专题127逆命题和逆定理（举一反三讲义）数学华东师大版2024八年级上册（原卷版）

专题12.7逆命题和逆定理（举一反三讲义） 【华东师大版2024】TOC\o"13"\h\u【题型1逆命题和逆定理】 2【题型2根据垂直平分线的性质求长度】 3【题型3根据垂直平分线的性质求角度】 4【题型4根据垂直平分线的性质求面积】 5【题型5根据垂直平分线的性质求最值】 6【题型6根据垂直平分线的性质求证明】 7【题型7判断是垂直平分线】 8【题型8垂直平分线的判定与性质的综合】 10【题型9利用角平分线的性质求长度】 11【题型10利用角平分线的性质求面积】 11【题型11利用角平分线的性质求角度】 12【题型12利用角平分线的性质求最值】 13【题型13利用角平分线的性质证明】 14【题型14角平分线的判定】 15【题型15角平分线的应用】 16【题型16角平分线的判定与性质的综合】 17知识点1互逆命题和互逆定理两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．知识点2线段垂直平分线的定义及其性质1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．知识点3线段垂直平分线性质定理的逆定理1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．知识点4角的平分线的性质1.定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．知识点5角的平分线的性质定理的逆定理1.定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2.拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．【题型1逆命题和逆定理】【例1】（2425八年级下·湖北宜昌·阶段练习）下列命题的逆命题成立的是（

）A．同旁内角互补，两直线平行 B．等边三角形是锐角三角形C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．全等三角形的对应角相等【变式11】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三边对应相等的两个三角形全等．【变式12】下列命题的逆命题成立的序号是①同旁内角互补，两直线平行②等边三角形是锐角三角形③如果两个实数相等，那么它们的平方相等④全等三角形的三条对应边相等【变式13】（2526八年级上·全国·课后作业）下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？(1)同旁内角互补，两直线平行；(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等；(3)全等三角形的对应边相等【题型2根据垂直平分线的性质求长度】【例2】（2425八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF=6，CD=5，则△ABC的周长为（

）A．24 B．22 C．20 D．18【变式21】（2425七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片ABC的一角沿AB的垂直平分线翻折，折痕为DE，点B与点A重合，已知△ACD的周长是20，AE=6，则△ABC的周长是．【变式22】（2425八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，BC=8cm，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则△APQ的周长为cm【变式23】（2425七年级下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E．若△ABC与△EBC的周长分别是40cm、24cm，则AD=【题型3根据垂直平分线的性质求角度】【例3】（2425七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在△ABC中，AC与AB边上的垂直平分线DM、EN分别交BC于点D、点E．连接DA、EA，∠DAE=60°，则∠BAC=．【变式31】（2425八年级下·山西晋中·期中）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD．若∠C=24°，DB⊥BC，则A．24° B．30° C．33° D．66°【变式32】（2425八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=50°，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，∠FAC的平分线AD交FC于点D，则∠DAF的度数为．【变式33】（2425七年级下·山东威海·期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（

）A．90°+12αC．90°−14α【题型4根据垂直平分线的性质求面积】【例4】（2425八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，BD是ΔABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连结AG，CG，若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为(A．36 B．22 C．20 D．21【变式41】（2425八年级上·浙江湖州·期中）如图，AD是△ABC的对称轴，E,F是AD上的两点，若BD=2，AD=3，则图中阴影部分的面积是．【变式42】（2425八年级上·广东中山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，点F为BC的中点，点M为线段DE上一动点，若△BFM周长的最小值为10cm，则△ABC的面积是【变式43】（2425八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，BC=4，S△ABC=12，D为边BC上的动点，点D关于AB，AC的对称点分别是点E，F，连接AE，AF，EF，△AEF面积的最小值为【题型5根据垂直平分线的性质求最值】【例5】（2425八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值是（）A．8 B．3 C．6 D．4【变式51】（2425八年级上·河北邯郸·期末）如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB=7，AC=4，BC=5，则△APC周长的最小值是．【变式52】如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则【变式53】（2425七年级下·江苏泰州·期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，AC=12，BC=13，EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，过P作PH⊥BC，垂足为点H，连接BP，则BP+PH的最小值为【题型6根据垂直平分线的性质求证明】【例6】（2425八年级上·广东潮州·期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，(1)若△ADE的周长为8cm，线段BC(2)判断点O是否在BC的垂直平分线上；(3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．【变式61】（2425八年级上·河南南阳·阶段练习）演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅读并完整解答．(1)如图1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB，将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理：________．(2)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．已知：如图1，MN⊥AB于点C，________，点P是直线MN上的任意一点．求证：________．证明：(3)如图2，CD是线段AB的垂直平分线，∠CAD=22°，∠CBA=50°，则∠ADP=________．【变式62】如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE．(1)求证：AB=EC；(2)若△ABC的周长为42cm，AC=16cm，求【变式63】（2425八年级上·山西临汾·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交AC于点E，交AD于点F，连接BF．(1)求证：AF=BF；(2)求∠FBD度数．【题型7判断是垂直平分线】【例7】（2425八年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图，AB=AC,BE⊥AC,CD⊥AB，垂足分别为E、D．

(1)求证：AD=AE；(2)连接AO、BC，判断直线AO与BC的关系．【变式71】（2425八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在△ABC中，D是AB上的一点，且AD=AC，DE∥BC，CD平分∠EDF，求证：AF垂直平分【变式72】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)直线AC是线段BD的垂直平分线吗？请说明理由．【变式73】如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD，CE相交于点O．(1)求证：OB=OC．(2)连接OA，试说明直线OA是线段BC的垂直平分线．【题型8垂直平分线的判定与性质的综合】【例8】（2425七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AD=12，CD=5，则AB的长为．【变式81】（2425八年级下·陕西西安·期末）如图，点A、B在直线m上，点P、H在直线n上，m⊥n于点O，连接AP、BP、AH、BH，AP=BP，若AH=11，则BH的长为（）A．11 B．10 C．9 D．8【变式82】（2425八年级上·江苏常州·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE，求证：AB+BD=DC．【变式83】（2425八年级上·全国·期末）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=120°，则【题型9利用角平分线的性质求长度】【例9】（2425八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知∠AOB=150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD=4，则OC的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【变式91】（2425八年级上·福建厦门·期末）如图，BD平分∠ABC交AC于D点，DE⊥BC于E点，若AB=4，BC=5，S△ABC=9，则DE的长为【变式92】（2425八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，连接AD，DE，DE∥AC，AE=ED，若AB=2.7，BD=1.5，CD=1，则AC=【变式93】（2425八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm，O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，则点【题型10利用角平分线的性质求面积】【例10】（2425八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE=2，则△ABC的面积为（

）A．13 B．19 C．20 D．26【变式101】（2425七年级下·四川成都·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD的长为3，AB=8，则△ABD【变式102】（2425八年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，BD是∠ABC的平分线，如果△ABC的面积为32，那么△DBC

【变式103】（2425七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且CD=2BD，4BC=3AC，CF为∠ACB的角平分线，交AD于点E，交AB于点F，若△CDE的面积为7，则图中阴影部分四边形BDEF的面积为．【题型11利用角平分线的性质求角度】【例11】（2425八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD、BC于E,F,FG⊥AB，垂足为点G(1)求证：CE=FG．(2)若∠B=20°，求∠AFG的度数．【变式111】如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE=DF，∠AOD=25°，则∠EDF的度数是．【变式112】如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点A′处，恰好满足A′B平分∠ABC,A′C平分∠ACB，若【变式113】（2425七年级下·山东烟台·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E，若∠CAE=54°，则∠BEC的度数是．【题型12利用角平分线的性质求最值】【例12】（2425九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，连接BD，过点D作DE∥BC交AB于点E，DE=BE，点P为线段AB上一动点，连接DP，若CD=6【变式121】（2425八年级上·天津·期末）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于12MN长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线OP，作PC⊥OA于点C，且PC=2，Q是射线OB上一个动点，则PQ【变式122】在△ABC中，已知BC=6，BC边上的高ℎ=4，△ABC两个内角的角平分线相交于点O，过O作OD⊥BC于点D，则OD的最大值是．【变式123】（2425八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点．（1）若∠BAC=60∘，∠C=40∘，则（2）若S△ABC=12，AC=8，则BM+MN的最小值为【题型13利用角平分线的性质证明】【例13】（2425八年级上·安徽合肥·期末）如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OM上的另一点，连接DF，EF．求证：【变式131】如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，求证：PM=PN．【变式132】（2425八年级上·山东滨州·期中）如图，AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，垂足分别为D，E．求证：∠OBC=∠OCB．【变式133】（2425八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，求证：AD+BC=AB．【题型14角平分线的判定】【例14】（2425八年级下·陕西延安·期中）如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分∠ABC．【变式141】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是．【变式142】（2425八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O，且OB=OC．(1)求证：BE=CD；(2)求证：判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【变式143】（2425八年级下·江西九江·期中）在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)求证：PA平分∠BPE．【题型15角平分线的应用】【例15】如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路OA，OB的距离相等，且到入口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．【变式151】