用频率估计概率（导学案）数学北师大版九年级上册

3.2用频率估计概率导学案理解“用频率估计概率”的核心原理，掌握“用频率估计概率”的适用场景，会设计并实施简单试验.2.经历“提出问题→设计试验→收集数据→计算频率→估计概率”的完整过程，提升动手操作能力与数据分析能力.3.结合生日相同、生肖相同等贴近生活的实例，感受数学与现实生活的紧密联系，激发对概率知识的探究兴趣，体会数学的实用性.掌握用频率估计概率的原理与方法，能够区分两种概率求解方法的适用条件.理解“频率的稳定性”，能够设计科学的模拟试验，会根据试验数据合理估计概率.第一环节自主学习温故知新：1.必然事件是概率为1的事件、不可能事件是概率为0的事件、随机事件是概率在0到1之间的事件．2.古典概型的核心特征是试验结果有限且每个结果发生的可能性相等.3.树状图与列表法的应用局限性：试验结果数量极多，难以全部列举、试验具有破坏性或不满足等可能时，树状图和列表法不再适用.新知自研：自研课本第6970页的内容．【学法指导】情景引入问题:400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？300个同学呢？可有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同.”你同意这种说法吗？与同伴交流.自研课本P6970页的内容，思考：●探究一：探究点1“生日巧合”的概率之谜◆1.回顾情境中的内容，400个学生一定有两个学生的生日相同，因为一年最多366天，400＞366，是必然事件，概率为1；300个同学几乎必然，但非绝对，因为300接近366.◆2.若想计算50个同学中生日相同的概率，能（能/不能）用树状图或列表法.因为50个同学的生日组合数为36650，数据庞大，古典概型失效.因此只能尝试通过大量数据统计频率.◆3.小组合作，设计实验（1）课前准备：每个学生调查10个人的生日（记录“月/日”，如“10/1”，避免年份影响），全班40个学生共收集400个生日数据；（2）①样本抽取：用随机数生成器从全班生日数据库中选取50个生日；②记录结果：判断这50个生日中是否有“月/日”相同的情况；③重复试验：每组完成10次抽取，记录每组“成功”的次数；◆4.将统计出的数据记录在下列表格试验记录表格：（以下结果为计算模拟实验结果）试验总次数50100150200250…“有两个人生日相同”的次数4388135178223…“有两个人生日相同”的频率0.86000.88000.90000.89000.8920…◆5.随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.9左右，50人中有生日相同的理论概率约为97.037%，模拟结果虽略低，但趋势一致.因此，50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同的说法是正确的.◆6.知识归纳（1）用频率估计概率的步骤：确定事件→设计试验→大量重复→计算频率→估计概率；（2）当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用大量重复试验下的稳定频率估计概率.练一练1.下列关于“频率”与“概率”的说法，正确的是（ABC）（多选）A.频率是试验中事件发生的“次数/总次数”，随试验次数变化而变化B.概率是事件本身的固有属性，是一个常数C.当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近D.频率就是概率，两者没有区别2.某超市想估计“顾客购买矿泉水”的概率（即100个顾客中购买矿泉水的人数），但无法统计所有顾客的购物情况。请你设计一个用频率估计概率的试验方案.解：（参考方案）样本选取：随机选取100个顾客（如在一天的不同时段记录）；记录结果：统计这100个顾客中购买矿泉水的人数；重复试验：重复上述步骤5次（共500个顾客），记录每次的“购买人数”；计算频率：用“每次购买人数/100”计算频率，取5次频率的平均值，作为“顾客购买矿泉水”的概率估计值。●探究二：用频率估计概率——摸球中红白球比例的估计问题1：一个口袋中有3个红球、7个白球，除颜色外都相同。从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少？◆1.问题1的解答方式及原因根据古典概型概率公式P(红球)=0.3；因为试验结果有限且等可能，红球3个，白球7个，总10个，每个球被摸到的概率相等，因此可以用古典概型公式问题2：一个口袋中有红球、白球共10个，除颜色外都相同。如果不将球倒出来数，你能设计一个试验方案，估计其中红球和白球的比例吗？◆2.问题2的方法选择问题2不能用古典概型，不知道红球数量m，无法计算.由于无法直接计数，需用频率估计概率：通过大量重复摸球试验，计算“摸到红球”的频率，用频率稳定值作为红球概率的估计，从而得到红球与白球的比例.◆3.方案设计放回后摇匀条件相同随机性◆4.你还能提出并解决哪些与问题（2）类似的问题？◆5.知识归纳用频率估计比例的步骤：①设计试验：确定随机试验的方法，保证；②：进行足够多次试验，记录事件发生的次数；③计算频率：用“÷”计算频率；④估计比例注：结果有合理误差是正常的，因为频率是估计值，与实际值可能有小幅偏差，但试验次数越误差越练一练一个不透明的袋子里装有黄球和蓝球共20个，这些球除颜色外都相同。现在通过重复摸球试验来估计黄球和蓝球的比例，每次摸出1个球后放回并摇匀。某小组进行了200次摸球试验，其中摸到黄球120次。（1）估计摸到黄球的概率是多少？（2）请估计袋子里黄球和蓝球的个数分别是多少，以及它们的比例。解：（1）已知总试验次数为200次，摸到黄球120次，因此：估计摸到黄球的概率=0.6（2）黄球个数估计：总球数×估计的黄球概率.总球数为20个，黄球概率估计为0.6，因此：黄球个数≈20×0.6=12蓝球个数估计：总球数黄球个数.蓝球个数≈20−12=8

(个)黄球与蓝球的比例：黄球个数:蓝球个数，即12:8=3:2.典例分析例1：一个不透明的盒子里装有若干个除颜色外完全相同的黄球和蓝球，小明为了估计黄球和蓝球的数量，进行了大量重复摸球试验。每次摸出1个球，记录颜色后放回并摇匀，共摸球200次，其中摸到黄球120次。已知盒子里球的总数为50个，估计黄球和蓝球各有多少个.【分析】本题属于“用频率估计概率，进而反推数量”的类型。先通过大量重复试验得到摸到黄球的频率，再利用频率稳定后趋近于概率的原理，结合球的总数来计算黄球和蓝球的数量.【解答】首先，计算摸到黄球的频率：摸到黄球的频率＝摸到黄球的次数/摸球总次数0.6。因为试验次数足够多，所以摸到黄球的频率可近似看作摸到黄球的概率.已知球的总数为50个，设黄球有x个，根据概率公式P(摸到黄球)等于黄球在总体中被摸到的概率，可得x50＝0.6，解得x＝30（个）那么蓝球的个数为50－30＝20（个）【点评】本题通过摸球试验，让学生体会“用频率估计概率”在解决实际数量估计问题中的应用，清晰呈现了“试验得频率→频率估概率→概率算数量”的完整逻辑链，有助于学生掌握此类问题的解决方法，同时也能加深对频率与概率关系的理解.例2：某林业部门要估计一片树林中某种珍稀鸟类的数量。他们先捕捉了50只这种鸟，做上标记后放回树林。过了一段时间，又捕捉了200只这种鸟，其中有标记的鸟有10只。请估计这片树林中这种鸟的总数.【分析】这是“用频率估计概率”在生物种群数量估计中的经典应用，属于“标记重捕法”的数学模型。利用有标记鸟在第二次捕捉中的频率，估计其在整个树林中的概率，进而推算鸟的总数.【解答】首先，计算第二次捕捉中，有标记鸟的频率：有标记鸟的数量第二次捕捉鸟的总数=10200=0.05.由于捕捉是随机的，所以有标记鸟在第二次捕捉中的频率可近似看作有标记鸟在整个树林中的概率.设树林中这种鸟的总数为x只，最初标记了50只，根据概率关系可得5x=0.05，解得x=1000故这片林子里大概有一千只鸟.【点评】本题将“用频率估计概率”与实际生态调查问题结合，体现了数学知识在解决实际生活、科学研究问题中的价值。学生通过本题能更好地理解“标记重捕法”的数学原理，同时也能拓展对“用频率估计概率”应用场景的认识，提升知识迁移能力.第二环节合作探究小组群学在小组长的带领下：A.设计一个试验方案，估计其中红球和白球的比例；B.合作设计需要用频率估计概率的实际例子，并探讨解决方案.C.交流例题的解决方法.1.下列关于频率和概率的说法，正确的是（B）A.频率就是概率B.试验次数足够大时，频率稳定在概率附近C.概率是随机的，与试验次数无关D.频率是理论值，概率是试验值2.适合用“频率估计概率”的是（C）A.抛一枚均匀硬币，求正面朝上的概率B.掷一枚均匀骰子，求点数为6的概率C.估计池塘中鱼的数量D.求从装有3个红球、2个白球的袋子中摸出红球的概率3.某小组做“摸球试验”：共摸100次，摸到红球70次，则摸到红球的频率是（B）A.0.3 B.0.7C.3 D.74.抛掷啤酒瓶盖1000次，“凸面向上”频率为0.44，则概率约为（B）A.0.22 B.0.44C.0.50 D.0.565.估计一批灯泡的使用寿命，适合的方法是（C）A.树状图法 B.列表法C.用频率估计概率，通过抽样试验统计 D.直接统计所有灯泡寿命6.当试验次数很大时，某事件发生的频率会稳定在概率附近。7.某射手射击100次，击中靶心80次，则频率是0.8，概率约为0.8.8.设计模拟试验估计“6个人中有2人生肖相同”的概率时，可用12个标有12生肖的球，每次摸出1个后放回并摇匀.9.盒子有9个黄球，摸球试验中频率稳定在30%，估计盒子中小球总数。解：设总数x，则9X=0.3，解得x=30答：小盒子中有球30个。题型一：“用频率估计概率”原理理解类1.（2024・山东青岛模拟）下列说法正确的是（B）A.频率等于概率 B.试验次数越多，频率越接近概率C.概率是随机的，与试验次数无关 D.频率是理论值，概率是试验值【分析】需明确频率与概率的核心区别：频率是试验结果（随试验次数变化）；概率是理论值；试验次数足够大时，频率稳定在概率附近..【解答】A错误：频率是试验值，概率是理论值，两者不一定相等；B正确：符合频率稳定性原理；C错误：概率是固定的，与试验次数无关；D错误：频率是试验值，概率是理论值.【点评】本题直接考查“频率稳定性”这一核心原理，是本考点的基础题型。易错点是混淆“频率”与“概率”的定义，需牢记：概率是“本质”，频率是“表象”.2.（2023・江苏南京中考）抛掷一枚质地均匀的硬币，前2次都是正面朝上，第3次正面朝上的概率（B）A.大于12 B.等于C.小于12 【分析】抛硬币是独立事件（每次试验的结果互不影响），每次正面朝上的概率均为12，与之前的结果无关【解答】直接判断独立事件的概率不变，选B；【点评】本题考查独立事件的概率，易错点是受“前两次正面”的干扰，误认为第三次概率变化。需强调：独立事件的结果不会互相影响.3.（2024・四川成都模拟）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（D）A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【分析】核心是频率与概率的关系。需再次明确：频率随试验次数变化，概率固定；试验次数越多，频率越接近概率.【解答】A错误：频率≠概率；B错误：频率随试验次数变化；C错误：概率固定，与频率有关（频率是概率的估计值）；D正确：符合频率稳定性原理.【点评】本题目的是强化对“频率稳定性”的理解.易错点仍为混淆频率与概率的定义.4.（2023・浙江杭州模拟）某事件发生的概率为0.3，则下列说法正确的是（C）A.做10次试验，该事件一定会发生3次B.做100次试验，该事件一定发生30次C.做大量重复试验，该事件发生的频率接近0.3D.以上说法都不对．【分析】概率的统计定义概率是大量重复试验中频率的稳定值，而非“必然发生的次数”。即使概率为0.3，少量试验中结果也可能偏离，但大量试验中频率会接近0.3.【解答】A错误：“一定”表述绝对，少量试验结果随机；B错误：同理，100次试验不一定恰好30次；C正确：符合概率的统计定义；D错误：C正确.【点评】本题考查概率的统计意义，易错点是将概率误解为“必然发生的次数”.需强调：概率是“可能性的大小”，而非“确定性的结果”．题型二：“用频率估计概率”直接应用类5.（2024・广东广州中考）一个不透明的盒子里有8个黄球，摸到黄球的频率稳定在40%，估计盒子里小球的总个数为（C）A.10 B.16C.20 D.24.【分析】频率的计算公式：频率=所求事件发生的次数总试验次数.在摸球试验中，频率≈概率，因此黄球频率【解答】设总球数为x，则8x=40%（即0.4），解得【点评】本题是频率公式的直接应用，关键是理解“频率稳定在40%”意味着“黄球的概率约为40%”。易错点是计算时将比例颠倒（如误算为x=8×0.4），需注意公式的变形6.（2023・湖北武汉模拟）抛图钉1000次，尖朝上640次，则频率是0.64，概率约为0.64.【分析】频率：试验中实际发生的次数与总次数的比值；概率：大量重复试验中频率的稳定值（估计值）.．【解答】频率：640/1000=0.64；概率：由于试验次数较多（1000次），频率稳定在0.64附近，故概率约为0.64【点评】本题考查频率与概率的计算，难度极低，但需明确两者的区别：频率是“具体数值”，概率是“估计值”.7.（2024・河南郑州模拟）口袋中有3个红球，摸到红球的频率稳定在15%，则球的总个数为（C）A.12 B.15C.20 D.25.【分析】利用频率公式变形求总个数：总个数=红球个数【解答】设总个数为x，则3x=15%（即0.15【点评】本题是第1题的重复考查，目的是强化“用频率估计概率”的直接应用。易错点仍是比例计算的颠倒.8.（2023・陕西西安中考）根据射击运动员的射击数据（频率稳定在0.80附近），射击次数20401002004001000“射中9环以上”的次数153378158321801“射中9环以上”的频率0.750.8250.780.790.80250.801估计“射中9环以上”的概率约为（C）A.0.75 B.0.78C.0.80 D.0.82【分析】频率的稳定性表现为：随着试验次数增加，频率逐渐稳定在某个常数附近。观察表格，射击次数从20增加到1000时，频率从0.75波动到0.801，最终稳定在0.80附近．【解答】选择频率稳定的数值0.80，选C【点评】本题考查频率稳定性的应用，关键是识别“稳定区间”。易错点是选择早期的频率（如0.75），需注意“大量重复试验”的要求..题型三“用频率估计概率”模拟试验设计类9.（2024・湖南长沙模拟）设计模拟试验估计“45人中有2人生日在同一个星期”的概率.【分析】实际问题的核心是：45个个体中，至少2个属于7个类别（星期）中的同一类。模拟试验需满足：类别对应：用7个元素代表7个星期；个体对应：每次模拟45个个体（即抽取45次）；随机性：每次抽取后放回（保证每次试验的概率不变）；结果判断：是否有2个元素属于同一类别.【解答】①用7个分别标有数字17的小球（代表一个星期的7天）②每次从盒子中有放回地随机摸出1个小球，记录其数字，重复摸45次；③统计“是否有2个及以上相同数字”的次数④重复该试验大量次（如1000次），用“有2个及以上相同数字的频率”估计“45人中有2人生日在同一个星期”的概率【点评】模拟试验的关键是等效性：用“小球数字”对应“生日星期”（类别对应）；用“有放回摸45次”对应“45个学生”（个体对应）；用“重复大量次”保证频率的稳定性。易错点是无放回摸球.10.（2023・江苏苏州中考）设计一个试验，估计“从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽2张，花色相同”的概率，写出试验步骤.【分析】实际问题的核心是：从52张牌（4种花色，每种13张）中抽2张，花色相同的概率。模拟试验需满足：用4种颜色（或符号）代表4种花色；每种花色的数量相同（各13张）；随机抽取2张；是否为同一颜色【解答】①用4种颜色（如红、黄、蓝、绿）的卡片，每种颜色13张（共52张）②模拟去掉大小王的扑克牌；③将卡片放入不透明盒子中，摇匀后随机抽取2张，记录“是否为同一颜色”重复抽取大量次（如1000次），④用“同一颜色的频率”估计“抽2张花色相同”的概率【点评】模拟试验的关键是数量对应：每种花色13张，保证抽每张牌的概率与实际一致。易错点是每种花色数量不同（如只用4张卡片，每种1张），会导致概率偏差.11.（2024・山东济南模拟）设计试验估计“10人中2人生肖相同”的概率.【分析】本题的核心是：10个个体中，至少2个属于12个类别（生肖）中的同一类。模拟试验需满足：用12个元素（如生肖卡片、数字112）代表12种生肖；每次模拟10个个体（抽取10次）；有放回抽取（保证生肖的独立性）；是否有2个元素相同.【解答】①用12张分别标有12生肖的卡片（或数字112的小球）②放入不透明盒子中，有放回地随机摸出1张，记录其生肖，重复摸10次（代表10个人的生肖）；③统计“是否有2个及以上相同生肖”的次数。④重复该试验大量次，用“有2个及以上相同生肖的频率”估计“10人中有2人生肖相同”的概率.【点评】模拟试验的关键是有放回抽取：实际生活中，每个人的生肖是独立的（不会因为前面的人选择了某个生肖，后面的人就不能选），因此必须有放回，否则会降低“生肖重复”的概率.题型四综合应用类题目12.（2024・四川成都中考）某超市为吸引顾客，设置了抽奖活动：在一个不透明的箱子里装有100个除编号外完全相同的小球，编号分别为1到100。规定：顾客每消费满200元，就可以从箱子里随机摸出一个小球，摸出编号能被5整除的小球可获得奖品（1）摸球编号能被5整除的概率理论值是多少？（2）若频率为0.18，500位顾客中估计获奖人数.【分析】（1）理论概率：符合条件的结果数÷总结果数（能被5整除的数有20个，总球数100个）；（2）估计人数：总人数×频率（用频率0.18作为概率的估计值）.【解答】（1）能被5整除的编号有：100÷5=20个，理论概率为20100（2）获得奖品的顾客人数估计为：500×0.18=90人【点评】本题易错点是第（2）问误用理论概率（0.2）计算，需注意题目中给出的频率（0.18）是实际试验的结果，应优先使用.13.（2023・湖北襄阳模拟）某工厂生产一批零件，质检人员从中随机抽取100个零件检查，发现有2个不合格。（1）抽检100个零件发现2个不合格，估计不合格率；（2）若共有10000个零件，估计不合格数.【分析】（1）不合格率：样本不合格数÷样本总数（用样本频率估计总体概率）；（2）估计不合格数：总体数量×不合格率.【解答】（1）不合格率为：2100=0.02（即（2）不合格零件估计为：10000×0.02=200个.【点评】本题考查用样本频率估计总体概率：样本是随机抽取的，因此样本的不合格率（0.02）可以作为总体不合格率的估计值；用总体数量乘以估计的不合格率，得到不合格零