专题2.2 全称量词与存在量词（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

27/28专题2.2全称量词与存在量词教学目标理解全称量词与存在量词的意义；能正确对含有一个量词的命题进行否定.教学重难点重点：全称量词命题与存在量词命题的判断；对含有一个量词的命题进行否定.2．难点:(1)判断全称量词命题与存在量词命题的真假；(2)由全称量词命题与存在量词命题的真假求参.知识点01全称量词命题1.全称量词命题在给定集合中，断言的命题叫作全称量词命题.2.全称量词在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”3.符号表示全称量词可用符号“”表示.通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示.那么全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为“”，读作“对任意的属于M,有p(x)成立”.【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来，如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”.【即学即练】1．下列不是全称量词的是()A．任意一个B．所有的C．每一个D．很多知识点02存在量词命题1.存在量词命题在给定集合中，断言的命题叫作存在量词命题.2.存在量词在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”都表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词.【注意】常见的存在量词还有“至少有一个、“有”、“对某些”、“有的”等；3.符号表示存在量词可用符号“”表示.存在量词命题“存在M中的元素，使得成立”可用符号简记为“”，读作“存在M中的元素，使得成立”.【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.【即学即练】1.下列命题中存在量词命题的个数是()

①至少有一个偶数是质数；

②∃x∈R，x2>2025；

③有的矩形是正方形．

A．0B．1C.2D．3

知识点03全称量词命题、存在量词命题的否定1、命题的否定对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．2.全称量词命题的否定全称量词命题p:∀x∈M，p(x),它的否定:.全称量词命题的否定是存在量词命题.3.存在量词命题的否定存在量词命题p:∃x0∈M，p(x0)，它的否定:存在量词命题的否定是全称量词命题.4、命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．5、常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个【即学即练】1.(2025河北衡水中学高三上周测)设命题“”，则为（）A.B.C.D.2．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知命题“，则为（

）A． B．A．题型01用量词符号改写命题【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题．(1)所有实数都能使成立；(2)对所有实数，，方程恰有一个解；(3)存在整数，，使得成立；(4)存在实数，使得与的倒数之和等于1．对于这一类题，将命题中的全称量词用符号“”替换，存在量词用符号“”替换即可.【变式1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）用符号“”“”表示下列含有量词的命题．（1）实数的平方大于等于0；（2）存在实数对使成立．（3）至少有一个实数使不等式成立．（4）对所有正实数为正数，且．题型02全称量词与存在量词命题的识别【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（

）A．有些实数是无理数 B．至少有一个整数，使得是质数C．每个三角形的内角和都是 D．，使得【典例2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（

）A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词与存在量词，要注意的是有些命题省略了量词，这时我们要根据命题的意义去判断.【变式1】（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数【变式2】（2025高三上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（

）A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似【变式3】（多选）（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）下列语句是全称量词命题的是（

）A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章题型03全称量词命题真假判断【题型】（2025高一·全国·课后作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（

）A． B．菱形的两条对角线相等C． D．一次函数的图象是直线要判定全称量词命题“对于任意的成立”是真命题，需对集合的每个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．【变式1】（24-25•高一上·南昌月考）下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（） A．菱形的四条边都相等 B．，使为偶数 C． D．是无理数【变式2】（24-25•高一上·开封月考）下列是全称量词命题且是真命题的为（）A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x、y∈Q，都有x+y∈Q C．∃x0∈Z， D．∀x，y∈R，|x|+|y|＞0题型04存在量词命题真假判断【典例】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（）A．， B．所有的正方形都是矩形C．， D．，使要判定存在量词命题“存在使得p(x0)成立”是真命题，只要在限定集合中找到一个元素使得p(x0)成立即可;如果在集合M中，使得p(x0)成立的都不存在，那么这个存在量词命题是假命题.【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（

）A．存在，使 B．存在，使C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数【变式2】（23-24高一上·广东茂名·期末）下列既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．B．C．至少有一个，使x能同时被3和5整除D．每个平行四边形都是中心对称图形题型05由全称量词命题的真假求参【典例】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解.【变式1】（24-25高一上·云南曲靖·期中）若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一下·湖北·开学考试）若命题“，”是假命题，则（

）A． B． C． D．题型06由存在量词命题的真假求参【典例】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性.【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若命题时，是真命题，则的取值范围【变式2】（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是．题型07全称量词命题的否定【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．全称量词命题的否定是存在量词命题，因此否定一个全称量词命题时，要把全称量词换成存在量词，再否定命题的结论即可.【变式1】（24-25高二下·云南·阶段练习）命题，的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【变式2】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．题型08存在量词命题的否定【典例】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）命题“，”的否定是（

）A．，B．，C．，D．，存在量词命题的否定是全称量词命题，因此否定一个存在量词命题时，要把存在量词改为全称量词，再否定命题的结论即可.【变式1】（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）若命题，则命题p的否定为（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高二下·河北·期中）“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，题型09全称量词命题与存在量词命题否定的真假【典例】（24-25高一·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)q：存在实数a，b，使得|a－1|＋|b＋2|＝0；(3)r:.判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键.(2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假;当原命题为假时，命题的否定为真.【变式】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假：(1)与3的和不等于0；(2)三角形的三个内角都为；(3)存在一个实数，使.题型10全称量词命题与存在量词命题的否定的应用【典例】已知：，，：，．（1）写出命题的否定；命题的否定；（2）若和至少有一个为真命题，求实数的取值范围．【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围．【变式2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知命题，，命题，.(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.题型10含有量词的命题与集合的综合【典例】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合．(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【变式1】（24-25高一上·重庆·期中）已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为.(1)求集合；(2)设非空集合，若，求实数的取值范围.【变式2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合．(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．单选题1.（2025高二下·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（

）A．正方形的四条边相等B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形C．正数的平方根不等于0D．至少有一个正整数是偶数2.（2025·云南·模拟预测）命题“”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3.（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（

）A．是奇数．是假命题B．是奇数．是真命题C．是奇数．是真命题D．是奇数．是假命题4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为（

）A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解B．存在正整数，关于，，的方程至多存在一组正整数解C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解D．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解5.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题6.（24-25高二下·浙江温州·期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（

）A．和都是真命题B．和都是真命题C．和都是真命题D．和都是真命题7.（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（

）A． B．C． D．8.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．多选题9.（25-26高一上·全国·课后作业）下列是全称量词命题的否定的有（

）A．存在一个能被2整除的整数不是偶数B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上C．存在实数不是方程的根D．没有一个平行四边形是菱形10．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（

）A．B．若是空集，则A与B均是空集C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件D．，使得为奇数11．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列四