第01讲集合与常用逻辑用语

第01讲：集合与常用逻辑用语【题型归纳】【考点梳理】考点一．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR考点二.集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．考点三．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}∁UA考点四．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p考点五.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．知识点六．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)【题型探究】题型一：集合的含义和表示A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先求出集合，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.故选：C【例2】．（2526高一上·福建泉州·期中）下列给出的对象能构成集合的有（）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根据题意结合集合的三要素逐项分析判断即可.【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；故选：B.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可.故选：B.题型二：集合的基本关系问题【答案】C【分析】先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案.故选：C.【例2】．（2425高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（

）【答案】C【分析】利用整数有理数的定义可判断A,B选项；利用集合的定义及集合的特性可判断C,D选项.【详解】对于选项A：Z为正整数，显然A不正确；对于选项B：Q为有理数，但为无理数，故B不正确；对于选项C：利用集合元素的互异性即可判断，C正确；故选：C【答案】B【分析】先分别求出集合，再根据集合的包含关系及交集的定义即可得解.故B正确，ACD错误.故选：B.题型三：集合的基本运算问题【答案】D【分析】由交集定义计算即可得.故选：D.【答案】A【分析】根据题意以及一元二次不等式化简集合，进而可求交集.故选：A.【答案】A故选：A题型四：集合的应用【例1】．（2425高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【答案】A【分析】根据集合的容斥原理即可求解.故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.故选：A.【例2】．（2425高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（

）人A．16 B．18 C．20 D．24【答案】C【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C，故选：C【例3】．（2425高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（

）A．4名 B．6名 C．8名 D．10名【答案】D【分析】由集合的运算即可得出结果.【详解】因为高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，故选：D.题型五：集合新定义A．62 B．31 C．63 D．30【答案】A故选：A②是“好集”；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据新定义，逐一检查每一条是否满足即可.所以有理数集是“好集”，故②正确；故选：C.A．5 B．7 C．13 D．15【答案】C【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可.“孤立元”为3的集合为；综上，满足题意的集合有13个.故选：C.题型六：充分条件和必要条件A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】D【分析】举反例，根据充分必要条件的概念进行判断即可.故选：D.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得.故选：B.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断.则是的必要不充分条件.故选：B题型七：全称量词和特称量词及其否定【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，故选：A.【答案】A【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题判断.【详解】由存在量词命题的否定可知，故选：A.【答案】B【分析】根据一元二次不等式有解，结合存在命题的性质进行求解即可.故选：B题型八：逻辑语言的参数问题【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解.【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.【详解】因为命题p是假命题，所以命题是真命题．题型九：集合的参数问题【分析】根据交集运算结果转化为包含关系即可得解.【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围.所以的取值范围为.题型十：逻辑用语和集合的综合问题【答案】(1)M【分析】（1）借助指数函数单调性计算出集合后，利用补集与交集定义即可得；故M∩【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）转化为集合的包含关系求解．【分析】（1）直接根据集合的交并补运算求解即可；【分析】（1）由集合的交集并集运算得到答案；（2）由充分不必要条件转化为集合之间的包含关系，是的真子集，从而解得的取值范围；【高分演练】一、单选题【答案】A【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解.故选：A【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论.故选：D.【答案】C【分析】根据集合与元素的关系讨论求解即可.故选：C【答案】C【分析】合数轴即可判断.【详解】在数轴上标记两个集合，知⫋.故选：C【答案】C故选：C【答案】C故选：CA．0 B．2 C． D．【答案】C故选：C.8．（2526高一上·湖南·阶段练习）某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用韦恩图来求解即可.故选：C.二、多选题9．（2526高一上·湖南岳阳·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（

）【答案】AC【分析】根据集合的描述法逐一分析判断即可得解.故选：AC.10．（2526高一上·湖南·阶段练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（

）C．若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等【答案】ABC【分析】根据充分条件的定义分别判断各个选项即可.C．由一个四边形是矩形，能够得到该四边形的对角线相等，则p是q的充分条件；故选:ABC．C．U中的元素个数为5【答案】ABC故选：ABC.12．（2324高一上·四川泸州·期中）下列说法正确的有（

）【答案】CD【分析】根据命题的否定的定义判断A，由充分必要条件的定义判断BD，由全称命题的真假判断C．故选：CD．【答案】ACD即整数属于同一“类”，故D正确．故选：ACD.三、填空题【分析】解方程组，并用列举法表示即可.【答案】所以集合与有个相同元素4,17,54，故答案为：.【答案】【详解】设对应的集合分别为，即实数的最大值是；故答案为：【分析】根据A∩∁RB=A确定集合的关系，根据