专题02常用逻辑用语中含参问题的五大常考题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019高一必修第一册（解析版）

2/37专题02常用逻辑用语中含参问题的五大常考题型题型一：根据充分条件求参题型二：根据必要条件求参题型三：根据充要条件求参题型四：由全称量词命题的真假求参题型五：由存在量词命题的真假求参题型一：根据充分条件求参1．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解.【解析】由条件可知集合是集合的真子集，所以．故选：D．2．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，当时，，即，解得，故此时符合题意．当时，，所以，故符合题意．由得，由题可知是的子集，所以．3．（24-25高一上·山东烟台·阶段练习）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数的取值范围.【解析】由题意可得，且，又，，则解得，故选：D．4．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据充分条件在集合中的表示方法，判断集合的包含关系即可.【解析】由题意，得，因为是的充分条件，所以即，已知二次函数，开口向上，与轴交于，仅当满足．故选：D．5．（多选）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】BC【分析】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得，解得，则BC符合题意.故选：BC.6．（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期末）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】BCD【分析】由题可得是的真子集，进而即得.【详解】，由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集，所以，故选：BCD7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为．8．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是.【答案】【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求.【解析】由可得，即，由可得，即，又因为是的充分不必要条件，所以，所以(等号不同时成立)，解得，故答案为：.9．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足.(1)若，且都为真命题，求的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【分析】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可.(2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得.【解析】（1）时，，，即，由得，解得又，而，都为真命题，所以；（2），，由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为，所以.10.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．(1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为．（2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为．11．（24-25高一下·广东·期中）已知集合．(1)当时，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）解一元二次不等式求出，根据集合的并集定义，即可求得答案；（2）由题意可判断出A为的真子集，列出相应不等式，即可得答案.【解析】（1）当时，或，则，故；（2），且“”是“”的充分不必要条件，故A为的真子集，，故，结合，解得，即实数a的取值范围.题型二：根据必要条件求参12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（

）A．0 B．2或 C．或 D．0或或【答案】D【解析】解法1

．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或．解法2（代入法）

，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意．13．（24-25高二下·云南·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先解不等式化简、，结合是的必要不充分条件，得到不等关系，解得即可.【解析】由，解得或，即：“或”，由，即，解得，所以：“”，因为是的必要不充分条件，所以或，解得或，即实数的取值范围为.故选：B14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知．（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是；（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是．【答案】，【解析】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得．15．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B.(1)求集合A与集合B；(2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，求解含参的一元二次不等式的解得到；（2）根据是的必要不充分条件，故，即可求解.【解析】（1）因为不等式对于一切实数恒成立，所以，解得，即．因为，所以，解得，即，（2）因为是的必要不充分条件，故，即，所以，解得，所以实数的取值范围是．16．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）设全集，集合，集合，其中.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【分析】（1）解不等式，得到，，利用交集概念求出答案；（2）求出，得到为的真子集，从而得到不等式，求出答案.【解析】（1）由得：，解得：，即，当时，，解得：，即；故；（2）由（1）知：；由得：，即，因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集.或，解得，即实数的取值范围为.17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集．(1)当时，求阴影部分表示的集合；(2)在①．②．③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答．问题：设_______，，是否存在实数m，使得p是的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）或，当时，或，则，所以阴影部分表示的集合为．（2）由（1）可知，命题为．若选①，命题p为或，因为p是的必要不充分条件，则，所以或，则或，故存在m满足题意，且m的取值范围为或．若选②，命题p为．因为p是的必要不充分条件，则，所以且等号不同时成立，故不存在满足题意的实数m．若选③，命题p为，因为p是的必要不充分条件，则，所以且等号不同时成立，解得，故存在m满足题意，m的取值范围为．18．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知集合(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围；(3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．【分析】（1）先解分式不等式得集合，再利用集合的并集定义求解；（2）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得；（3）由必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得.【解析】（1）由不等式移项可得，通分得到．即，解得，故．当时，，则.（2）由，可得，因为，当时，，解得，满足题意；当时，则，解得，综上，，故实数的取值范围为.（3）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集，又，，则，解得，故实数的取值范围是．19．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或(1)当时，求；(2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围.【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可；（2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可．【解析】（1），当时，或．．（2）因为，或．是的必要不充分条件，所以或，所以或．20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．(1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是．（2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在．21．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知关于的方程有两个不同的实数根，集合，．(1)是否存在实数，使得“”是“”的充要条件?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．【分析】（1）假设存在，即，根据根与系数的关系求解即可；（2）由题意转化为是的真子集，根据集合的包含关系列出不等式组求解即可.【解析】（1）假设存在实数，使得“”是“”的充要条件，因为“”是“”的充要条件，所以，所以是的两个实数根，所以，，所以．（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，又因为二次函数图象的对称轴方程为，所以解得，即的取值范围为．题型三：根据充要条件求参22．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可.【解析】由题知，，解得.故选：A23．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（

）A．0 B． C．3 D．5【答案】B【分析】由题意可得，进而可求的值.【解析】因为“”是“”的充要条件，所以，又，，所以.故选：B.24．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案.【解析】，由于是的充要条件，，所以，解得，故整数.故选：D25．（25-26高一上·全国·课后作业）已知．（1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是；（2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得．26.（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）关于的方程的解为的充要条件是．【答案】【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解.【解析】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得，当时，方程为，解得，充分性成立，所以方程的解为的充要条件为.27．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，．(1)是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【分析】（1）先解集合，再利用充要条件即为，从而可得到的方程组，最后判断是否有解；（2）利用充分不必要条件可得，再利用集合的包含关系可求的范围即可.【解析】（1）解集合，若是的充要条件，则由，可得，又，可得，即此时的值不能同时满足和不存在实数使是的充要条件（2）若是的充分不必要条件，则分两种情况讨论：①当时，此时，解不等式得，此时满足，所以；②当时，此时，解不等式，即，解不等式，即，综合可得，综上所述，实数的取值范围是28．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合．(1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若是成立的充要条件，求实数的值．【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解；（2）由题意得到，进而可求解.【解析】（1）由题意A是B的真子集，所以，即，所以实数的取值范围为.（2）因为是成立的充要条件，所以,所以，即．即实数的值为2．29．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知集合，．(1)当时，求，；(2)请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）当时，若“”是“”成立的____，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意求集合，进而根据集合间的运算求解；（2）根据题意可得.若选①：可知集合A是集合的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选②：可知所以集合是集合A的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选③：可知集合A等于集合，根据集合相等列式求解即可.【解析】（1）由题意可知：，当时，，所以；又因为或，所以或.（2）当时，，若选择条件①：可知集合A是集合的真子集，则，且等号不能同时取到，解得，所以实数的取值范围是；若选择条件②：可知所以集合是集合A的真子集，则有，且等号不能同时取到，解得，所以实数的取值范围是；若选择条件③：可知集合A等于集合，则有，方程组无解，所以不存在满足条件的实数.30．（24-25高一上·湖北·阶段练习）在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解下列问题：已知集合，(1)若且，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得是的__________条件.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【分析】由于且，可得或，求解即可得到答案.利用中的集合对①②③中的三个条件分别进行判断即可得.【解析】（1），且，可得或，所以或，故，所以实数的取值范围为.（2）若选①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，因为，集合，所以且前两个不等式等号不能同时成立，所以，所以实数的取值范围是；若选②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，因为，集合，所以且等号不能同时成立，所以，所以实数的取值范围是；若选③，即是成立的充要条件，集合等于集合，因为，集合，所以，方程组无解，所以满足题意的不存在.31．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）命题或；命题.(1)若时，在上恒成立，求实数的取值范围；(2)若是的充要条件，求出实数的值.【分析】（1）根据一元二次方程的判别式结合解一元二次不等式，即可得答案.（2）由是的充要条件，可知3和2是方程的两个根，利用韦达定理即可求得答案.【解析】（1）若时，在上恒成立，，即，（2）若是的充要条件，则3和2是方程的两个根，由韦达定理知，解之得.题型四：由全称量词命题的真假求参32．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故.33．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由判别式即可求解.【解析】由题意可得：，解得：，所以实数的取值范围为，故选：A34．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过和两类情况讨论即可.【解析】当时，恒成立，符合题意当时，需满足解得：，综上，故选：D35.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知集合，集合，集合.(1)求的子集的个数；(2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围.【分析】（1）利用求函数的定义域可得集合，由集合的交并补运算可得所求集合，即得子集个数；（2）根据条件推得，由参数分类讨论即可求得其取值范围.【解析】（1）函数有意义，等价于，即，解得，即，则或，又，故，则集合的子集有个.（2）根据命题“，都有”是真命题，可得.当时，，解得，符合题意；当时，由可得，解得.综上，可得实数m的取值范围为.题型五：由存在量词命题的真假求参36．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解.【解析】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，其否定为：，，而函数的值域为，由“，”为假命题，得“，”为真命题，则，所以的取值范围是.故选：C37．（25-26高一上·全国·课后作业）已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】“”为真命题，则，“”为真命题，则．38．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则a的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由，可得，即．故选：C.39．（24-25高二下·山东·阶段练习）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出存在量词命题的否定，再由恒成立列式求解.【解析】由“”是假命题，得“”是真命题，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D40．（2025·湖南长沙·模拟预测）设为常数，命题，则为真命题的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据存在量词命题的特点及指数函数的性质求解即可.【解析】由命题为真，则当时，能成立，即能成立，所以．故选：D.41．（24-25高二上·山西忻州·开学考试）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件.【解析】命题的否定为：“”若该命题为真命题得，所以，所以为该命题的一个必要不充分条件，故选：C.42．（25-26高一上·全国·课后作业）命题，是假命题，则实数的值可能是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】因为命题，是假命题，所以命题：，是真命题，也即，恒成立，则有，解得，根据选项的值，可判断选项B符合．43．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知方程有实数解，即，解得．44．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】由题意可知没有实根或有重根，根据，求解即可.【解析】由题意得，“存在，使”是假命题，没有实根或有重根，，解得.45．（多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期中）下列说法正确的有（

）A．“，使得”的否定是“，都有”B．已知x>0，则x＋的最小值为8C．若，则“”的充要条件是“”D．若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是【答案】ABD【分析】对A，根据特称命题的否定判断即可；对B，根据基本不等式判断即可；对C，举反例判断即可；对D，根据特称命题与二次方程的解判断即可.【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确；对于B，因，则，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误；对于D，若命题“”为假命题，则无实根，则，得，则实数m的取值范围是，故D正确.故选：ABD46．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，．(1)若p是真命题，求a的最大值；(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值.（2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围.【解析】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以，即a的最大值为.（2）若q是真命题，，解得或，若q是假命题，，解得，由已知p、q一真一假，若p真q假，则，若q真p假，则，综上：或47.（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立．(1)若为真命题，求实数的取值范围；(2)若有且只有一个为真，求实数的取值范围．【分析】（1）求出函数在的最小值，再由恒成立建立不等式求解.（2）化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出的取值范围.【解析】（1）当时，的最小值为，由为真命题，即对任意，不等式恒成立，得，解得，所以的取值范围.（2）当时，，当且仅当时取等号，由为真命题，即存在，使得不等式成立，得，解得，即，由（1）知，而有且只有一个为真，则当真假时，，解得；当假真时，或，解得，所以的取值范围为或.48．（24-25高一下·河南·开学考试）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立．(1)若为真命题，求的取值范围；(2)若和中有且只有一个为真命题