拓展专题05 函数不等式恒成立、能成立与实根分布的九大常考考点9考点50题（高效培优期中专项训练）（解析版）高一数学上学期北师大版

1/29拓展专题05不等式恒成立、能成立及根的分布的九大常考考点考点01一元二次不等式在R上恒成立问题（共5小题） 1考点02一元二次不等式在给定区间上恒成立问题(共8小题) 3考点03一元二次不等式在R上能成立问题（共4小题） 7考点04一元二次不等式在某区间上能成立问题（共6小题） 8考点05基本不等式中的恒成立和能成立问题（共8小题） 12考点06函数不等式的恒成立和有解问题(共4小题) 15考点07双变量问题(共4小题) 18考点08一元二次不等式的“0”根分布(共5小题) 20考点09一元二次方程的“k”根分布（共5小题） 24考点01一元二次不等式在R上恒成立问题（共5小题）1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由判别式即可求解.【详解】由题意可得：，解得：，所以实数的取值范围为，故选：A2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式恒成立，讨论是否为分别计算得出，再结合充分不必要条件定义判断求解.【详解】因为，当时，恒成立符合题意；当时，，可得；所以；“”是“”的充分不必要的条件；所以“”是“”的充分不必要的条件.故选：A.3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）命题：，为真的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得.【详解】因命题为真，故在上恒成立，故，解得，故命题为真的一个充分不必要条件为的子集，故选：B4．若对，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，分和两种情况讨论，分别求出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.【详解】令，，依题意可得，恒成立，当时，则，解得；当时，则，解得；综上可得的取值范围是.故选：B5．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是．【答案】【分析】把函数中的x的取值范围为R，转化为对任意实数恒成立．然后对分类讨论得答案．【详解】由已知恒成立，当时符合题意，当时，，，综上所述，考点02一元二次不等式在给定区间上恒成立问题(共8小题)6．若，为真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】主元变换，构造关于的函数.根据函数性质，只需与都大于即可.【详解】由题意知，，恒成立，设函数，即，恒成立.则，即，解得，或.故选：C.7．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（

）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解.【详解】，恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，又，当且仅当，即时取等号，所以，则实数的最大值为.故选：C8．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知不等式的解集若对，不等式成立，则实数m的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．8【答案】C【分析】根据题意结合三个二次之间的关系列式求参数，恒成立问题结合二次函数的性质列式求的取值范围，即可得结果.【详解】不等式的解集为，则方程的两根为，，且，所以，解得，不等式，即为，故不等式对恒成立，∵二次函数的对称轴为，则有：①，解得；或②，无解；综上所述：，所以实数的最大值为．故选：9．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意得，，分离参数得，再结合二次函数的性质即可求解.【详解】因为命题“，”是假命题，所以，，,因为，所以在上恒成立，函数在上单调递增，所以当时，有最小值1，故的最大值为2，所以.故选：D.10．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为．【答案】【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解.【详解】因为不等式对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，又当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，所以实数a的最小值为.故答案为：.11．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据二次函数的开口方向，得到，求出答案.【详解】开口向下，要想在上恒成立，只需，解得，故实数的取值范围是故答案为：12．（23-24高三上·河南信阳·月考）若对于恒成立，则实数x的取值范围为．【答案】.【分析】令，则由题意可得，解不等式组可得结果.【详解】令，因为对于恒成立，所以，即，解得，所以实数x的取值范围为，故答案为：.13.已知关于的不等式．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，且不等式对一切都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为不等式的解集为，可知和是方程的两根，且由根与系数的关系得：，解得：.（2）由题意可知：二次函数在内的图象均在x轴下方，且，则，解得：，所以实数的取值范围是考点03一元二次不等式在R上能成立问题（共4小题）14．（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意，当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意，当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得，综上可得，故选：A15．（23-24高三上·福建龙岩·月考）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件得到，即可求解.【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根，所以，即，解得或，故选：D.16．（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件【答案】B【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可.【详解】若关于的不等式有解，则，得由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件故选：B．17．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知命题；命题．(1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若和都为真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式之间的关系，即可利用判别式求解为真时的范围，可得为假时的范围；（2）根据一元二次不等式有解求为真时的范围，结合（1）即可求交集得解.【详解】（1）若命题为真，则，即，解得：，而是真命题，所以命题为假命题，所以或.（2）由（1）知，命题为真时，；若为真命题，则，解得或.故命题和命题都为真命题，则，解得或，即实数的取值范围为或考点04一元二次不等式在某区间上能成立问题（共6小题）18．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）“，成立”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式能成立得命题对应，再根据充分、必要性定义判断关系，即可得.【详解】由，成立，只需在上能成立，所以，所以是的必要不充分条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的既不充分也不必要条件.故选：C19．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案.【详解】由题，，，即，即在上有解，设，则，，易知函数在上单调递增，在上单调递减，，则，所以.故选：B.20．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解.【详解】由，可知有解，且无最大值，即有解，且无最大值，当时，有解，无最大值，符合题意；当时，有解，但有最大值，不符合题意；当时，有解需满足，解得，此时无最大值，满足题意.综上，实数a的取值范围是.故选：A21．（25-26高三上·湖北·阶段练习）当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出当时，关于x的不等式有解的充要条件，再根据充分不必要条件与充要条件的关系得出答案.【详解】当时，关于x的不等式有解，即在上有解.令，，所以，则，代入得，当且仅当时取等号，此时，的最小值为6.故当时，关于x的不等式有解的充要条件是，所以满足题意的充分不必要条件是的真子集，选项中只有C符合故选：C22．（25-26高一上·海南·开学考试）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将不等式化为，令，即.然后分和两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算取、、、时的函数值，画出函数的部分图像，数形结合即可得解.【详解】根据题意，函数，不等式，即，变形可得，令函数，所求即．当时，，所以在上上单调递减，在上单调递增，且，，．当时，，在上单调递减，且．可以绘制出函数图像．

结合图像和取、、、时的值可知，要使的解集中有且仅有两个整数，这两个整数解只能是和，所以的取值范围为．故选：C23．（24-25高三上·浙江温州·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】首先由题意可知关于的不等式在上有解，作出函数和函数的图像，然后考虑直线与函数的图像相切，以及直线过点，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】关于的不等式在上有解，即关于的不等式在上有解，作出两函数与的图像，如下图：

当与相切时，则，即，由，解得：；当过点时，得.由图可知，，因此实数的取值范围为.故答案为：考点05基本不等式中的恒成立和能成立问题（共8小题）24．（24-25高三上·山东济宁·月考）设，若恒成立，则k的最大值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可.【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）；所以又由恒成立，故，则k的最大值为8.故选：D．25．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案.【详解】因为正实数,满足，所以，则：，当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．故选：B．26．（24-25高三下·重庆·月考）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围.【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立，又，当且仅当时取等号，故.故选：A27．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根据题意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，转化为不等式，即可求解.【详解】由两个正实数满足，得，则，当且仅当，即时取等号，又由不等式有解，可得，解得或，所以实数的取值范围为或.故选：B.28．（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解.【详解】由不等式恒成立，即，，，且，，当且仅当，即时取等号，，，即，解得，故实数的取值范围是.故选：C29．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对【答案】B【分析】由题意可得，求得即可.【详解】因为x，，所以，所以，又，当且仅当时，取等号，所以，所以实数a的最小值是.故选：B.30．（24-25高三上·上海·期中）若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】变形可得，利用基本不等式求得的最小值即可.【详解】因为、为正实数，所以，所以由，可得，又，当且仅当，即时取等号，因为对任意正实数、，不等式恒成立，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：.31．已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是.【答案】【分析】先由得，由基本不等式进而可得.【详解】因，是正实数及，可知，可得，得，得，因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立，故，故，故，故，故答案为：考点06函数不等式的恒成立和有解问题(共4小题)32．（24-25高三上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得.【详解】设，当时，，故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立，设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减，故，得，故选：D33．（24-25高三上·江苏·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得，再将存在问题转化为最值问题进行求解即可.【详解】由函数为上的奇函数，则，又在上单调递增，则在上单调递增，则，则，使得，，使得，即，在有解，则，，令，则，又，则，，即，则，故选：B.34．（2025·云南曲靖·一模）已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】首先作出的图象，即可求出在的取值范围，依题意可得，结合图象可得的解集，即可得解.【详解】因为，则定义域为，所以的图象是取与图象位于下方的部分，作出的图象如下所示（实线部分）：当时，显然在上单调递减，且；因为，使得关于的不等式成立，所以，令，解得，结合图象可得的解集为或，即实数的取值范围是.故答案为：35.已知函数，其中.（1）若不等式对于一切实数均成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数的最大值为，求实数的值.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）∵不等式对于一切实数均成立，∴即对于一切实数均成立，∴即，∴解得或，∴的取值范围为.（2）对称轴为，①当时，在单调递减，∴，又∵当时，函数的最大值为，∴解得或，∴；②当时，在单调递增，在单调递减，∴，显然，不符合题意；③当时，在单调递增，∴，又∵当时，函数的最大值为，∴，解得或，∴；综上所述，或.考点07双变量问题(共4小题)37．（24-25高三上·吉林四平·期中）已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】若“，，使得成立”则，.即在上恒成立，分离参数利用基本不等式求解最小值即可.【详解】当，有.，，使得成立，等价于，.即在上恒成立，参变分离可得.当，，当且仅当时取等号，所以，故选:C.38．（23-24高三下·山东德州·月考）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得的值域，根据二次函数的性质求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解.【详解】，，，，设，则，则函数等价为，由对勾函数的单调性可得，时，单调递减，时，单调递增，当时，函数取得最小值，，当时，，当时，，设函数的值域为，则函数的值域；由，在上是减函数，则最大值为，最小值，，设的值域为，则，若对于任意，总存在，使得成立，则等价为，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D．39．已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据的解析式求出其值域，分类讨论求出的值域，结合两值域的关系可得答案.【详解】当时，记和的值域分别为集合，.当时，，当时，，所以函数的值域为.因为对，，使得成立，所以.又函数在区间上单调递增，所以，则，解得.故选：C.40．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是.【答案】或【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案.【详解】，，满足不等式，故只需，其中，当且仅当时，等号成立，关于的函数，当且仅当时，等号成立，所以，解得或，综上，实数m的取值范围是或，故答案为：或考点08一元二次不等式的“0”根分布(共5小题)41．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数，方程有两个小于1的不等正根，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】法1，由已知结合可得，分和讨论求解；法2，极端原理；法3，将二次函数设成两根式形式，根据条件写出两根式形式的关系式，将分离出来，然后利用基本不等式求出最值即可.【详解】解法1：由条件应有，由，得，所以，可得，若，则当时，，矛盾；所以，即，所以的最小值为5.解法2：考虑极端情况，由得，由得，从而，此时，方程两根是等根，所以.所以的最小值为5.解法3：设方程两个小于1的不等正根为，故设，又，所以，即，所以，，，故，所以.故选：D.42．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程的两根都是正数，则实数的取值范围是（

）．A．或 B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，结合函数图象，从对称轴、判别式、特殊点的函数值三个角度列不等式求解即可得.【详解】设，根据题意，作出的图象(如图).则，即，解得或．

故选：A.43．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】转化为函数和函数的在y轴的右侧至少有一个交点问题，结合图像判断得到.【详解】不等式变形为，转化为当时，函数的图象上至少有一个点在函数图象的下方．作出函数和的图象，如图．当函数的图象与函数的图象在轴右侧相切时，得有一个解，令，即．当函数的图象过点时，得．所以，得．故选：D．44．(多选)（2025高一·全国·专题练习）（多选题）已知关于的方程有正实数根，则实数的取值范围不可能为（

）．A． B．C．且 D．【答案】BCD【分析】解法1：利用检验法可得结论；解法2，利用分离变量法可求得的范围；解法3，设，可得方程有大于1的根，分类讨论可求得的范围；解法4，设，方程有大于1的根．，分类讨论可求得的范围.【详解】解法1：，当时，无解，选项B不可能．当时，，方程即，即，无解，选项D不可能．当时，，方程即0，即，得或，无正根，选项C不可能．解法2：由题意可知，，因为，所以，从而，故，A正确BCD错误．解法3：设，则原问题转化为方程有大于1的根，显然，当时不成立．判别式．①当时，，方程即，得，无解．②当时，，，．（i）当时，，所以，解得，与矛盾．（ii）当时，，所以，解得．若，则恒成立；若，则，，可得，结合，得．③当时，，方程无解．综上所述，，A正确BCD错误．解法4：设，则原问题转化为方程有大于1的根．设，则，．①当，即时，函数图象开口向上．（ⅰ）当时，，，不满足题意．（ⅱ）当时，，则有无解．②当，即时，函数图象开口向下．当时，，则有，得．综上所述，，A正确BCD错误．.故选：BCD．45.已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】利用一元二次方程的特点及判别式，结合韦达定理即可求解.【详解】因为一元二次方程有一正根和一负根，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：.考点09一元二次方程的“k”根分布（共5小题）46．（2025高一·全国·专题练习）若方程在上恰有一根，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可.【详解】设，当时，令时不满足条件，所以，因为，所以要使得方程在上恰有一根，则，解得，故选：B．47．（2025高一·全国·专题练习）若方程两根都大于2，则的取值范围为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，画出图象，因为方程的两根都大于2，所以两根在同一区间内，所以要考虑对称轴、判别式、特殊点的函数值三个因素．【详解】令，其对称轴方程为．由方程的两根都大于2，有，解得．故选：A．17．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根，，且，，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质列出不等式，然后求出解集即可.【详解】令，由题意，则，得解得．故选：D．48.关于的方