专题01 指数及指数函数的八大常考题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

2/37专题01指数及指数函数的八大常考题型题型一：利用根式的性质化简或求值 1题型二：指数幂的运算 3题型三：指数函数的定义域、值域及详解式 5题型四：指数函数的图象及应用 9题型五：指数函数的最值及应用 12题型六：指数函数的奇偶性及应用 17题型七：指数函数的单调性及应用 20题型八：指数函数性质的综合应用 25题型一：利用根式的性质化简或求值1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，即，，.故选：A.2．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.3．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案.【详解】．故选：A．4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可.【详解】因为，则．故选：B.5．求下列各式的值；(1)；(2)．【详解】（1）=．（2）原式=因为，所以，当，即时，当，即时，,所以.题型二：指数幂的运算6．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（

）A．14 B．21 C．42 D．48【答案】C【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】，故选:C.7．（25-26高一上·全国·开学考试）已知：，，则值是（）A．12 B．6 C．7 D．5【答案】A【分析】利用指数幂的运算性质将表示成，，代入计算即可.【详解】因为，，所以，故选：A．8．已知，，则的值为（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】D【详解】.故选:D.9．(多选)下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】对选项A：，错误；对选项B：，正确；对选项C：，正确；对选项D：，错误；故选：BC10．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】对于A，原式，A正确；对于B，原式，B正确；对于C，原式，C错误；对于D，原式，D正确．故选：ABD．11..【答案】【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.【详解】,故答案为：12．化简求值：(1)；(2)；(3).【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式.13．（1）计算：；（2）已知且，求下列各式的值：①；②．【详解】（1）原式；（2）①因为，所以，即，所以；②因为，又因为，所以题型三：指数函数的定义域、值域及详解式14．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·月考）如果函数和都是指数函数，则（

）A． B．1 C．9 D．8【答案】D【详解】根据题意可得，，则.故选：D15．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可.【详解】函数的定义域满足，解得且．则函数定义域为，故选：D16．设函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的定义域后可求的定义域，【详解】因为，所以，故，故的定义域为，令，则，故的定义域为.故选：D.17．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解.【详解】由题意可得对任意恒成立，即，且在内单调递增，可得，即对任意恒成立，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：B.18.（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，因为，所以，则，令，，所以当时取得最小值，且，又，，所以，即函数的值域是.故选：C19.（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则在上单调递减，∴，又，∴的值域为.故选：A.20．将函数的值域为.【答案】【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案.【详解】由于，故且，故函数的值域为，21.（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为．【答案】【详解】设，由得，，所以，则，因为在上单调递减，所以，故答案为：．22．已知函数的值域为，则的取值范围是【答案】【详解】当时，，当时，，函数的值域，不成立，当时，，，单调递减，，函数的值域，不成立，当时，，，单调递增，，函数的值域是，所以，解得，所以.23.已知函数的值域为，且，则.【答案】3【详解】因为，所以，则，因为函数的值域为，所以，此时，因为，所以，解得，则.24．已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)判断并证明的奇偶性.【详解】（1）函数的定义域为R.，，，，函数的值域为；（2）定义域为R，关于原点对称，，所以函数为奇函数.25．已知函数是偶函数，当时，.(1)当时，求函数的详解式；(2)当时，求函数的值域.【详解】（1），则，结合题意得，是偶函数，，时，.（2）由（1）知当，当，的值域为.题型四：指数函数的图象及应用25．（23-24高一下·广东茂名·月考）函数与的图象（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】C【详解】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称.故选：C．26．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点，即，此时，由于由向下平移2个单位得到，且过点，由此可知不过第二象限.故选：B27．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由图象可知，函数为减函数，从而有；法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，令，得，由，即，解得.法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，则，即.故选：D.28．（24-25高一上·湖北宜昌·期中）函数与的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，函数单调递增，当时，，故选：A29．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案．【详解】则的图象如图所示：

∵，∴若，则，这与已知矛盾．同理，也不成立，∴只有或这两种情况．∴，故B一定不成立，A成立；又，即，∴，故D一定成立，C一定不成立．故选：BC．30．（25-26高一上·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点．【答案】【分析】根据指数函数的定义及题目条件求得函数的详解式，再利用“上加下减，左加右减”的图象平移原则进行计算，得到函数的详解式，即可得出结果.【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得，所以．将函数的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，再向上平移4个单位长度，得到的图象．令，得，此时，所以的图象过定点.31．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为.【答案】4【详解】依题意，，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立.题型五：指数函数的最值及应用32.已知正数满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】正数满足，则，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故选：B33．已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，仅当时取等号，若，则，若，则；当时，，若，则，若，则，当且仅当时取等号若，则，其最小值为，当时，，，解得，因此；当时，，，符合题意，因此；当时，，函数无最小值；当时，，，解得，因此；当时，，，解得，矛盾，所以的取值范围为.故选：D34．已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（

）A．或2 B．或2 C．2或 D．或【答案】D【详解】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数.∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为，∴，解得，符合题意.②当时，函数在上是增函数，在上是减函数.∵，∴函数的最大值为，而，，当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解；当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意.综上所述，实数的值为或.故选：D35．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，，且为偶函数，为奇函数所以所以，即因为，所以，.因为当时，所以当时，不等式恒成立等价于当时，恒成立，即当时，恒成立，令，由于函数在单调递增，所以根据复合函数单调性得在单调递增，所以，所以当时，恒成立时，.所以的最小值为.故选：A36．对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”．已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：由已知得，∴，∵，当时，由得，∴，∴，；当时，显然符合题意；当时，，，∴，∴，．综上所述：．故选：A．37．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为是定义在上的“倒戈函数，存在满足，，，构造函数，，令，，在单调递增，在单调递减，所以取得最大值0，或取得最小值，，，，故选：A．38．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（）A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是C．的最大值是 D．的最小值是【答案】ACD【详解】设，，则是增函数，且，又函数在上单调递增，在上单调递减，因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；，故C正确；，，因此的最小值是，故D正确．故选:ACD．39．已知函数在区间上的最大值是7，则.【答案】或【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可.【详解】设，又，若，则，函数，对称轴为，则，即时，，解得或（舍）；若时，，函数，对称轴为，则，即时，，解得或（舍）；40．已知指数函数的图象经过点.(1)求函数的详解式并判断的单调性；(2)函数，求函数在区间上的最小值.【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则，解得，因此，，由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数；（2），令，因为，则，令，，关于对称，当时，函数在上单调递增，此时，，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，，当时，函数在上单调递减，此时，，综上：.41．已知函数.(1)当时，求在上的最值；(2)设函数，若存在最小值，求实数的值.【详解】（1）当时，，设，则，开口向上，对称轴，所以函数在上单调递减，上单调递增，所以，，所以在上的最小值为，最大值为8.（2），设，当且仅当，即时取得等号，所以，，对称轴.当，即时，，在上单调递增，则当时，，解得，不满足题意；当，即时，在上单调递减，上单调递增，所以时，，解得或（舍去），综上，实数的值为6.题型六：指数函数的奇偶性及应用42.（23-24高一下·云南·期中）已知是奇函数，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【详解】由题意得，即，从而，故选：A．43．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【详解】因为奇函数，所以，即，得到，所以，当时，的定义域为关于数0对称，符合意义，所以.故选：B.44．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】由f−x=fx当时，，定义域为，关于原点对称，故符合题意，故选：B.45．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数是偶函数，则实数m的值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【详解】函数的定义域为，由函数是偶函数，得，即，而，则，解得，所以实数m的值是.故选：D46．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数，则（

）A．为偶函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为非奇非偶函数【答案】BD【详解】函数，，令，，，所以为非奇非偶函数，故A错误；，令，，所以为偶函数，故B正确；，令，，，所以fx−1，令，，，所以为非奇非偶函数，故D正确.故选：BD47．已知是定义在上的奇函数.(1)求的详解式；(2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，即，又，化简得：，，而此时，，（2）令，∵且单调递减，∴在上单调递减，又∵在上单调递减，在上单调递减且的最大值是，又令，对于任意，存在，使得，等价于成立，即成立，，则在上单调递减，，故，解得，综上所述，实数的取值范围为.题型七：指数函数的单调性及应用48．（24-25高一上·北京·期中）设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：A.49．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在上单调递增，所以，所以，又因为在上单调递减，所以，所以，故选：D.50．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知条件，条件，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由得：；由得：，解得：或；，，是的充分不必要条件.故选：A.51．（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，设,则为增函数，求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间，函数的对称轴为，则函数在上是增函数，则的单调递增区间是，故选：D.52．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，解得，所以函数的定义域为，因为开口向下，对称轴为，可知在上单调递增，在上单调递减，且在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为.故选：B.53．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.54．（23-24高一上·重庆·月考）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知函数由复合而成，在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，可知在区间上是增函数，故，即实数的取值范围是，故选：B55．(多选)已知函数，，下列成立的是（

）A．若是偶函数，则B．的值域为C．在上单调递减D．当时，方程都有两个实数根【答案】ACD【详解】对于A选项，由于是偶函数，则即可得，故A正确.对于B选项，注意到，又在R上单调递增，则值域为，故B错误.对于C选项，由B选项可知，在上单调递减，又在R上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”可知，在上单调递减，故C正确.对于D选项，由选项B，C可知，在上单调递增，在上单调递减，据此可画出大致图像如下，由图可知图像最高点所对应的纵坐标为.则当时，与图像交点个数为2，即方程都有两个实数根，故D正确.故选：ACD56．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】结合指数函数性质证明函数在上单调递增，当时，，不等式在上恒成立可转化为在上恒成立，令，结合基本不等式求的最小值，由此可得结论.【详解】因为函数，在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以当时，，由已知在上恒成立，得，即在上恒成立，令，则，所以在上恒成立，所以，其中，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以a的取值范围是.57.（24-25高一上·全国·课后作业）在函数中，已知，若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是．【答案】【分析】根据指数函数性质，利用在上是奇函数，可得，计算可求得，利用单调性结合已知可求得a的取值范围.【详解】由是上的奇函数，得，解得，因为，所以，又在上是增函数，所以是增函数，所以,综上可得的取值范围是.故答案为：58．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是．【答案】．【分析】，可判断为奇函数，且单调递减，等价于，故得到，解不等式即可.【详解】令，，又定义域为，为奇函数，所以不等式等价于，又为奇函数，且均单调递减，所以单调递减，．59．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是.【答案】【分析】先判断出为减函数，利用函数的单调性，再列不等式组即可得出结果．【详解】因为对任意的，均有，即，所以在上单调递减．由单调递减得，因为指数函数单调递增且恒大于零，则由单调递减可得，故，解得，故的取值范围是．60．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交．(1)求的详解式；(2)设函数，在平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间．【分析】（1）根据函数图象的性质及所过的点求参数值，即可得详解式；（2）由（1）确定的详解式，画出其函数图象，并确定递增区间.【详解】（1）当x无限减小时，无限接近0，但不会等于0，由题设，因为的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以．由，得，解得，故；（2）由（1）知，图象如下：

由图知，该函数的单调递增区间为.题型八：指数函数性质的综合应用61．（24-25高一上·广东·期中）若函数满足且，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得即故函数为单调递增函数，又，故时，解得，因此，的解集是，故选：D62.(多选)（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）已知函数，则正确的是（

）A．的值域为B．的解集为C．的图象与的图象关于轴对称D．若关于的方程有且仅有一实根，则【答案】AC【详解】A：因为的值域为，所以的值域为，故A正确；B：因为，且在上单调递增，所以，解得，故B错误；C：关于轴对称的函数为，即为，所以的图象与的图象关于轴对称，故C正确；D：作出的图象如下图所示：当与仅有一个交点时，此时关于的方程有且仅有一实根，由图象可知，或，故D错误；故选：AC.63.（多选）（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，则以下结论不正确的是（

）A．B．C．若，且，则D．若，且，则【答案】ACD【分析】选项A，由可得；选项B，由得，进而可得；选项C，由，根据可得，进而可得，进而可得；选项D，由和得，进而由选项C可得.【详解】选项A：因，故，故A结论错误；选项B：因，故，故B结论正确；选项C：，故由得，得，整理得，即，故当时，或，故C结论错误；选项D：由得，由得，得，由选项C可知D选项结论错误，故选：ACD64.（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．(1)求的值，并求出的详解式；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【详解】（1）因为是偶函数，所以，解得，当时，可得，可得，所以函数的详解式为.（2）由（1）知，当时，，因为在上恒成立，即，又因为，当且仅当时，即时等号成立，所以，即的取值范围是．65.已知指数函数