为；∴，又∵，∴．（3）解：的长度不变，理由如下：过点作轴，∴，由（2）可知，∴，在与中，∵，∴，∴，，∴，在与中，∵，∴，∴．∴在向左平移的过程中，线段的长度不变．【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是作辅助线并证明三角形全等．13．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，交直线于点P．(1)若点P为的中点，求k的值；(2)在（1）的条件下，C是线段上一点，过点C作x轴的垂线，与x轴交于点E，与直线交于点D，若，求点C的坐标；(3)在（2）的条件下，M是y轴上一点，当时，求点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）分别把，代入解析式求出点A，点B的坐标，再根据线段中点P的坐标，再用待定系数法即可得出k的值．（2）设C点坐标为，则点D坐标为，点E坐标为，可得，，从而可得，再求解即可；（4）由，，求得，再由可得，求得，即可求解．【详解】（1）解：令，则，∴B点坐标为，令，则，∴A点坐标为；∵点P为的中点，∴点P的横坐标为，纵坐标为：，∴．∵点P在直线上，∴，∴．（2）解：由（1）知，所在直线的解析式为：．∵C是直线上一点，∴设C点坐标为，则点D坐标为，点E坐标为，，，，，解得，点坐标为；（3）解：∵B点坐标为，A点坐标为，，，，，，，，，∴或．【点睛】本题考查一次函数与几何综合，一次函数与坐标轴的交点问题、解一元一次方程、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握相关知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．1．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点．(1)求出点的坐标；(2)结合图象，直接写出时的取值范围；(3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标．【答案】(1)(2)当时，(3)点坐标为或【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标．（1）把分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可；（2）观察图象直接判断即可；（3）根据求出点的纵坐标，代入解析式即可．【详解】（1）解：把代入得，，解得，；把代入得，，解得，；联立方程组得，，解得，，点坐标为：；（2）解：根据图象可知，在点或点的左侧时，，∴当时，；（3）解：由（1），．，，设点坐标为，，，，当时，，∴，∴点坐标为；当时，，∴，∴点坐标为；综上，点坐标为或．2.（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点．(1)求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解；(2)求的面积；(3)垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）把点代入，得，则，由直线与直线相交于点可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解；（2）先求出直线与轴的交点的坐标，再求出直线与轴的交点的坐标，然后求出线段的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积；（3）由题意得，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，由可得，即，解方程即可求出的值．【详解】（1）解：把点代入，得：，，直线与直线相交于点，方程组的解为，方程组的解为；（2）解：对于直线，令，则，解得：，，对于直线，令，则，解得：，，，；（3）解：由题意得：直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，，，即：，解得：或．【点睛】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键．3．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知直线过点，．(1)求直线l的表达式．(2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C．①求的面积．②在直线l上是否存