2025~2026学年四川省绵阳第一中学高三上学期期中考试数学试卷

2025~2026学年四川省绵阳第一中学高三上学期期中考试数学试卷一、单选题(★)1.已知集合，若，则（）

A．-1B．0C．2D．3(★★)2.若复数，则（）

A．B．C．D．(★★)3.中，“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★)4.已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（）

A．B．C．D．(★★)5.如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（）

A．B．C．D．(★★)6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．(★★★)7.已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（）

A．B．C．D．(★★)8.已知，，，则（）．

A．B．C．D．二、多选题(★)9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．B．C．是函数的一条对称轴D．是函数的对称中心(★★★)10.已知向量，，，，则下列说法正确的是（）

A．若，则有最小值B．若，则有最小值C．若，则的值为-1D．若，则的值为1(★★★)11.已知函数，则下列说法正确的是（）

A．的图象在点处的切线方程为B．的单调递增区间为C．在区间上的最大值为D．若方程有两个不同的实数解，则三、填空题(★★★)12.函数在区间上的最大值为____________．(★★)13.已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为__________.(★★★)14.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.四、解答题(★★)15.已知，，与的夹角为．(1)求；(2)当为何值时，？(★★)16.如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.(1)求证：平面PBD；(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距离.(★★★)17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

交付金额(元)

支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．(★★★★)18.阅读材料：极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（GirardDesargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.其中，极点与极线有以下基本性质和定理①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.根据上述材料回答下面问题：已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为，已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点，(1)若，，证明：极线恒过定点.(2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程(3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分