专题04 玩转二次函数最值的七大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

2/37专题04玩转二次函数最值的七大题型题型一：定轴定区间问题 3题型二：定轴动区间问题 4题型三：动轴定区间问题 6题型四：动轴动区间问题 8题型五：与最值有关的恒成立问题 9题型六：与最值有关的有解问题 11题型七：含有绝对值的二次函数最值问题 13【知识点综述】1.二次函数的三种形式(1)一般式：(2)顶点式：若二次函数的顶点为，则其详解式为(3)两根式：若相应一元二次方程的两个根为，，则其详解式为2.二次函数在闭区间上的最值二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论，一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况.规律：求二次函数在区间上的最值分为以下三种情况:（1）对称轴在区间的左侧：若，则在区间上是增函数，最大值为，最小值为;（2）对称轴在区间内：若≤≤，则的最小值为，最大值为、中的较大者（或区间端点中与直线的距离较大的那一个端点所对应的函数值）；即最小值为，最大值为.（3）对称轴在区间的右侧：若，则在区间上是减函数，最大值为，最小值为.题型一：定轴定区间问题即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）.1.函数f(x)=−x2+2x−3在区间A．有最大值−2 B．有最大值−3C．有最小值−2 D．有最小值−32．（24-25高三上·全国·课前预习）如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点在折线上移动，若点的坐标分别为、、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43.已知二次函数y=−4x(2)画出它的图象，并说明其图象在y=−4x(3)求函数在x∈−24.已知函数f(x)=ax2−2ax+b(a>0)的定义域为R(1)求实数a，b的值；(2)若函数g(x)=f(x)−mx+2m−2，求g(x)>0的解集．5.已知函数f(x)=ax2−2ax+1+b(a>0,b∈R)在区间2,4上的最小值为1(1)求a，b的值；(2)设g(x)=f(x)x，求题型二：定轴动区间问题即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论.6．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（

）A． B． C．0 D．17.已知函数fx=−12x2+x在区间a,bA．−4 B．16 C．2 D．8．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则的值为（

）A． B． C． D．9.已知二次函数y=x2−2x+4,x∈0,m的最小值是3，最大值是4，则实数10.已知函数f(x)=x2+2x+3，x∈[m,0]的最大值为3，最小值为2，则实数m11．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）已知二次函数图象开口向上，过点，且顶点到轴的距离为2．(1)求二次函数的表达式；(2)在答题卡的直角坐标系中画出其函数图象；(3)当时，，请根据函数图象求的取值范围．12．（24-25高三上·全国·课前预习）二次函数的顶点M是直线和直线的交点．(1)用含m的代数式表示顶点M的坐标；(2)①当时，的值均随x的增大而增大，求m的取值范围；②若，且x满足时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围；(3)试证明：无论m取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．题型三：动轴定区间问题即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解.13.若函数f(x)=x2−2bx+3a在区间[0,1]上的最大值是M，最小值m，则M−mA．与a无关，且与b有关 B．与a有关，且与b无关C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关14．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数的最大值为，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或15.（多选）已知函数fx=x2−2ax+a在区间−A．是奇函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值16．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为.17．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为.18.（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数的值域为，且，则的取值范围是.19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，当时，的最大值为6，则实数20．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）时，函数的最小值为，则实数a的值为.21．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，其中.(1)若在区间上具有单调性，求的取值范围；(2)当时，函数的最大值为，求实数的值.22．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)已知函数在区间上的最小值为－4，求.23．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知幂函数满足．(1)求函数的详解式；(2)若函数，且的最小值为0，求实数的值．题型四：动轴动区间问题即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理.24.若函数fx=x2+kx+m在a,b上的值域为A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值但无最小值C．无最大值但有最小值 D．既无最大值，也无最小值25．（23-24高二下·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数．26.函数f(x)=ax2−2026x+2025(a>0)，在区间[t−1，t+1](t∈R)上函数f(x)的最大值为M，最小值为N．当t取任意实数时，M−27.已知函数f(x)=x2−2ax(a>0)，(1)当a=2时，解关于(2)函数y=f(x)在[t,t+2]的最大值为0，最小值是-4，求实数a和t的值．28.已知函数f(x)=x(1)当a=3时，解关于x的不等式−5<f(x)<7；(2)函数y=f(x)在[t,t+2]上的最大值为0，最小值是−4，求实数a和t的值．29.已知函数fx=x2−4mx+3m2(m>0)的图象与x轴交于(1)求m的值；(2)若fx在a,a+1上的最大值与最小值之差为ga，求题型五：与最值有关的恒成立问题若一元二次不等式在R上恒成立，则用判别式法求解；若一元二次不等式恒成立在某区间上恒成立，则往往用分离参数法求解，转化为参数与函数最值的问题.30．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（

）A． B． C． D．31．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．32．（24-25高一下·海南海口·期末）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是．33．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为．34．（24-25高一上·广东惠州·期中）设函数，其中.(1)若，求函数在区间上的值域；(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围.35．（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1.(1)求a，b的值；(2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围.36．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知函数.(1)若，求函数的单调递增区间；(2)若，不等式对恒成立，求的最大值；(3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围.题型六：与最值有关的有解问题若一元二次不等式在R上有解，则用判别式法求解；若一元二次不等式恒成立在某区间上有解，则往往用分离参数法求解，转化为参数与函数最值的问题.37．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．38．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（

）A．9 B．6 C． D．539.（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件40.（24-25高二下·广东梅州·期末），，使成立，则实数a的取值范围为．41．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数．(1)若的解集为，求a，b的值；(2)若方程在上有解，求实数a的取值范围．42.已知函数f(x)=ax2−4ax+b(a>0)在[0,3](1)求f(x)的详解式；(2)若∃x∈(1,+∞)，使得43.已知函数f(x(1)若f(2)=3，求函数f(2)在（1）的条件下，设函数g(x)=f((3)是否存在k使得函数f(x)题型七：含有绝对值的二次函数最值问题含有绝对值的二次函数最值问题的求解策略是：去绝对值，化为分段函数，再结合二次函数的性质或图象分类讨论求解.44．（2025·贵州黔南·三模）设函数，当时，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．45．（24-25高二下·辽宁·期末）若，不等式，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．46.函数fx=xx−aA．−22−2,0 B．0,22−2C．247.设函数fx=x2−2ax在区间0,1上的最大值为ga，则当g48.已知函数fx(1)当a=1时，求fx(2)设f(x)在x∈[−1,1]上的最大值为Ma，最小值为ma，