专题06 拓展：对勾函数、飘带函数、V型函数、高斯函数的四大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

2/37专题06拓展:对勾函数、飘带函数、V型函数、高斯函数的四大题型题型一：对勾函数的应用 3题型二：飘带函数的应用 6题型三：V型函数的应用 8题型四：高斯函数的应用 9【知识点综述】知识点01对勾函数1.定义形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数.2.图象与性质解析式图像定义域渐近线值域奇偶性奇函数单调性在上是增函数，在是减函数在上是增函数，在是减函数【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，知识点02飘带函数1.定义形如的函数，其图象类似于两根飘带，故称之为对勾函数.2.图象与性质解析式图象定义域渐近线值域奇偶性奇函数单调性在上是增函数在是减函数知识点03V型函数1.定义函数fx=±kx+b+ck≠0图象类似于符号“V”，故称之为V2.图象与性质其图象如下图所示：性质：其图象的对称轴方程为x=−bk,顶点坐标为fx=fx=−kx+b+c4.广义V型函数（推广）:设ai为正的常数,bi和c为常数i=1,2,⋯,n,我们称函数fx=a1x−b1+a2x−b2+⋯+anx−bn+c为广义V形函数(可以仍称为V形函数).知识点04高斯函数1.定义记x表示不超过实数x的最大整数,例如:3.4=3,−2.1=−3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数2.性质（1）定义域:R；值域:Z.（2）不具有单调性、奇偶性、周期性.题型一：对勾函数的应用1.函数的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．2.已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3.（多选）已知函数，下面有关结论正确的有（

）A．定义域为 B．值域为C．在上单调递减 D．图象关于原点对称4．（多选）（24-25高一上·江西吉安·期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（

）A．4 B．12 C． D．5.设，则的取值范围是______．6.已知函数，，则的值域为．7．（24-25高一上·甘肃武威·期中）已知勾函数在和内均为增函数，在和内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为．8.设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是________________.9.形如的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数.已知函数在上的最大值比最小值大，则.10.（24-25高一上·广东东莞·期中）因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数对于任意的，都有，则实数的最大值为.11.对勾函数是形如的函数，其中为自变量，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数，在区间上的单调性是：在区间上单调递减，在区间上单调递增.(1)若对勾函数，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；(2)若对勾函数，写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数的图象.

(3)已知对勾函数，，二次函数，设的最大值为，若，，求实数的取值范围12．（24-25高一上·江苏苏州·期中）小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．(1)证明：是上的单调递增函数；(2)若对任意，恒成立，求实数m的最大值；(3)是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由．13．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数．(1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域；(2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围．题型二：飘带函数的应用14.函数fx=4xABCD15.函数的大致图象为（）A．B．C．D．16.函数的图象不可能是()A． B． C． D．17.(2024-2025江西高三上期中)函数fx=2x−A.C.D.18.（多选）已知函数，则该函数（

）A．最大值为 B．最小值为1 C．没有最小值 D．最小值为19.(多选)已知函数fx=1A.最大值为-3B.最小值为1C.没有最小值D.最小值为-320.(2023-2024学年衢温5+1联盟高一上期中8题,单选题)已知函数fx=x−2x,gx=axA.0B.±12C.21.已知函数，其中，记为的最小值，求的单调递增区间.22．（24-25高一上·安徽·期中）一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.(1)确定a，b的值；(2)解方程=0.题型三：V型函数的应用23.已知函数fx=x2+24.(2024-2025学年浙南名校联盟高一上期中16题)设函数fx=2x−a−425．（24-25高一上·云南昆明·期中）定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）.(1)判断是否为“型函数”?并说明理由；(2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围.题型四：高斯函数的应用26．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）对任意的，表示不超过x的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则（

）A． B． C． D．27．（24-25高一上·河南洛阳·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式的解集为（

）A． B．C． D．28．（24-25高一上·湖北·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（

）A． B． C． D．29．（多选）（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（

）A． B．为偶函数C． D．的值域为30．（23-24高一上·安徽·期末）高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，.下列结论正确的是（

）A．对，若，则 B．函数是上的奇的数C．对任意实数， D．对任意实数，31．（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，人们更习惯称之为“取整函数”.下列说法正确的是（

）A．函数，的图象不关于原点对称B．函数，的值域为C．，D．不等式的解集为32．（多选）（24-25高一上·广东·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，如=-2，称为高斯函数，记，则下列说法正确的是（

）A．B．的值域为C．不等式的解集为D．所有满足的点组成的区域的面积和为202433.(多选)（24-25高一上·湖南怀化·期中）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（

）A．B．的解集为C．若，则D．34．(多选)（24-25高一上·山西·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（

）A．在R上单调递增，且图象关于原点对称B．函数的值域为C．函数在上单调递增D．函数与函数的图象没有交点35．（24-25高一上·湖南·期中）已知为实数，用表示不超过的最大整数.则函数称为取整函数，也叫高斯（Gaussian）函数，例如[3.5]=3，.(