专题06 拓展：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的七大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

2/37专题06拓展:分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的七大题型题型一：解分式不等式 2题型二：高次不等式的解法 4题型三：公式法解绝对值不等式 6题型四：平方法解绝对值不等式 7题型五：去绝对值法解绝对值不等式 8题型六：绝对值性质法解绝对值不等式 9题型七：零点分段讨论法 10【知识点综述】分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式.设A、B均为含x的多项式（1）（2）（3）（4）【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母.二、高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1.标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3.求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5.得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间三、绝对值不等式的解法1.绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即2.绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3.两个数的差的绝对值的几何意义表示在数轴上，数和数之间的距离．4.绝对值不等式的解集（1）的解集是，如图1．（2）的解集是，如图2．（3）．（4）或可简记为：大于找两边，小于找中间.5.绝对值不等式的性质(1);(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.题型一：解分式不等式分式不等式往往化除为乘，转化为整式不等式求其解集,在转化时要注意分母不能为0这一隐含条件.1．不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原不等式可化为，解得．故选：D．2．不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，解得：或，∴不等式的解集为，故选：D.3.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以且，所以且，所以且，所以不等式的解集为，故选：C4.不等式的解是__________．【答案】【解析】不等式等价于或解得5.解下列分式不等式：(1)≤1；(2)<0；(3)【解析】（1）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.∴原不等式的解集为{或}（2）由<0得>0，此不等式等价于(x－1)>0，解得x<－或x>1，∴原不等式的解集为或}.(3)通分整理，原不等式化为：，它等价于，解得或且，∴原不等式的解集为或}.6.解关于的不等式.【解析】原不等式可化为）(1)当，即或时，不等式的解集为；(2)当，即或时，不等式的解集为；(3)当，即时，不等式的解集为.题型二：高次不等式的解法(1)对于高次不等式一般用穿针引线法求解；(2)对于高次不等式与分式不等式综合的问题，往往先将分式不等式转化为整式不等式，再利用穿针引线法求解.7.不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】不等式，化为：，由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A.8.不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】不等式，化为：，由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A.9.解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.【解析】根据不等式标根所以原不等式的解为.故答案为：.10.解下列分式不等式：（1）;（2）;

（3）;（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1），所以，所以，即，解得，故原不等式的解集为；（2），所以等价于，解得或或，故原不等式的解集为（3），所以，等价于，解得或，故原不等式的解集为；（4），所以，即，即,因为恒成立，所以原不等式等价于，即，解得或，故原不等式的解集为题型三：公式法解绝对值不等式若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式套用公式求解：(1)．(2)或.上述规律可简记为：大于找两边，小于找中间.11.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式.故选：D.12.不等式的解集是___________【答案】【解析】不等式可化为，∴，或；解之得：或，即不等式的解集是.13.解下列不等式：（1）；（2）；（3）；【解析】（1）由题意，，解得，所以原不等式的解集为．（2）由题意，或，解得或，所以原不等式的解集为．（3）由题意，，解得，所以原不等式的解集为．14．已知，设集合，．(1)求集合A和集合B；(2)求，求实数m的取值范围．【解析】(1)，，或，或，或.(2),,或，且，或.题型四：平方法解绝对值不等式对于绝对值不等式（其中A,B为含未知数的代数式），一般利用平方法求解，即转化为求解.15.不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】两边平方后可求不等式的解.【解析】因为，故，故，故，故选：D.16.不等式的解集为；【答案】【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可.【解析】左右两侧同时平方得，所以，故，化简得，解得.17.解下列不等式：(1);(2).【解析】（1）两边平方得，解得，故解集为.（2）由不等式，可得，即，即，解得，即原不等式的解集为.题型五：去绝对值法解绝对值不等式对于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A，B）中都含有未知数，常利用绝对值的意义对A与0的大小分类讨论，从而脱去绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解:.18．解关于x的不等式：；【解析】解法一：由题意，当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，解得，所以不等式的解集为.解法二：原不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为.19.解不等式：(1)；(2).【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可；（2）法一：分和两种情况求解即可.（2）利用绝对值不等式的解法求解即可.【解析】（1）原不等式等价于，由可得或，解的或；由可得，解的.综上所述，原不等式的解为，或.（2）解法一：当，即时，不等式可化为，解得，∴不存在满足条件的.当，即时，不等式可化为，解的，∴，综上所述，原不等式的解为，解法二：原不等式可化为或，即或，即∴原不等式的解为.题型六：绝对值性质法解绝对值不等式对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式：，从而去掉了绝对值，转化为常见的不等式求解.20．不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是()A.[－5，7] B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) D.(－∞，＋∞)【答案】D【解析】|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8>1⇒原不等式的解集为R，故选D.21．（2025·上海·三模）不等式的解集为．【答案】【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解.【解析】因为，又，所以，则.22．（24-25高三上·上海·期中）若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.【解析】，当且仅当时等号成立，所以，解得23．（24-25高三上·上海·阶段练习）存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果.【解析】由题意可得又，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即实数的取值范围为.题型七：零点分段讨论法对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的x的值（简称为零点），再针对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解.24．不等式的解集为_________.【答案】【解析】，化为：或或解得：或或.不等式的解集为：25．不等式的解集为______．【解析】当时，，解得，当时，，解得当时，，解得，综合得不等式的解集为26．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数．(1)求该函数的最小值；(2)解不等式．【分析】（1）根据绝对值三角不等式求函数的最小值；（2）分，和三种情况求解不等式.【解析】（1），当且仅当取等号，所以．（2）当时，，解得，所以．当时，