专题02 指数函数（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

PAGE1NUMPAGES38专题02指数函数教学目标1.指数函数的基本概念、图象与性质；2.体会研究一个函数的基本方法.教学重难点1.重点：指数函数的基本概念、图象与性质；2.难点：指数函数图象与性质的应用．知识点01指数函数的概念（重点）(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：

①的系数为1;

②底数a是大于0且不等于1的常数.【即学即练】1.（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数定义即可判断.【解析】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断：对于A：为幂函数，故A错误；对于B：中不能作为底数，故B错误；对于C：中系数不为1，故C错误；对于D：是指数函数，故D正确；故选：D2.（24-25高一上·全国·课前预习）若函数是指数函数，则．【答案】4【分析】由指数函数定义可得答案.【解析】因为指数函数，则，由，可得或，综上，.知识点02指数函数的图象与性质（重点）0<a<1a>1图象性质定义域R值域(0,+∞)过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1单调性在(−∞,+∞)上是减函数在(−∞,+∞)上是增函数函数值的变化范围当x<0时，y>1当x<0时，0<y<1.当x=0时，y=1当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1当x>0时，y<1.【即学即练】1.已知，且的图象如图所示，则等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由题中图象知，函数过，，则，所以．又，所以（负值舍去），故，．故选2.（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域为，值域是．【答案】，【解析】由题意知，解得，所以定义域为．因为，所以，所以．3.（24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是．【答案】【分析】解不等式，可得出原函数的定义域.【解析】要使函数有意义，则，变形可得，因为指数函数在上单调递增，则，解得，故函数的定义域是.知识点03底数对指数函数图象的影响（拓展）1.对函数值变化快慢的影响(1)当a>1时,指数函数y=ax是R上的增函数,且当x>0时,底数a的值越大,函数图象越“陡”,说明其函数值增长得越快.(2)当0<a<1时,指数函数y=ax是R上的减函数,且当x<0时,底数a的值越小,函数图象越“陡”,说明其函数值减少得越快.2.对函数图象变化的影响指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=bx(b>0,且b≠1)的图象的特点:(1)若a>b>1,则①当x<0时,总有0<ax<bx<1;②当x=0时,总有ax=bx=1;③当x>0时,总有ax>bx>1.(2)若0<a<b<1,则①当x<0时,总有ax>bx>1;②当x=0时,总有ax=bx=1;③当x>0时,总有0<ax<bx<1.3.指数函数图象在第一象限内的规律在第一象限内，指数函数的底数越大，指数函数图象越靠近于y轴，这个规律可简记为：底大图高.如图，①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，【即学即练】1．若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【答案】B【分析】】由题意，做出直线x＝1，结合图象可得结论．【解析】对于指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象，做出直线x＝1，结合图象可得，直线x＝1和指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx的图象的交点的纵坐标分别为a、b、c，且c＞a＞b，故选B．2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（）A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【答案】B【分析】作直线x＝1，根据直线x＝1与四个指数函数图象交点的纵坐标即可判断出a，b，c，d的大小关系．【解析】作直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），由图象可知纵坐标的大小关系为0＜b＜a＜1＜d＜c，故选B．题型01判断函数是否为指数函数【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数定义即可判断.【解析】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断：对于A：为幂函数，故A错误；对于B：中不能作为底数，故B错误；对于C：中系数不为1，故C错误；对于D：是指数函数，故D正确；故选：D判断一个函数是否是指数函数的方法牢记指数函数的标准形式必须是y=a(1)整个指数幂的系数必须是1或者可以通过指数幂的运算化简成1;(2)底数的范围：a>0且a≠1．【变式1-1】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列图象中，有可能表示指数函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可根据指数函数的定义和性质来逐一分析选项.【解析】指数函数的一般形式为（且），其具有以下性质：定义域为，值域为当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减.图象恒过点.观察图象可知，D有可能是指数函数图象.故选：D【变式1-2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，是指数函数；若是底数为的指数函数．则，且，解得，故“”是“为指数函数”的充分不必要条件．故选：C.题型02已知函数为指数函数求参【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）若函数是指数函数，则．【答案】4【分析】由指数函数定义可得答案.【解析】因为指数函数，则，由，可得或，综上，.已知函数为指数函数求参问题求解策略先由指数幂的系数为1，解出参数的值，而后通常利用a>0且a≠1或函数的单调性等其他性质来舍去其中一个值.【变式2-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为.【答案】3【分析】将点代入函数解析式计算即可求解.【解析】因为指数函数的图象经过点，所以，解得.【变式2-2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）函数是指数函数，则的值不可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值.【解析】因为函数是指数函数，则，解得.故选：ACD.【变式2-3】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为.【答案】27【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可.【解析】因为为指数式，则，解得或，又因为且，可得，即，所以.故答案为：27.题型03求指数函数的解析式【典例3】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数fx的图象过点4,81，则fx的解析式为（A．fx=xC．fx=1【答案】B【分析】设fx=ax，（a>0且【解析】设fx=ax，（因为函数fx的图象过点4,81，则f4=所以fx故选：B.求指数函数的解析式的方法对于这类问题，一般利用待定系数法设出函数的解析式为fx=ax（【变式3-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数fx的图象过点3,8，则fx的解析式为（A．fx=x B．fx=x1【答案】C【解析】设fx=axa>0则a3=8，得a=2，所以故选：C.【变式3-2】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数fx的图象过点3,8，则f2=【答案】4【解析】设fx=ax（a>0且解得a=2，故fx=2题型04根据指数型函数图象判断参数的取值范围【典例4】（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围.【解析】已知函数的图象经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得指数函数过定点，则函数过定点，即因为函数的图象经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即综上分析，可得故选：C.根据指数型函数图象判断参数的取值范围先由题干画出大致图象，通常将其与标准的指数函数进行比较，再利用图象平移变换及指数函数的单调性的结论从而得出答案.【变式4-1】（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a，b的范围.【解析】因为函数(且)单调递增，所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，，故选：B.【变式4-2】函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据指数函数单调性得到，根据得到.【解析】由于的图象单调递减，所以，又，所以，即，.故选：D．题型05指数型函数图象过定点问题【典例5】（24-25高二下·河北·期末）函数（，且）的图象恒过点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用，令，得，将代入函数中计算即可求得函数的图象恒过点.【解析】根据题意，函数中，令，得，将代入函数可得，即函数的图象恒过点.故选：A指数型函数图象过定点问题求解策略利用a0【变式5-1】（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，且）的图象过定点．【答案】【分析】根据，可得指数型函数定点.【解析】令得，此时，故函数（，且）的图象过定点．【变式5-2】已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】函数恒过定点，，解得，，在上为递增的奇函数，其图象经过第一第三象限及坐标原点，的图象不经过第四象限．故选：D．题型06指数函数的图象识别问题【典例6】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图象来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图象特征，函数在的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设函数在上，定义域关于原点对称，又因为，所以函数为奇函数，排除C选项，当时，，排除D选项，当时，，所以A不正确，B正确.故选：B.指数型函数图象的识别策略对于这类问题，可从特殊点、函数的单调性、奇偶性、对称性等角度入手，结合排除法求解，同时由于函数涉及到了指数函数，故往往还需考虑底数与指数函数图象之间的关系．【变式6-1】函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，且定义域为R，故为奇函数，排除B、D；时，都趋向于，且增长快于，所以趋向于0，排除C.故选：A【变式6-2】函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()【答案】D.【解析】当x=2时,y=8-e2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x2-e|x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x2-ex,求导得y'=4x-ex,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x0∈(0,2),使得y'=0,故选D.【点拨】对于函数图象的识别题，一般首选排除法，即通过函数的性质（尤其是奇偶性和单调性）及取特殊点的策略排除错误选项，从而得到正解.题型07指数型函数图象的变换问题【典例7-1】利用函数的图象，作出下列各函数的图象(l)f(x-1)；（2）f(|x|）；(3)f(x)-1;(4)-f(x);(5)|f(x)-1|.【分析】（1）将f(x)的图象向右平移1个单位；（2）保留f(x)在y轴右方图象，并对称至左边;(3)将f(x)的图象向下平移1个单位;(5)-f(x)与f(x)的图象关于x轴对称;(5)先作出函数f(x)-1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方.【解析】利用指数函数的图象及变换作图法可作所要作的函数图象,其图象如下：【点拨】利用平移变换作函数图象时,要明确平移方向及平移的单位长度;而利用对称法作函数图象时,要明确对称轴是哪条直线,点与点的坐标有何关系等.【典例7-2】（1）确定方程2x＝－x2＋2的根的个数．（2）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.【分析】（1）将求方程的根的个数问题转化为两个函数y=2x与y=－x2＋2图象的交点个数问题去求解；（2）根据条件确定直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1图象的位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果．【解析】根据方程的两端分别设函数f(x)＝2x，g(x)＝－x2＋2.在同一坐标系中画出函数f(x)＝2x与g(x)＝－x2＋2的图象，如图所示：由图可以发现，二者仅有两个交点，∴方程2x＝－x2＋2的根的个数为2.(2)当a>1时，通过平移变换和翻折交换可得y＝|ax－1|＋1的图象（如图①所示）,则由图可知1<2a<2，即eq\f(1,2)<a<1，与a>1矛盾；当0<a<1时，同样通过平移变换和翻折变换可得y＝|ax－1|＋1的图象（如图②所示），则由图可知1<2a<2.综上所述，实数a的取值范围为eq\f(1,2)<a<1.【点拨】(1)对于一些较为复杂的方程的根的个数问题，往往转化为某两个函数图象的交点个数问题去求解.(2)对于第(2)题，要注意底数的不确定性，因此作图时要分类讨论.指数型函数图象的变换问题求解策略1.平移变换(a>0,且a≠1)把函数y＝ax的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，则得到函数y＝ax＋φ的图象；若向右平移φ(φ＞0)个单位，则得到函数y＝ax－φ的图象；若向上平移φ(φ＞0)个单位，则得到y＝ax＋φ的图象；若向下平移φ(φ＞0)个单位，则得到y＝ax－φ的图象．即“左加右减，上加下减”．2.对称变换(a>0,且a≠1)函数y＝a－x的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称；函数y＝－ax的图象与函数y＝ax的图象关于x轴对称；函数y＝－a－x的图象与函数y＝ax的图象关于原点对称；函数y＝a|x|的图象关于y轴对称．【变式7-1】为了得到函数y=9×3x+5的图象,可以把函数y=3x的图象()A.先向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度B.先向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度C.先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度D.先向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度【答案】C【解析】∵y=9×3x+5=3x+2+5,∴把函数y=3x的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数y=9×3x+5的图象,故选C.【变式7-2】根据函数f(x)=12x的图象,作出函数g(x)=【分析】通过对称变换得到图象，再求其性质.【解析】因为g(x)=12x(保留y轴上及其右边部分,再作其关于y轴对称的图象即可得到左边部分,合起来就可得到函数g(x)=12题型08求指数（型）函数的定义域【典例8】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域(1)；(2)．【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可.（2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可.【解析】（1）由，得，函数的定义域为．，．的值域为．（2）函数的定义域为．．故的值域为．求指数（型）函数的定义域方法(1)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与函数y＝f(x)的定义域相同．(2)y＝f(ax)的定义域与函数y＝f(x)的定义域不一定相同．例如，函数f(x)＝eq\r(x)的定义域为[0，＋∞)，而f(x)＝eq\r(ax)的定义域则为R.求y＝f(ax)的定义域时，应通过复合函数的定义，由f(x)的定义域与g(x)＝ax的值域的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解．【变式8-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式.【解析】根据题意，函数，则函数，即，所以.故选：C【变式8-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可.【解析】函数的定义域满足，解得且．则函数定义域为，故选：D题型09求指数(型)函数的值域【典例9】求下列函数的定义域和值域：(1)y＝eq\r(1－2x)；(2)y＝2eq\s\up6(\f(1,x－1))；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2x－3)；（4）y=4x【分析】首先要注意外层函数与内层函数的特征，然后利用指数函数的定义域、值域整体求解.【解析】(1)由1－2x≥0得2x≤1，∴x≤0.∴y＝eq\r(1－2x)的定义域为(－∞，0]．由0<2x≤1得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1.∴y＝eq\r(1－2x)的值域为[0，1)．(2)由x－1≠0得x≠1，∴函数y＝2eq\s\up6(\f(1,x－1))的定义域为{x|x∈R且x≠1}．∵eq\f(1,x－1)≠0，∴2eq\s\up6(\f(1,x－1))≠1.∴y＝2eq\s\up6(\f(1,x－1))的值域为{y|y>0且y≠1}．(3)定义域为R.(11分)∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2x－3)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－4)＝16.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2x－3)>0，∴函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2x－3)的值域为(0，16]．(4)y=4x+6·∴y=4x+6·令u=t2+6t+10,又u=t2+6t+10在(0,+∞)上是增函数,∴u>10,∴y>10.∴函数的值域为{y|y>10}.设t＝2x，则y＝t2＋2t＋2，∵x∈[－1，2]∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4)).又对称轴为t＝－1，∴函数y＝t2＋2t＋2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上为增函数，ymin＝eq\f(13,4)，ymax＝26，∴所求函数的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，26)).【点拨】(1)求与指数函数有关的函数的值域时，要充分考虑到用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.(2)在引入新元后,一定要注意新元的范围,否则会将所求的范围扩大(或缩小).如本题第(4)小题中,若不考虑t的范围,就会得到值域为[1,+∞)的错误结果求指数（型）函数的值域的两大策略(1)求y＝af(x)的值域时，先求函数y＝f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数y＝af(x)的值域．(2)求y＝f(ax)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围【变式9-1】（24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为.【答案】【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案.【解析】由于，故且，故函数的值域为，【变式9-2】（24-25高一上·上海·假期作业）已知函数y=fx，其中.(1)求，并计算的值；(2)作出该函数的图象，并求函数y=fx【分析】（1）直接代入式子计算、即可；（2）结合指数函数性质分离常数法求函数值域，结合函数的单调性作出的图象.【解析】（1），；（2）由（1）知，x∈R，，所以为奇函数，图象关于原点对称，且，为增函数，因为，所以，得函数的值域为−1,1.的图象如下图，【变式9-3】（24-25高一上·西藏那曲·期末）已知函数．(1)若，求实数x的取值范围；(2)求的值域．【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可；（2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域.【解析】（1）因为，且在定义域R上单调递增，则，解得，所以实数x的取值范围为0,2.（2）因为，当且仅当时等号成立，且在定义域R上单调递增，则，又因为，所以的值域为.题型10判断指数型复合函数的单调性【典例10】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果.【解析】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增，而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选：A.判断形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的方法利用复合函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性如果相同，则复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，则复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．【变式10-1】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）函数的单调递减区间是．【答案】【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求出减区间.【解析】函数的定义域为R，令，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在R上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递减区间是.故选：【变式10-2】求下列函数的单调区间．(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>0且a≠1)；(2)y＝2eq\r(－x2＋2x＋3).【分析】本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性问题，解题的关键是先确定指数的单调区间，再求函数的单调区间，对(1)，要注意对a分类讨论；对(2)，要注意其定义域．【解析】(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(17,4)，可知u在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是减函数．当a>1时，y＝au在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是减函数；即当a>1时，函数y＝a－x2＋3x＋2的单调增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，减区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).当0<a<1时，y＝au在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是减函数，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是增函数．即当0<a<1时，函数y＝a－x2＋3x＋2的单调增区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))，减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).(2)∵－x2＋2x＋3≥0，x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3.∴函数的定义域为[－1，3]．函数u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1.∴u＝－x2＋2x＋3在[－1，1)上单调递增，在[1，3]上单调递减，∴函数y＝2eq\r(－x2＋2x＋3)在[－1，1)上单调递增，在[1，3]上单调递减，∴函数y＝2eq\r(－x2＋2x＋3)的单调增区间是[－1，1)，减区间是[1，3]．【点拨】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数是一增一减，则其复合函数是减函数．但一定要注意考虑复合函数的定义域．题型11由指数型函数单调性求参【典例11】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围.【解析】是由与复合而成，在中，，，所以在上单调递减.因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增.对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为.二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增，则对称轴需满足，解得.故选：A.由指数型函数的单调性求参的方法这类问题其解决方法是换元法，通过换元，将问题转化为外层函数或内层函数的单调性问题，再根据“同增异减”列出关于参数的方程、不等式（组），解之即得所求.【变式11-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复合函数单调性求解即可.【解析】由题意知，函数（且）在上单调递增，要使函数（且）在上单调递减，则，解得.故选：B.【变式11-2】（24-25高一下·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解.【解析】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数，此时要使得函数在区间上单调递增，则满足二次函数在区间上单调递减，即满足对称轴，解得，结合，可得；当时，，所以外函数是单调递增的指数函数，此时要使得函数在区间上单调递增，则满足二次函数在区间上单调递增，即满足对称轴，解得，结合，可得；综上可得a的取值范围是或，故选：A.【变式11-3】（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解.【解析】依题意，函数在上单调递减，则，解得，又函数在上单调递减，则，所以的取值范围是.故选：B题型12由指数(型)函数值域（最值）求参【典例12】（24-25高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数.(1)求的值；(2)若在上的最大值比最小值大，求的值.【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解；（2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解.【解析】（1）若为偶函数，则恒成立，所以，即恒成立，解得.故的值为0.（2）由（1）可得（且）.当时，在上单调递增，，解得.当时，在上单调递减，，解得.故的值为或.根据指数(型)函数的值域或最值求参的策略先讨论指数(型)函数的单调性，结合单调性与值域（或最值）得到关于参数的方程或不等式（组），解之即得所求.【变式12-1】若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则.【答案】【分析】首先由一次函数的单调性得，再讨论指数函数的单调性，根据最值求解参数的取值.【解析】若函数在内是严格增函数，则，，若，因为函数在区间上单调递增，最大值是4，最小值为m，所以，，解得，，不满足，若，因为函数在区间上单调递减，最大值是4，最小值为m，所以，，解得，，满足，所以.【变式12-2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数.(1)求的值，并证明为奇函数；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【分析】（1）根据题意，利用指数函数的单调性，得到，得出，再由函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；（2）根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得的最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围.【解析】（1）解：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得，可得，则，其定义域为，又由，所以函数为上的奇函数.（2）解：由，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，因为对恒成立，所以，即，所以实数的取值范围为.题型13解指数不等式【典例13】不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）【答案】C【分析】利用指数函数的单调性解不等式．【解析】因为0＜a＜1，所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，解得：x＜2，所以原不等式中x的取值范围是（﹣∞，2）．故选：C．指数不等式的三种求解方法(1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解.(3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.【变式13-1】不等式(1A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2） C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【答案】A【解析】∵(1∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4．故选：A．【变式13-2】已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（）A．（﹣∞，−15） B．（−15C．（﹣∞，−15）∪（−15，+∞） 【答案】A【解析】依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，所以函数y＝ax为R上的减函数，由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，解得x＜−1故选：A．【变式13-3】已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．【分析】（1）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12（2）利用指数函数的单调性，可将f（2x+1）＞1化为：2x+1＜0，解得答案．【解析】（1）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12所以a所以指数函数的解析式为y=(（2）由（1）得，f（2x+1）＞1等价于(因为函数y=(所以2x+1＜0，解得x综上，x的取值范围是{x题型14比较指数幂的大小【典例14-1】（24-25高一上·天津·期中）已知，那么大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数单调性，结合中间值比较大小.【解析】，故.故选：B【典例14-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）设，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合幂函数与指数函数的单调性即可得到答案.【解析】易知幂函数在上单调递增函数，所以，即，又指数函数在上单调递减函数，所以，即.于是.故选：B.比较幂的大小的方法(1)“底同”,利用单调性.当底数相同、指数不同时,构造指数函数,根据其单调性比较.(2)“指同”,分析图形.当指数相同、底数不同时,分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小，也可构造幂函数,利用幂函数的单调性比较.(3)“全不同”,寻求“参照物”.当底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较.【变式14-1】（24-25高一上·贵州·阶段练习）若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式可构造函数，再利用函数单调性可得，由指数函数单调性即可得.【解析】由可得，令函数，易知在上单调递增，由可得，即可得；因此，即.故选：A【变式14-2】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.【解析】易知，又定义域上单调递减，，所以，易知单调递增，，则，综上.故选：A题型15指数函数的实际应用【典例15】某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）【分析】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．【解析】（1）当0≤t＜1时，y＝8t；当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得ka=8ka故y=（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则t≥1（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：y1含第二次服药量为：y2=82故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg.指数型函数模型的实际应用指数型函数的模型可分为以下几类：(1)指数增长模型．设原有产值为N，平均增长率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1＋p)x表示．(2)指数减少模型．设原有产值为N，平均减少率为p，则经过时间x后的产值y可以用y＝N(1－p)x表示．(3)指数型函数．把形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．应用指数型函数横型解决实际问题时需注意的事项：(1)在利用指数增长(减少)模型解决实际问题时，要注意自变量x取值的确定要准确．(2)对于指数型函数y＝kax，不仅要注意a的取值，还要注意k的符号对函数性质的影响．(3)若原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，原有量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．【变式15-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.【分析】（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则利用牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192h，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42h，即可得出函数解析式；（2）x＝30°时，y＝192•（732）1511，x＝16°时，y＝192•（732【解析】（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则有192=k∴k=192∴y＝192•（732）x（2）x＝30°时，y＝192•（732）15x＝16°时，y＝192•（732）1【变式15-2】已知某地区现有人口50万．（1）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；（2）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（201.2【分析】（1）由于人口的年自然增长率为1.2%，由此即可得出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；（2）可直接设年人口自然增长率为p，即可得出50（1+p）20＝60，解此方向2即可得出人口的年自然增长率【解析】（1）x年后y＝50（1+1.2%）x．（2）设年人口自然增长率为p，因此有50（1+p）20＝60，即（1+p）20＝1.2．时解得1+p即人口年自然增长率为0.9%．练基础1．（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（

）A． B．C． D．（，且）【答案】D【分析】由指数函数定义可判断选项正误.【解析】指数函数是指形如且的函数.则四个选项中，只有D满足条件.故选：D2．（2025高二上·云南·学业考试）函数在上的最大值为（

）A． B． C．6 D．36【答案】C【分析】利用指数函数单调性求出最大值.【解析】函数在上单调递增，当时，.所以函数在上的最大值为6.故选：C3．（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的性质比较大小.【解析】因为，所以，又因为，所以，所以．故选：D．4．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意只需要为定值即可，则，即可求得.【解析】令，则，则，所以函数的图象一定过点.故选：A.5．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）若函数是奇函数，则实数的值为（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】根据函数定义域为，利用可求，再检验即可.【解析】因为函数是奇函数，定义域为，所以，解得，时，，，所以函数是奇函数，则.故选：C.6．（多选）（24-25高一上·湖北随州·期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据二次函数、反比例函数和指数函数的性质逐一判断可得.【解析】对A，的值域为，A错误；对B，y=的值域为，B错误；对C，的值域为，C正确；对D，的值域为，D正确.故选：CD.7．（多选）（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用函数图象变换依次判断可得出结论.【解析】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确；对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确；对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误；对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确．故选：ABD8．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是．【答案】【分析】根据指数函数的图象过定点求解.【解析】当，即时，恒成立，所以函数恒过点．9．（2025高二下·浙江·学业考试）函数的单调递增区间是.【答案】或【分析】根据复合函数的单调性判断可得答案.【解析】函数，令，则在上单调递增，在上单调递减，由的，而在上单调递增，所以的单调递增区间是或.10．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图象经过点，其中且.(1)求的值：(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）因为函数的图象经过点，所以，即；（2），即，所以，，所以的范围是．11．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数．(1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；(2)用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数；(3)解不等式．【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断证明；（2）根据函数单调性的定义证明；（3）根据函数的奇偶性、单调性、得到关于的不等式，解不等式即可得结果．【解析】（1）因为，，函数的定义域为，，所以.所以是定义在上的奇函数.（2）任取，且，则，因为，所以，又，所以，即，所以函数在其定义域上是增函数.（3）由，得，因为函数为奇函数，所以，所以．由（2）已证得函数在上是增函数，所以，所以.所以不等式的解集为.练提升12．（24-25高一上·全国·课前预习）下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将变形为，再利用指数函数在上的单调性即可得解.【解析】，又在上单调递减，，，即．故选：B13．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设集合，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数单调性得出集合，再应用并集定义计算求解.【解析】因为集合，则.故选：D.14．（24-25高一上·天津·阶段练习）设集合，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.【解析】集合，，所以.故选：C15．（多选）（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．函数的图象关于轴对称D．函数在上单调递增【答案】ABD【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可.【解析】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确；对B：，由，则，故，则，故B正确；对C：，故关于对称，故C错误；对D：，由且为增函数，则为减函数，则在上单调递增，故D正确.故选：ABD.16．(多选)（24-25高一上·山东枣庄·期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数y（千人）与时间x（周）的关系式为y=kax（a>0且a≠1），则下列说法中正确的有（

A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人【答案】BCD【分析】首先求函数的解析式，再结合选项，即可判断选项.【解析】由图象可知，f1=1,f2=2，即所以y=1A.第三周，即x=3时，感染人数为y=4千人，所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加4−2=2千人，故A错误；B.由y=2x−1可知，第n周的感染人数为2n−1，则第n+1周的感染人数为2n，第则第n+1周新增感染人数为2n−2n−1=2n−1C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确；D.第四周，即x=4时，感染人数y=8千人，所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确.故选：BCD.17．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得.【解析】由函数在R上是增函数，得，解得，所以实数的取值范围为.18．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数．(1)当时，求的值域；(2)若在恒成立，求实数的范围【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数单调性，结合二次函数求出值域.（2）将给定不等式作等价变形并分离参数，利用指数函数单调性，结合基本不等式求出最小值即可.【解析】（1）当时，，由，得，则，因此，所以函数的值域是.（2），，由（1）知，，，当且仅当，即时取等号，则，所以实数的范围是.19．已知函数[来源:学#科#网](1)判断函数的奇偶性并证明；(2)当时，求函数的值域．【解析】(1)函数f(x)是奇函数，证明如下：∵x∈R，f(－x)＝eq\f(1－2－x,2－x＋1)＝eq\f(1－\f(1,2x),\f(1,2x)＋1)＝eq\f(2x－1,1＋2x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)令2x＝t，则g(t)＝eq\f(1