拓展专题04 抽象函数的八大常考考点8考点46题（高效培优期中专项训练）（解析版）高一数学上学期北师大版

3/27拓展专题04抽象函数的八大常考考点考点01抽象函数的定义域(共7小题 1考点02抽象函数求值（共4小题） 3考点03求抽象函数的值域（共4小题） 5考点04抽象函数的解析式（共5小题） 8考点05抽象函数的单调性（共3小题） 10考点06抽象函数的奇偶性（共5小题） 12考点07抽象函数的对称性（共7小题） 17考点08抽象函数的周期性（共6小题）（拓展） 21考点01抽象函数的定义域(共7小题1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用抽象函数定义域可得的定义域，结合分母不为零可得答案.【详解】因为的定义域为，所以的定义域为，因为，所以的定义域为.故选：C2．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意有，解不等式即可．【详解】函数的定义域为，则对于函数，应有，解得，故的定义域为．故选：B．3．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求．【详解】在中，，∴，∴的定义域是，故在中，解得，∴的定义域是.故选：A.4．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由即可求函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，故函数的定义域为.故选：B5．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数定义域的求法即可得解.【详解】设，依题意可得，解得，所以，所以的定义域为，对于，有，解得，即函数的定义域是.故选：B6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知的定义域为，则的定义域为．【答案】【分析】由抽象函数的定义域求法，可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，所以对于函数，有，解得，故函数的定义域为．7．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【分析】由函数的定义域为，可得，即的定义域为.【详解】函数的定义域为，，则，，函数的定义域为.考点02抽象函数求值（共4小题）8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】C【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果.【详解】定义在上的函数满足，取，得，则，取，得，于是，而，则，当时，，因此，，则，所以，.故选：C9．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，则等于（

）A．33 B．32 C．31 D．30【答案】D【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得.【详解】令，则，令，则，则，所以①．所以，则，又因为，所以，，所以②．①－②，得，所以．所以．故选：D．10．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，对任意，有，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由赋值法可令，求得，再令，求得的解析式，运用数列的裂项相消法求和，计算可得所求和.【详解】在中，令，得；令，得，所以．所以，所以.故选：A．11．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合题意，令可得，进而利用累加法及等比数列的前和公式求解即可.【详解】由，则，则，将以上各式相加得，所以.故选：D.考点03求抽象函数的值域（共4小题）12．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案.【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和，令，解得，所以函数的定义域为，又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象，所以函数与函数的值域相同，即.故选：D.13．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【详解】因为函数的值域是，所以函数的值域是，令，则，由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，而，，，则，即函数的值域是.故选：B.14．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则函数的值域为.【答案】【分析】函数可由的图象向左平移得到，由此知的值域.【详解】因为函数的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，所以函数的值域为.15．（23-24高二下·河北保定·期末）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为.【答案】，【分析】根据抽象函数的定义域的求法及函数值域的概念求解即可.【详解】由函数的定义域和值域均为，所以要有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，因为，所以，所以，即值域为.16．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是.【答案】【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象，因此函数的值域为，则函数的值域是.17．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为.【答案】【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域.【详解】对，令，则，解得；对，令，则，又为偶函数，，故，解得。又，故其值域为.18．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知满足，且，则的值域为【答案】【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由函数满足，且，令，可得，因为，可得，再令，可得，所以，令，可得，即，再令，可得，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以的值域为.19．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于．【答案】【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案.【详解】，①．则交换可得，,化为②由①②可得③，③中令可得，化简可得，当时等号成立，所以的最大值等于．考点04抽象函数的解析式20．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数．【答案】【分析】运用赋值法可求解.【详解】由①，在①中，令可得②，在②中，令，则③，由②可得，④，由①可得，⑤，由②可得，⑥，则由③④⑤⑥可得，，即，因，则.21．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为.【答案】【分析】根据，令，得，依次可得，，，累加可得函数解析式.【详解】函数的定义域为，且满足，取，得，所以，，，，以上各式相加得．22．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为．【答案】【分析】根据题设，进行赋值即可求解.【详解】是定义在上的函数，，且对任意，，恒成立，令，得，则，此时，而，则，满足题意，所以.23．（2025高三·全国·专题练习）设，函数满足，函数的解析式为.【答案】【分析】利用已知条件重新构造一个方程联立方程组解出即可.【详解】由，，①将换成得：，②①②得：，即，24．（24-25高二下·浙江·期末）定义在上的函数满足且是一个增函数，请写出满足条件的一个函数.（写出一个即可）【答案】（只需符合即可）.【分析】令，可得，推导出函数为奇函数，然后验证满足题设条件，即可得出结果.【详解】因为定义在上的函数满足，则，令，可得，令可得，由题意可得，令，则，则函数为奇函数，函数为增函数，则函数为增函数，可取，则，满足要求，故满足题意.考点05抽象函数的单调性25．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可．【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，设，由，解得或，所以在上单调递减，所以的单调减区间为.故选：B.26．（24-25高一上·辽宁·期中）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（

）A．在上为增函数 B．在上为减函数C．在上为增函数 D．在上为减函数【答案】D【分析】利用特殊函数排除A、B、C，即可得答案.【详解】由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，排除B，、在R上不是单调函数，且后一个函数定义域不为R，排除A、C，若函数在上为增函数，则在上为减函数，D对.故选：D27．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为．【答案】【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案.【详解】设，令，则，即函数的定义域为，结合题意知的定义域为；函数是定义在上的单调递减函数，故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间，而在上单调递减，故在上的单调递减区间为，则的单调递增区间为.考点06抽象函数的奇偶性28．(多选)（24-25高一上·陕西榆林·期末）设函数的定义域为，，，若，，则（

）A．， B．是偶函数C．在上单调 D．可能是奇函数【答案】AB【分析】根据绝对值得意义可判断A，根据偶函数定义及性质判断B、C，利用反证法可判断D.【详解】因为，所以，故A正确；由，得，所以是偶函数，根据偶函数的对称性可知，函数在不上单调，故B正确，C错误；若是奇函数，结合选项B知，，所以，即，这与矛盾，故D错误.故选：AB.29．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（

）A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数【答案】C【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，B；举反例判断C；根据单调性的定义判断D．【详解】对于A，令，则，所以为偶函数，即是偶函数，故A正确；对于B，令，则，所以是偶函数，即是偶函数，故B正确；对于C，取，则在R上单调递减，则，在R上单调递增，故C错误；对于D，因为是单调递增函数，任取，且，则，所以，所以也是单调递增函数，故D正确.故选：C.29．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（）A． B．可能是单调递减函数C．为奇函数 D．若，则【答案】B【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误.【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时.对于A，令，则或，若，则对，取，都有，不满足单调函数性质，故，故A正确；对于B，令，则或由，则舍去，得，因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误；对于C，令，则或（舍），则，取，则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确；对于D，令，则，令，则，则，故D正确.故选：B30．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（

）A． B． C．为增函数 D．为奇函数【答案】C【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD.【详解】对于A，令，则，又因为，所以，令，则，解得，故A错误；对于B，令，则，又，解得，故B错误；对于C，令，则有，又因为，所以，所以函数为单调递增函数，故C正确；对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误.故选：C.31．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，.(1)求的值，并证明：是奇函数；(2)判断在上的单调性并证明；(3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)，证明见解析(2)在上单调递增，证明见解析(3)【分析】（1）用特值法可求出的值，再利用奇函数的概念即可证明；（2）利用定义法证明函数的单调性即可；（3）题设不等式恒成立可化简为对任意的恒成立，再利用换元法求出函数的单调性和最值，利用二次函数的图象的单调性结合定义域即可求解.【详解】（1）因为函数满足任意的实数，，都有，令，则，所以.令，则，所以，所以是奇函数.（2）在上单调递增.证明：设，且，所以，又，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增.（3）关于的不等式对任意的恒成立，即关于的不等式对任意的恒成立，由（2）可知在上单调递增，令，，所以，，令，，当，即时，在上单调递增，所以，解得，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；当，即时，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，不符合题意.综上，的取值范围是.32．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意,都有；②对任意且，都有.请解答下列问题：(1)求的值；(2)判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明；(3)证明：对任意正整数，.提示：①.；②..【答案】(1)(2)奇函数，在上单调递减，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据赋值法令，可求得；（2）通过赋值令，可得是奇函数，可得，再结合条件即可证明单调性；（3）根据题目中提示将化简为，再消项求和，根据单调性判断，得证.【详解】（1）令得：；（2）令得：，是奇函数，在上单调递减.下面证明：任取且，，，且，则而，则，在上单调递减；（3）由、知在单调递减，，当时，，，则得证.考点07抽象函数的对称性（共7小题）34．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系.【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，，所以关于直线对称，所以，又因为在上单调递增，所以.故选：B35．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式.【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称，又函数在上单调递减，则不等式，即，解得，所以所求不等式的解集为.故选：D36．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解.【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称，又由，都有，根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减，结合对称性知：函数在上单调递增，因为，所以，又因为，所以.故选：B.37．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由条件推出在上单调递减，又由函数为偶函数，推出的图象关于直线对称，由对称性和单调性即可得的大小关系.【详解】因为的定义域为R，且对任意的，有，设，则有，所以在上单调递减.又因为函数为偶函数，即，所以的图象关于直线对称，所以，则.故选：B.38．（25-26高三上·湖南·开学考试）定义在上的函数的图象关于点对称，且有，当时，恒有，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数关于点对称可得，根据赋值法可得，结合单调性，可得当时，恒有，再利用递推式计算即可．【详解】在中，令，得．因为函数的图象关于点对称，所以．令，则，所以．又，所以．在中，令，得，所以．又由已知，在上是不减的函数，所以当时，恒有．由，得．所以．因为，所以．故选：C．39．（多选）（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）已知函数的定义域为，且，下列说法正确的是（

）A．B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，【答案】AB【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质逐项判断即可确定答案.【详解】由题意可知：函数是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称.对A：令，则，故A正确；对B：根据奇函数图象的对称性，若在上有最小值－1，则在上有最大值1，故B正确；对C：根据奇函数图象的对称性，若在上为增函数，则在上也为增函数，故C不正确；对D：设，则，所以，又，所以（）.故D不正确.故选：AB40．(多选)（24-25高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足，且在上是增函数，则下列结论正确的是（

）A． B．在上是减函数C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称【答案】ABC【分析】利用赋值法可判断A，利用抽象函数的对称性与单调性可判断B，利用抽象函数的对称性的判定可判断C，利用反例排除D，从而得解.【详解】对于A，由得，又，则，A正确，对于B，由于故是奇函数，由在上是增函数可得在上也是增函数由，因此关于对称，故在上是减函数，B正确，对于C，由，则，故关于对称，结合为奇函数，故的图象关于对称，故C正确，对于D，因为，所以，又在上是减函数，所以，故，即，则不是的对称轴，故D错误.故选：ABC.考点08抽象函数的周期性（共6小题）（拓展）41．（多选）（25-26高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，的定义域均为，，关于直线对称，且，若，则（

）A． B．的图象关于点中心对称C．是偶函数 D．【答案】ABC【分析】根据函数的性质，结合题给条件得出是周期为6的偶函数，从而判断出选项C，再根据函数的性质结合已知条件逐一判断其余各选项．【详解】关于对称，，令，则①，，令替换为，则，周期为6，，令替换为，则，又，，即，令替换为，则②，联立①②得：，即，为偶函数，选项C正确．选项A：，令，则，解得，选项A正确．选项B：为偶函数，，，令替换为，则，即，，即图象关于点中心对称，故B正确．选项D：周期为6，，，，，，即一个周期的和为0，到共项，共个周期余4项，前项和为0，剩余4项，，，，剩余项和为，，令，则，即，，故D错误．故选：．42．(多选)（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，对，都有，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（

）A． B．的一个周期为4C． D．在区间上单调递增【答案】ABC【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期，再根据已知等式求出函数的一条对称轴，然后逐一判断即可.【详解】A：因为函数为定义在上的奇函数，所以，在中，令，则有，因此本选项说法正确；B：因为函数为定义在上的奇函数，所以有，而，所以有，即有，则有，所以函数的周期为，因此本选项说法正确；C：因为奇函数的周期为，所以，因此本选项说法正确；D：当时，，，由，所以该函数的一条对称轴为，又因为在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，在区间上单调递减，因此本选项说法不正确，故选：ABC43．(多选)（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（

）A．一个对称中心为 B．的一个周期为2C．的图象关于对称 D．【答案】ACD【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由，两边求导可得的图象关于对称，结合条件可得，由周期函数的定义得解；对C，由的图象关于对称，周期为4，可判断；对D，将代入，可得，将代入结合可得，结合函数的周期性运算得解.【详解】对于A，由满足，则关于中心对称，故A正确；对于B，由，两边求导可得，即，所以的图象关于对称，又等价于，，所以，，即的一个周期为4，故B错误；对于C，因为的图象关于对称，周期为4，所以的图象关于对称，故C正确；对于D，将代入，可得，将代入，得，又，所以，，所以，又，所以，故D正确.故选：ACD.44.(多选)（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则（

）A．函数的图象关于对称 B．是周期为4的函数C． D．是奇函数【答案】ABD【分析】由的图象关于点对称，根据对称性可得，可判断D；由已知可得判断A；由已知等式推出，可推出函数的周期，判断B；再结合赋值法可判断C.【详解】函数的定义域均为